ระบบการหักเงินที่สมบูรณ์และลดลง ออยเลอร์และทฤษฎีฟาร์ม ระบบการหักเงินเต็มรูปแบบและลดลงระบบการหักเงินที่ลดลงในโมดูล

ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎี

6. 1. คำนิยาม 1.

คลาสของตัวเลขตามโมดูลนี้เรียกว่าชุดของทั้งหมดและเฉพาะจำนวนเต็มเหล่านั้นที่เมื่อการหารบน T มีสารตกค้างเดียวกัน R ซึ่งเป็นเทียบเท่ากับโมดูล T (t Î n, t.> 1).

การกำหนดระดับของตัวเลขที่มีสารตกค้าง อาร์: .

แต่ละจำนวนชั้น เรียกว่าการหักเงินด้วยโมดูล T และชั้นเรียนเอง เรียกว่าคลาสของการหักเงินโดยโมดูล T

6. 2. คุณสมบัติของชุดของคลาสของโมดูลการหักเงิน ต.:

1) เพียงแค่โมดูล ต.จะ ต.ชั้นเรียน: Z T. = { , , , … , };

2) แต่ละคลาสมีชุดจำนวนเต็ม (การหักเงิน) ที่ไม่มีที่สิ้นสุดของแบบฟอร์ม: \u003d ( ก.= mq+ r / QÎ z,0£ อาร์< เอ็ม}

3) "แต่Î : แต่º อาร์(mOD M);

4) "a, BÎ : แต่º B.(mOD M) นั่นคือการหักสองครั้ง จากที่หนึ่ง ชั้น เปรียบเทียบ โดยโมดูล ต.;

5) "แต่Î , " b.Î : แต่ b.(mOD M) นั่นคือไม่มีการหักสองครั้ง ถ่าย จากที่แตกต่างกัน ชั้นเรียน หาที่เปรียบมิได้ โดยโมดูล ต..

6. 3. นิยาม 3.

ระบบการหักเงินเต็มรูปแบบสำหรับโมดูลนี้เรียกว่าชุดใด ๆ ของตัวเลข T ที่ถ่ายโดยหนึ่งโดยหนึ่งและเพียงหนึ่งในแต่ละคลาสของการหักเงินตามโมดูล T

ตัวอย่าง: ถ้าเป็น เอ็ม\u003d 5 จากนั้น (10, 6, - 3, 28, 44) เป็นระบบการหักเงินที่สมบูรณ์สำหรับโมดูล 5 (ไม่ใช่หนึ่งเดียวเท่านั้น!)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

ชุด (0, 1, 2, 3, ... , เอ็ม -1) - นี่คือระบบ ที่ไม่เป็นลบที่เล็กที่สุด หัก;

ชุด (1, 2, 3, ... , เอ็ม –1, ต.) เป็นระบบ บวกที่สุด การหักเงิน

6. 4. โปรดทราบว่า:

ถ้าเป็น ( เอช. 1 , เอช. 2 , … , x ต.) - ระบบการหักเงินเต็มรูปแบบโดยโมดูล ต.ต.

.

6. 5. ทฤษฎีบท 1

ถ้าเป็น {เอช. 1 , เอช. 2 , … , x ต.} – ระบบการหักเงินเต็มรูปแบบสำหรับโมดูล T, "a, BÎ z I.(a, T) = 1, – จากนั้นระบบของตัวเลข {โอ้ 1 + B., โอ้ 2 + b., … , อ่า+ B.} ยังเป็นระบบการหักเงินที่สมบูรณ์แบบโดยโมดูล T .

6. 6. ทฤษฎีบท 2.

การหักเงินทั้งหมดของการหักเงินประเภทเดียวกันในโมดูล T มีหนึ่งและตัวแบ่งทั่วไปที่ใหญ่ที่สุดเหมือนกัน: "a, BÎ Þ ( แต่; ต.) = (b; ต.).

6. 7. คำนิยาม 4.

ชั้นของการหักเงิน ตามโมดูลนี้มันเรียกว่าง่ายร่วมกันกับโมดูล t, หากอย่างน้อยหนึ่งการหักของคลาสนี้จะง่ายร่วมกันกับ T

โปรดทราบว่าในกรณีนี้ตามทฤษฎีบท 2 ทุกอย่างตัวเลขของคลาสนี้จะเรียบง่ายด้วยโมดูล t.

6. 8. คำนิยาม 5.

ระบบการหักเงินที่ลดลงสำหรับโมดูลนี้เรียกว่าระบบการหักเงินที่ใช้โดยหนึ่งโดยหนึ่งและเพียงหนึ่งในแต่ละคลาสที่เรียบง่ายร่วมกันกับโมดูล T

6. 9. โปรดทราบว่า:

1) ระบบการหักเงินที่ลดลงในโมดูล ต.มี j ( ต.) ตัวเลข ( เอช. 1 , เอช. 2 ,…, };

2) : .

3) " x I. : (x I., เอ็ม) = 1;

ตัวอย่าง : ให้โมดูล ต.\u003d 10 มี 10 ทักษะ:

Z. 10 \u003d (,,,,,,,) - ค่าชั้นเรียนจำนวนมากในโมดูล 10 ระบบการหักเงินเต็มรูปแบบโดย mod10 จะเช่น: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

อัตราการหักเงินจำนวนมาก เรียบง่าย ด้วยโมดูล m \u003d.10: (,,,) (J (10) \u003d 4)

ระบบการหักเงินที่ลดลง ตัวอย่างโมดูล 10 เช่น

(1, 3, 7, 9), หรือ (11, 43, - 5, 17), หรือ (- 9, 13, - 5, 77) เป็นต้น (ทุกที่ J (10) \u003d 4 หมายเลข)

6.10. จริง: เพื่อทำขึ้นหนึ่งในระบบการส่งที่เป็นไปได้สำหรับ mod m, ต้องการจากระบบการหักเงินเต็มรูปแบบใน mod m เพื่อเลือกการหักเงินเหล่านั้นที่เรียบง่ายร่วมกันกับ t ตัวเลขดังกล่าวจะเป็นj ( ต.).

6.11. ทฤษฎีบท 3.

ถ้าเป็น{เอช. 1 , เอช. 2 ,…, } – ระบบการหักเงินที่ลดลงโดยโมดูล Tและ

(แต่, เอ็ม) = 1, – จากนั้นระบบของตัวเลข {โอ้ 1 , โอ้ 2 , … , ah j (t)} แบบฟอร์ม

ระบบการหักเงินที่ลดลงโดยโมดูล T .

6.12. คำนิยาม 6.

ผลรวม( Å ) ชั้นเรียนการหักเงิน และ + ขเท่ากับผลรวมของการหักสองครั้งที่ดำเนินการตามหนึ่งในแต่ละคลาสที่กำหนดและ : Å = , ที่ไหน"แต่Î , "b.Î .

6.13. นิยาม 7.

งาน( Ä ) ชั้นเรียนการหักเงิน และ โมดูลเรียกว่าคลาสของการหักเงิน นั่นคือคลาสของการหักเงินที่ประกอบด้วยตัวเลข ´ ขเท่ากับผลิตภัณฑ์ของการหักสองครั้งที่ใช้ไปตามหนึ่งในแต่ละคลาสที่กำหนดและ : Ä = , ที่ไหน"แต่Î , "b.Î .

ดังนั้นในหลากหลายชั้นเรียนการหักเงินโดยโมดูล ต.: Z T. \u003d (,,,,,) การดำเนินการพีชคณิตสองตัวถูกกำหนด - "การเพิ่ม" และ "การคูณ"

6.14. ทฤษฎีบท 4.

การหักเงินจำนวนมาก Z T Modulo เป็นวงแหวนที่มีการเชื่อมโยงกับหน่วย:

< Z T. , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – แหวน.

ภารกิจทั่วไป

1. ทำโมดูล ต.= 9:

1) ระบบที่สมบูรณ์ของการหักบวกน้อยที่สุด;

2) ระบบที่สมบูรณ์ของการหักเงินที่ไม่ใช่เชิงลบที่เล็กที่สุด

3) ระบบการหักเงินเต็มรูปแบบโดยพลการ

4) ระบบที่สมบูรณ์ของขนาดเล็กที่สุดในมูลค่าที่แน่นอนของการหักเงิน

ตอบ:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};

2. ทำระบบการหักเงินตามโมดูลที่กำหนด ต.= 12.

การตัดสินใจ

1) สร้างระบบที่สมบูรณ์ของการหักเงินในเชิงบวกอย่างน้อยที่สุดในโมดูล ต.= 12:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (รวม ต.\u003d 12 หมายเลข)

2) ข้ามตัวเลขนี้ไม่ได้เรียบง่ายด้วยหมายเลข 12:

{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.

3) ตัวเลขที่เหลืออยู่ง่าย ๆ ด้วยหมายเลข 12 รูปแบบระบบการหักเงินที่ต้องการที่ต้องการโดยโมดูล ต.\u003d 12 (เพียง j ( ต.) \u003d J (12) \u003d 4 หมายเลข)

ตอบ:(1, 5, 7, 11) - ระบบการหักเงินที่ลดลงในโมดูล ต.= 12.

130. ทำ 1) ระบบที่สมบูรณ์ของการหักบวกที่เล็กที่สุด 2) ระบบที่สมบูรณ์ของการหักเงินที่ไม่ใช่เชิงลบที่เล็กที่สุด 3) ระบบการหักเงินโดยพลการ 4) ระบบที่สมบูรณ์ของขนาดเล็กที่สุดในมูลค่าที่แท้จริงของการหัก; 5) ระบบลดการหักเงิน: A) โดยโมดูล เอ็ม \u003d 6; b) โมดูล เอ็ม = 8.

131. เป็นชุด (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) ระบบการหักเงินเต็มรูปแบบสำหรับโมดูล 8?

132 ตามชุดโมดูล (20, - 4, 22, 18, - 1) เป็นระบบการหักที่สมบูรณ์?

133. ทำให้ระบบการหักเงินลดลงโดยโมดูล เอ็ม ถ้าก) เอ็ม \u003d 9; b) เอ็ม \u003d 24; ใน) เอ็ม \u003d 7 ระบบดังกล่าวควรมีตัวเลขจำนวนเท่าใด

134. คำคุณสมบัติพื้นฐานของระบบการหักเงินเต็มรูปแบบและระบบการหักเงินที่ลดลงในโมดูล เอ็ม .

135. องค์ประกอบใดที่เป็นองค์ประกอบข้างต้นและสมบูรณ์ของการหักเงินที่ไม่ใช่เชิงลบที่เล็กที่สุดในโมดูลง่าย ๆ ที่แตกต่างกันอย่างไร

136. มีสภาพอะไรอยู่ แต่และ - แต่เป็นของโมดูลการหักเงินหนึ่งคลาส เอ็ม?

137. ประเภทของการหักเงินในโมดูลที่ 8 เป็นตัวเลขง่าย ๆ ทั้งหมด r³ 3?

138. ชุดของตัวเลข (0, 2 0, 2 1, 2 2, ... , 2 9) เป็นระบบการหักเงินที่สมบูรณ์สำหรับโมดูล 11 หรือไม่

139. กี่อัตราการหักเงินในโมดูลที่ 21 เป็นของการหักเงินทั้งหมดจากการหักชั้นหนึ่งในโมดูล 7?

140. จำนวนเต็มจำนวนมาก Z. แจกจ่ายโดยการตั้งค่าโดยโมดูล 5. ประกอบขึ้นเป็นตารางการพับและการคูณในชุดชั้นในการหักเงิน Z. ห้า. เป็นชุด Z. 5: a) กลุ่มที่มีการดำเนินงานของชั้นเรียน? b) กลุ่มที่มีการคูณคลาส?

§ 7. ทฤษฎีบทออยเลอร์ ทฤษฎีฟาร์มขนาดเล็ก

ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎี

7. 1. ทฤษฎีบท 1

ถ้าก.Î Z., ต.Î n, t.>1 และ(แต่; ต.) = 1 - จากนั้นในลำดับอนันต์ขององศา 1 , แต่ 2 , แต่ 3 , ... , แต่ s, ... , แต่ t, ... จะมีอย่างน้อยสององศาพร้อมตัวบ่งชี้ S และ T(s.< ต.) ดังนั้น . (*)

7. 2. แสดงความคิดเห็น. แสดงตน ต.– s. = เค. \u003e 0 จาก (*) เราได้รับ: . ต่างหูทั้งสองส่วนของการเปรียบเทียบนี้ น.Î น. เราจะได้รับ: (**) ซึ่งหมายความว่ามีชุดของจำนวนองศาที่ไม่มีที่สิ้นสุด ก.การเปรียบเทียบที่น่าพอใจ (**) แต่ เช่นค้นหาตัวบ่งชี้เหล่านี้หรือไม่ อะไร น้อยที่สุด ตัวบ่งชี้ที่น่าพอใจเมื่อเทียบ (**)? คำถามแรกมีความรับผิดชอบ ทฤษฎีบทออยเลอร์(1707 – 1783).

7. 3. ทฤษฎีบทออยเลอร์

ถ้าก.Î Z., ต.Î n, t.>1 และ(แต่; ต.) = 1- นั่น . (13)

ตัวอย่าง. อนุญาต แต่ = 2, ต. = 21, (แต่; ต.) \u003d (2; 21) \u003d 1. จากนั้น . ตั้งแต่ J (21) \u003d 12 จากนั้น 2 12 º 1 (mod 21) ในความเป็นจริง: 2 12 \u003d 4096 และ (4096 - 1) 21. เห็นได้ชัดว่า 2 24 º 1 (mod 21), 2 36 º 1 (mod 21) และอื่น ๆ แต่เป็นตัวบ่งชี้ของระดับ 12 - ที่เล็กที่สุดพอใจเมื่อเทียบกับ 2 น. º 1 (mod 21)? มันกลับกลายเป็นไม่ ตัวบ่งชี้ที่เล็กที่สุด จะ p\u003d 6: 2 6 º 1 (MOD 21), 2 6 - 1 \u003d 63 และ 63 21 โปรดทราบว่า น้อยที่สุด ตัวบ่งชี้ควรเป็นที่ต้องการ เฉพาะในวงเวียนของจำนวนเท่านั้น j ( ต.) (ในตัวอย่างนี้ในบรรดาตัวหารของหมายเลข J (21) \u003d 12)

7. 4. ทฤษฎีฟาร์มขนาดเล็ก (1601 - 1665)

สำหรับหมายเลขที่ง่ายและหมายเลขใด ๆÎ Z., ไม่แบ่งออกเป็น, มีการเปรียบเทียบ . (14)

ตัวอย่าง. อนุญาต แต่ = 3, r \u003d 5 ที่ 3 ไม่ได้ 5. แล้ว หรือ .

7. 5. สรุปฟาร์มทฤษฎีบท

สำหรับจำนวนที่ง่าย ๆ ของ P และหมายเลขโดยพลการÎ z ถือการเปรียบเทียบ (15)

ภารกิจทั่วไป

1. พิสูจน์ว่า 38 73 º 3 (mod 35)

การตัดสินใจ

1) ตั้งแต่ (38; 35) \u003d 1 จากนั้นตามทฤษฎีบทออยเลอร์ ; J (35) \u003d 24 จากนั้น

(1).

2) จากการเปรียบเทียบ (1) ตามผลที่ตามมา 2 คุณสมบัติ 5 0 การเปรียบเทียบตัวเลขเรามี:

3) จากการเปรียบเทียบ (2) ตามผลที่ตามมา 1 อสังหาริมทรัพย์ 5 การเปรียบเทียบ: 38 72 × 38 º 1 × 38 (MOD 35) þþ38 73 º38º 38-35 \u003d 3 (MOD 35) þ 38 73 º 3 (MOD 35) ตามที่จำเป็นในการพิสูจน์

2. Danno: แต่ = 4, ต. \u003d 15. ค้นหาตัวบ่งชี้ที่เล็กที่สุด เค.เปรียบเทียบเปรียบเทียบ (*)

การตัดสินใจ

1) ตั้งแต่ ( ก.; เอ็ม) \u003d (4; 25) \u003d 1 จากนั้นตามทฤษฎีบทออยเลอร์ , j (25) \u003d 20 ดังนั้น .

2) ไม่ว่ามูลนิธิพบคือหมายเลข 20 - ที่เล็กที่สุด ตัวเลขธรรมชาติที่น่าพอใจเมื่อเทียบ (*)? หากมีตัวบ่งชี้ในระดับที่น้อยกว่า 20 ดังนั้นจะต้องมีการแบ่งหมายเลข 20 ดังนั้นตัวบ่งชี้น้อยที่สุดที่ต้องการ เค.ต้องมองหาตัวเลขมากมาย น. \u003d (1, 2, 4, 5, 10, 20) - วงเวียนของหมายเลข 20

3) สำหรับ p = 1: ;

สำหรับ p = 2: ;

สำหรับ p \u003d 3: (ไม่จำเป็นต้องพิจารณา);

สำหรับ p = 4: ;

สำหรับ p = 5: ;

สำหรับ p \u003d 6, 7, 8, 9: (ไม่จำเป็นต้องพิจารณา);

สำหรับ p = 10: .

ดังนั้น, ที่เล็กที่สุด ตัวบ่งชี้ของปริญญา เค.ความพึงพอใจเมื่อเทียบ (*) คือ เค.= 10.

ตอบ: .

แบบฝึกหัดสำหรับงานอิสระ

141. ตามทฤษฎีบทออยเลอร์ . สำหรับ แต่ = 3, ต. \u003d 6 เรามี: .

ตั้งแต่ J (6) \u003d 2 จากนั้น 3 2 º1 (MOD 6) หรือ9º1 (MOD 6) จากนั้นตาม Lemma, (9 - 1) 6 หรือ 8 6 (ฟาร์ม!?) ความผิดพลาดอยู่ที่ไหน

142. พิสูจน์ว่า: a) 23 100 º1 (mod 101); b) 81 40 º 1 (MOD100); c) 2 73 º 2 (MOD 73)

143. พิสูจน์ว่าก) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);

b) 5 4 p + 1 + 7 4p + 1 แบ่งออกโดยไม่ต้อง 12.

144. พิสูจน์ทฤษฎีบททฤษฎีผกผันออยล์: ถ้า แต่ j ( เอ็ม) º 1 (mod เอ็ม) จากนั้น ( เอ็ม) =1.

145. ค้นหาตัวบ่งชี้ที่เล็กที่สุด เค.Î n, พอใจเมื่อเทียบกับ: ก) ; b) ; ใน) ; d) ;

e) ; e) ; g) ; h) .

และ) ; ถึง) ; l) ; m) .

146. ค้นหายอดคงเหลือของแผนก:

a) 7 100 ถึง 11; b) 9,900 ต่อ 5; c) 5 176 โดย 7; d) 2 1999 ที่ 5; E) 8 377 ต่อ 5;

e) 26 57 ใน 35; g) 35 359 โดย 22; h) 5,718 โดย 103; และ) 27 260 ต่อ 40; K) 25 1998 โดย 62

147 * พิสูจน์ว่า แต่ 561 º แต่ (mod 11)

148 * หากการสลายตัวตามบัญญัติของจำนวนธรรมชาติ p ไม่มีตัวคูณ 2 และ 5 จากนั้นระดับที่ 12 ของจำนวนนี้จบลงด้วยตัวเลข 1. พิสูจน์

149 * พิสูจน์ว่า 2 64 º 16 (mod 360)

150 * พิสูจน์: ถ้า ( แต่,65) =1 , (b,65) \u003d 1 แล้ว ก. 12 – B. 12 แบ่งออกโดยไม่มีสารตกค้าง 65

บทที่ 3 การใช้งานเลขคณิต

ทฤษฎีการเปรียบเทียบเชิงตัวเลข

§ 8. ตัวเลขที่เป็นระบบ

ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎี

1. ตัวเลขทั้งหมด

8. 1. คำนิยาม 1.

ระบบตัวเลขเรียกว่าวิธีการบันทึกจำนวนใดก็ได้ สัญญาณที่พวกเขาเขียนตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลข

8. 2. นิยาม 2.

จำนวนจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบที่บันทึกไว้ในระบบการวางตำแหน่ง T-Original เรียกว่าหมายเลข n ของสายพันธุ์

, ที่ฉัน(ผม. = 0,1, 2,…, เค.) – ตัวเลขที่ไม่ใช่ลบทั้งหมด - ตัวเลข, และ0 £ ฉัน £ ต.– 1, t - ฐานของระบบตัวเลข, TÎ n, t\u003e1.

ตัวอย่างเช่นบันทึกของตัวเลขในระบบ 7-Riche มีแบบฟอร์ม: (5603) 7 \u003d 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. ที่นี่ ฉัน- เป็น 5, 6, 0, 3 - ตัวเลข; ทั้งหมดนี้เป็นไปตามเงื่อนไข: 0 £ ฉัน 6. ปอนด์ ต.\u003d 10 พูดว่า: จำนวน น. บันทึกบี ระบบตัวเลขทศนิยมและดัชนี t \u003d.10 อย่าเขียน

8. 3. ทฤษฎีบท 1

ทุกหมายเลขที่ไม่ใช่ลบสามารถแสดงได้และวิธีเดียวในรูปแบบของหมายเลขที่เป็นระบบในฐานใด ๆ ที่ tÎ n, t\u003e1.

ตัวอย่าง:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …

8. 4. โปรดทราบว่า:

1) การใช้เป็นจำนวนของศูนย์ที่เป็นระบบทางด้านซ้าย ไม่เปลี่ยนแปลงของจำนวนนี้:

(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .

2) การใช้เป็นจำนวนอย่างเป็นระบบ s. ศูนย์ทางด้านขวาเทียบเท่า การคูณหมายเลขนี้คือ t s.: (3 4) 5 \u003d 3 × 5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 \u003d 3 × 5 3 + 4 × 5 2 + 0 × 5 1 + 0 \u003d 5 2 × 5 × 5 1 + 4)

8. 5. อัลกอริทึมสำหรับการถ่ายโอนหมายเลขที่บันทึกไว้ในต. - ระบบอย่างเป็นทางการในทศนิยม:

ตัวอย่าง: (287) 12 \u003d 2 × 12 2 + 8 × 12 1 + 7 × 12 0 \u003d 2 × 144 + 8 × 12 + 7 \u003d 288 + 96 +7 \u003d (391) 10

8. 6. อัลกอริทึมสำหรับการแปลหมายเลขที่บันทึกในทศนิยม ระบบ B.ต. - เป็นทางการ:

ตัวอย่าง: (3 9 1) 10 = (เอช.) 12. การค้นหา x.

8. 7. การกระทำในจำนวนที่เป็นระบบ

2. เศษส่วนที่เป็นระบบ

8. 8. นิยาม 3.

ส่วนที่เป็นระบบ t-smoked สุดท้ายในระบบหมายเลขที่มีฐาน t เรียกว่าจำนวนสปีชีส์

ที่ C. 0 Î Z., c i - ตัวเลข– ตัวเลขที่ไม่ใช่ลบทั้งหมด, และ0 £ กับ I.£ ต.– 1, ต.Î n, t\u003e1, เค.Î น. .

การกำหนด: A \u003d ( ค. 0 , จาก 1 จาก 2 …กับเค) ต.. สำหรับ ต.\u003d 10 เศษส่วนที่เรียกว่า ทศนิยม.

8. 9. Conollary 1.

เศษส่วนที่เป็นระบบสุดท้ายใด ๆ เป็นจำนวนตรรกยะที่สามารถแสดงเป็น , อยู่ที่ไหนÎ Z, B.Î น.

ตัวอย่าง. A \u003d (3 1, 2 4) 6 \u003d 3 × 6 + 1 + \u003d 19 + - จำนวนตรรกยะ คำสั่งย้อนกลับโดยทั่วไปพูดไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่นเศษส่วนไม่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนระบบสุดท้าย (ทศนิยม)

8.10. คำนิยาม 4.

อักขระ T-Contract ที่ไม่มีที่สิ้นสุดเป็นบวกอย่างเป็นระบบในระบบตัวเลขที่มีฐาน t เรียกว่าจำนวนสปีชีส์

, จากที่ 0Î น., กับ I.(ผม. =1, 2, …, ถึง, …) - ตัวเลข– ตัวเลขที่ไม่ใช่ลบทั้งหมด, และ0 £ กับ I.£ ต.–1, ต.Î n, t\u003e1, เค.Î น..

การกำหนด: A \u003d ( จาก 0 , จาก 1 จาก 2 … กับเค…) ต.. สำหรับ ต.\u003d 10 เศษส่วนที่เรียกว่า ทศนิยม.

8.11. คำนิยาม 5.

เศษส่วนสามสายพันธุ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดเป็นไปได้:

ฉัน \u003d ( จาก 0 , ) ต.= = ต. ที่ไหน \u003d. = = … ในกรณีนี้จำนวนก. เรียกว่าเศษส่วนเป็นระยะบริสุทธิ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด(จาก 1 จาก 2 … กับเค) – ระยะเวลา, k- จำนวนตัวเลขในช่วงเวลา - ความยาวของช่วงเวลา

ii a \u003d .

ในกรณีนี้หมายเลข A เรียกว่าเศษส่วนแบบผสมที่ไม่มีที่สิ้นสุด – สัญญา, () – ระยะเวลา, k คือจำนวนตัวเลขในช่วงเวลา - ความยาวของระยะเวลา l คือจำนวนตัวเลขระหว่างจำนวนเต็มและช่วงแรก - ก่อนหน้า

iii a \u003d ( จาก 0 , จาก 1 จาก 2 … กับเค …) ต. . ในกรณีนี้จำนวนก. เรียกว่าเศษส่วนที่ไม่สิ้นสุด

ภารกิจทั่วไป

1. หมายเลข ( แต่) 5 \u003d (2 1 4 3) 5 ระบุในระบบ 5-Riche แปลเป็นระบบ 7-rich นั่นคือการค้นหา เอช.ถ้า (2 1 4 3) 5 \u003d ( เอช.) 7 .

การตัดสินใจ

1) เราแปลงหมายเลขนี้ (2 1 4 3) 5 ถึงจำนวน ( ว.) 10 บันทึกในระบบทศนิยม:

2. ดำเนินการ:

1) (7) 8 + (5) 8; 2) (7) 8 × (5) 8; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6;

4) (5 2 3 4) 7 - (2 3 5 1) 7; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5.

การตัดสินใจ

1) (7) 8 + (5) 8 \u003d (7) 10 + (5) 10 \u003d (12) 10 \u003d 1 × 8 + 4 \u003d (1 4) 8;

2) (7) 8 × (5) 8 \u003d (7) 10 × (5) 10 \u003d (35) 10 \u003d 4 × 8 + 3 \u003d (4 3) 8;

3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6	บันทึก:	4 + 5 \u003d 9 \u003d 1 × 6 + 3, 3 เขียน, 1 เข้าสู่การปล่อยครั้งต่อไป, 6 + 3 + 1 \u003d 10 \u003d 1 × 6 + 4, 4 เขียน, 1 ไปที่การปล่อยครั้งต่อไป, 3 + 4 + 1 \u003d 8 \u003d 1 × 6 + 2, 2 เขียน, 1 ไปที่การปล่อยครั้งต่อไป
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7	บันทึก:	"เราครอบครอง" หน่วยประเภทเดียว, I.e. "1" \u003d 1 × 7: (3 + 1 × 7) - 5 \u003d 10 - 5 \u003d 5, (1 + 1 × 7) - 3 \u003d 8 - 3 \u003d 5
5) (4 2 3) 5 ' (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5	บันทึก:	เมื่อการคูณโดย 2: 3 × 2 \u003d 6 \u003d 1 × 5 + 1, 1, เราเขียน, 1 ไปที่การปล่อยครั้งต่อไป, 2 × 2 + 1 \u003d 5 \u003d 1 × 5 +0, 0 เราเขียน 1 ไปที่ การปล่อยครั้งต่อไป, 2 × 4 + 1 \u003d 9 \u003d 1 × 5 +4, 4 เขียน, 1 ไปที่การปล่อยครั้งต่อไปด้วยการคูณ 3: 3 × 3 \u003d 9 \u003d 1 × 5 + 4, 4 เขียน, 1 ไปที่หมวดหมู่ถัดไป, 3 × 2 + 1 \u003d 7 \u003d 1 × 5 +2, 2 เขียน, 1 ไปที่การปล่อยครั้งต่อไป, 3 × 4 + 1 \u003d 13 \u003d 2 × 5 +3, 3 เราเขียน, 2 ไป เข้าสู่การปล่อยครั้งต่อไป

6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5

2 3 2 4 (3 2) 5

1 4 0 1 ตอบ: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;

(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .

แบบฝึกหัดสำหรับงานอิสระ

151. ตัวเลขที่ระบุใน ต.- ระบบอย่างเป็นทางการแปลเป็นระบบทศนิยม:

a) (2 3 5) 7; b) (2 4 3 1) 5; c) (1 0 0 1 0 1) 2; d) (1 3) 15;

e) (2 7) 11; e) (3 2 5 4) 6; g) (1 5 0 1 3) 8; H) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2;

และ) (7 6 2) 8; k) (1 1 1 1) 20.

152. ตัวเลข ระบุไว้ในระบบทศนิยมแปล ต.- ระบบอย่างเป็นทางการ ตรวจสอบ.

a) (1 3 2) 10 \u003d ( เอช.) 7; b) (2 9 8) 10 \u003d ( เอช.) ห้า; c) (3 7) 10 \u003d ( เอช.) 2; d) (3 2 4 5) 10 \u003d ( เอช.) 6 ;

e) (4 4 4 4) 10 \u003d ( เอช.) 3; e) (5 6 3) 10 \u003d ( เอช.) 12; g) (5 0 0) 10 \u003d ( เอช.) แปด; h) (6 0 0) 10 \u003d ( เอช.) 2 ;

และ) (1 0 0 1 5) 10 \u003d ( เอช.) ยี่สิบ ; k) (9 2 5) 10 \u003d ( เอช.) แปด; l) (6 3 3) 10 \u003d ( เอช.) สิบห้า; m) (1 4 3) 10 \u003d ( เอช.) 2 .

153. ตัวเลขที่ระบุไว้ใน ต.- ระบบอย่างเป็นทางการแปล ถาม- ระบบอย่างเป็นทางการ (โดยการเปลี่ยนผ่านระบบทศนิยม)

a) (3 7) 8 \u003d ( เอช.) 3; b) (1 1 0 1 1 0) 2 \u003d ( เอช.) ห้า; c) (6 2) 11 \u003d ( เอช.) 4 ;

d) (4) 12 \u003d ( เอช.) เก้า e) (3 3 1 3 1) 5 \u003d ( เอช.) 12 .

154. (a) จำนวน (1 2 3) 5 จะเปลี่ยนแปลงอย่างไรถ้าเป็นศูนย์ถึงเป็นศูนย์?

b) วิธีการเปลี่ยนหมายเลข (5 7 6) 8 ถ้าคุณมีสองศูนย์ให้ถูกต้อง?

155. ดำเนินการ:

a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4; b) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8; c) (1 0 1 1 0 1) 2 + (1 1 0 1 10) 2;

d) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9; e) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; e) (2 4 5 3) 7 - (1 6 4 5) 7;

g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; H) (1 7 5) 11 - (6) 11; และ) (3 6 4 0 1) 7 - (2 6 6 6 3) 7;

k) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 1 0 1) 2; l) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2 2) 8 × (2 4 6) 8;

h) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4;

p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8; c) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5; T) (1 1 0 1 0 0 1 0) 2: (1 0 1 0 1) 2

y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6; X) (3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9: (7 6 4 2) 9.

c) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; H) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; W) (1 2 7) 12 + (9 1 3 5) 12B "× b. 1 แล้ว:

ฉันถ้าตัวหาร b. = b "(มีเพียง "2" และ / หรือ "5") จากนั้นเศษส่วนจะถูกแปลงเป็น จำกัด เศษทศนิยม จำนวนของสัญญาณทศนิยมเท่ากับจำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุด l. L.º 0( mOD B.").

ii ถ้าตัวส่วน b. = b 1.(ไม่มี "2" และ "5") จากนั้นเศษส่วนจะถูกเปลี่ยนเป็น ไม่มีที่สิ้นสุดเป็นระยะ ๆ เท่ากับจำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุด เค.พอใจเมื่อเทียบกับ 10 เค.º 1 ( mOD B. 1).

III ถ้าตัวส่วน b. = b "× b. 1 (มี "2" และ / หรือ "5" รวมถึงตัวคูณที่เรียบง่ายอื่น ๆ ) จากนั้นเศษส่วนจะถูกแปลงเป็น infinite ผสมเป็นระยะสิบ

เศษส่วน tichty

ความยาวของช่วงเวลาเท่ากับจำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุด เค.พอใจเมื่อเทียบกับ 10 เค.º 1 ( mod b 1).

ความยาวของคำนำของคำนำนั้นเท่ากับจำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุด l.พอใจเมื่อเทียบกับ 10 L.º 0( mOD B.").

9. 2. บทสรุป

9. 3. โปรดทราบว่า:

จำนวนตรรกยะเป็นเพียงเศษส่วนทศนิยมที่ จำกัด หรือเศษส่วนทศนิยมที่ไม่มีที่สิ้นสุด

จำนวนที่ไม่มีเหตุผลคือเศษส่วนทศนิยมที่ไม่มีนัยสำคัญทุกแห่ง

ภารกิจทั่วไป

1. เศษส่วนข้อมูลธรรมดาที่บันทึกในระบบทศนิยมแปลงเป็น

ทศนิยม เบื้องต้น เมื่อพิจารณาจากรูปแบบของเศษส่วนที่ต้องการ (ขั้นสุดท้ายหรือไม่มีที่สิ้นสุด; เป็นระยะหรือไม่เป็นระยะ; ถ้าเป็นเป็นระยะจากนั้นเป็นระยะ ๆ เป็นระยะหรือผสมเป็นระยะ); ในกรณีล่าสุด - ไม่พบ จำนวน เค. - ความยาวระยะเวลาและจำนวน l.- ความยาวสูงสุด หนึ่ง); 2); 3)

การตัดสินใจ

1) ในเศษส่วน \u003d ตัวหาร - หมายเลข b. \u003d 80 \u003d 2 4 × 5 มีเพียง "2" และ "5" ดังนั้นเศษส่วนนี้จะถูกแปลงเป็น จำกัด เศษทศนิยม จำนวนของสัญญาณทศนิยม l nim กำหนดจากเงื่อนไข: 10 L.º0 (MOD80):

2) ในเศษส่วน \u003d ตัวหาร - จำนวน b. \u003d 27 \u003d 3 3 ไม่มี "2" และ "5" ดังนั้นเศษส่วนนี้จึงถูกเปลี่ยนเป็นอนันต์ เป็นประจำ เศษทศนิยม ระยะเวลายาว k naim กำหนดจากเงื่อนไข: 10 เค.º1 (mod27):

3) ในเศษส่วน \u003d ตัวหาร - หมายเลข b. \u003d 24 \u003d 2 3 × 3 นั่นคือดูเหมือนว่า: b. = b "× b. 1 (ยกเว้น "2" หรือ "5" มีปัจจัยอื่น ๆ ในกรณีนี้หมายเลข 3) ดังนั้นเศษส่วนนี้จึงถูกเปลี่ยนเป็นอนันต์ ผสมเป็นระยะ เศษทศนิยม ระยะเวลายาว k naim กำหนดจากเงื่อนไข: 10 เค.º1 (mod3) จากที่ใด k naim \u003d 1 นั่นคือความยาวของช่วงเวลา เค. \u003d 1. ความยาว preform l nim กำหนดจากเงื่อนไข: 10 L.º0 (mod8) จากที่ใด l nim \u003d 3 นั่นคือความยาวของคำนำ l. = 3.

ตรวจสอบ: เราแยก "มุม" 5 ถึง 24 และรับ: \u003d 0, 208 (3)

ตอบ:1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).

แบบฝึกหัดสำหรับงานอิสระ

156. ข้อมูลเศษส่วนสามัญที่บันทึกไว้ในระบบทศนิยมแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยม หากเศษทศนิยมเป็นระยะ ๆ เบื้องต้น ค้นหาหมายเลข เค. - ความยาวระยะเวลาและจำนวน L.- ความยาวสูงสุด

157. ข้อมูลเศษส่วนทั่วไปที่บันทึกไว้ในระบบทศนิยมแปลงเป็น ต.- เศษส่วนอย่างเป็นทางการอย่างเป็นทางการ ค้นหาตัวเลข เค. - ความยาวของช่วงเวลาและ l.- ความยาวสูงสุด

158 * หมายเลขระบบหมายเลขใด (4 6) 10 เขียนด้วยตัวเลขเดียวกัน แต่ใน

ลำดับย้อนกลับ?

159 * อะไรคืออะไร: หน่วยของหมวดหมู่ที่ 8 ในระบบไบนารีหรือหน่วยของหมวดหมู่ที่ 4 ในระบบ 8-Riche?

§ 10. ทฤษฎีบทของปาสกาล สัญญาณของการหาร

ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎี

10. 1. ทฤษฎีบทของปาสกาล (1623 – 1662).

ได้รับตัวเลขธรรมชาติ: t\u003e1 และ n ที่บันทึกไว้ในระบบควัน:

, ที่ฉัน - - ตัวเลข: a iÎ n,0 £ ฉัน £ ต.–1 (ผม. = 0,1, 2,…, เค.), ต.Î n, t\u003e1.

อนุญาต น.= (a k a k - 1 … ก. 1 ก. 0) 10 = ก.× 10 เค. +k - 1 × 10 k - 1 +…+ก. 1 × 10 + ก. 0 , เอ็ม\u003d 3 I. เอ็ม = 9.

1) ค้นหา b I.: โดยโมดูลm \u003d. 3 โมดูลm \u003d. 9

10 0 º1 (mod3), I.e. b. 0 \u003d 1, 10 0 º1 (mod9), I.e. b. 0 =1,

10 1 º1 (MOD3), I.e. b. 1 \u003d 1, 10 1 º1 (MOD9), I.e. b. 1 =1,

10 2 º1 (MOD3), I.e. b. 2 \u003d 1, 10 2 2 º1 (MOD9), I.e. b.

มักจะเป็นระบบการหักเงินโดยโมดูลที่สมบูรณ์ เอ็ม ต้องการการหักเงินที่ไม่ใช่เชิงลบน้อยที่สุด

0,1,...,เอ็ม − 1

หรือการหักเงินที่เล็กที่สุดอย่างแน่นอนประกอบด้วยตัวเลข

,

ในกรณีที่แปลก เอ็ม และตัวเลข

ในกรณีหนึ่ง เอ็ม .

ดูสิ่งนี้ด้วย

วรรณคดี

• I. M. Vinogradov พื้นฐานของทฤษฎีตัวเลข - M. -L.: รัฐ เอ็ด วรรณคดีทางเทคนิคและเชิงทฤษฎี 2495 - 180 หน้า

มูลนิธิ Wikimedia 2010

ดู "ระบบหักเงินที่สมบูรณ์" คืออะไรในพจนานุกรมอื่น ๆ :

โดยโมดูล M, การรวมกันของจำนวนเต็มใด ๆ ที่มีจำนวนหนึ่งจากแต่ละคลาสของตัวเลขโดยโมดูล m (สองจำนวนเต็ม A และ B เป็นหนึ่งในคลาสหนึ่งโดยโมดูล m ถ้า b แบ่งออกเป็น m; ดูการหัก) ในฐานะที่เป็น P. หน้า ใน. ส่วนใหญ่มักจะ… …

โดยโมดูล t, ชุดใด ๆ ของตัวเลข tantiamatic ที่มีโมดูล มักจะเป็น P. หน้า ใน. การหักเงินที่ไม่ใช่เชิงลบที่เล็กที่สุด 0, 1 เป็นประโยชน์ในโมดูล . ., t 1 หรือการหักที่เล็กที่สุดอย่างแน่นอนประกอบด้วยตัวเลข 0, +1,. . . ใน ... ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ส่วนหนึ่งของระบบการหักทั้งหมด (ดูระบบการหักเต็ม) ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขที่เรียบง่ายซึ่งกันและกันด้วยโมดูล M P. S ใน. มีตัวเลขφ (m) [φ (m) จำนวนตัวเลขที่เรียบง่ายร่วมกันด้วย m และ m ขนาดเล็ก] ทั้งหมดφ (m) ตัวเลข, ไม่เทียบเท่าในโมดูล m และ ... ... สารานุกรมโซเวียตที่ยิ่งใหญ่

การเปรียบเทียบโมดูลของหมายเลขธรรมชาติ N ในทฤษฎีของตัวเลขอัตราส่วนความเท่าเทียมกันในวงแหวนของจำนวนเต็มที่เกี่ยวข้องกับการแบ่งบน N ปัจจัยในความสัมพันธ์นี้เรียกว่าวงแหวนของการหักเงิน การรวมกันของตัวตนที่เกี่ยวข้องและ ... ... วิกิพีเดีย

ในทฤษฎีของตัวเลขการเปรียบเทียบ [ชี้แจง] ในโมดูลของจำนวนธรรมชาติของจำนวน n จำนวนที่ระบุของอัตราส่วนความเท่าเทียมกันในจำนวนเต็มของจำนวนเต็มที่เกี่ยวข้องกับการแบ่ง ปัจจัยของพื้นที่ในความสัมพันธ์นี้เรียกว่า "แหวน ... ... วิกิพีเดีย

เกล็ดหิมะสมมาตรมีความสัมพันธ์กับมุมมุมหนึ่งกลุ่มพีชคณิตกลุ่มสุดท้าย 60 °ที่มีจำนวนองค์ประกอบ จำกัด (หมายเลขนี้เรียกว่าคำสั่งของมัน) ต่อไปกลุ่มจะถือว่าเป็นตัวคูณนั่นคือการดำเนินงานใน ... ... วิกิพีเดีย

ฟังก์ชั่นการพาราไดซ์สามารถแสดงได้ด้วยแถบพลังงาน ยกเว้นความสำคัญของ Class A. F. พิจารณาจากสิ่งต่อไปนี้ ประการแรกชั้นเรียนนี้เพียงพอ SH และ R เกี่ยวกับ: ครอบคลุมส่วนใหญ่ของฟังก์ชั่นที่พบในประเด็นคณิตศาสตร์หลักและ ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ฉันพอใจ: I. การศึกษาสาธารณะระดับประถมศึกษาเลย ครั้งที่สอง การศึกษาพื้นบ้านหลักในต่างประเทศ: ออสเตรียฮังการี, อังกฤษ, เบลเยี่ยม, บัลแกเรีย, เยอรมนี, ฮอลแลนด์, เดนมาร์ก, สเปน, อิตาลี, นอร์เวย์, โปรตุเกส, โรมาเนีย, เซอร์เบีย, ... พจนานุกรมสารานุกรม F.A Brockhaus และ I.A efron

- - เกิดเมื่อวันที่ 26 พฤษภาคม ค.ศ. 1799 ในมอสโกบนถนนเยอรมันในบ้านของ Skvortsova; เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 29 มกราคม ค.ศ. 1837 ในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก จากด้านข้างของพ่อ Pushkin เป็นของตระกูลขุนนางเก่าซึ่งกำลังเกิดขึ้นในการใช้ลูกด้ายจากซ้าย ... ... สารานุกรมชีวประวัติขนาดใหญ่

การรวมกันของสูตรปิดของตรรกะของ Predicates ของขั้นตอนที่ 1 E. T. Th (K) ชั้นเรียนเป็นระบบลายเซ็นพีชคณิต NAZ การรวมกันของสูตรปิดทั้งหมดของเพรดิเคตของขั้นตอนที่ 1 ของลายเซ็นของจริงในทุกระบบจาก Class K หากชั้นเรียน ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

วรรค 17. สมบูรณ์และลดระบบการหัก

ในวรรคก่อนหน้านี้ได้รับการตั้งข้อสังเกตว่าทัศนคติ єม. การเปรียบเทียบกับโมดูลโดยพลการ เอ็ม มีอัตราส่วนเทียบเท่ากับจำนวนเต็มจำนวนเต็ม อัตราส่วนเทียบเท่านี้ทำให้เกิดการแบ่งพาร์ติชันของชุดจำนวนเต็มไปยังชั้นเรียนขององค์ประกอบที่เทียบเท่ากันในตัวพวกเขา ในชั้นหนึ่งตัวเลขที่ให้เมื่อหารบน เอ็ม เศษซากเดียวกัน จำนวนคลาสที่เทียบเท่า єม. (สัญญาณจะพูด - "ดัชนีความเท่าเทียมกัน єม. ") เท่ากัน เอ็ม .

นิยาม จำนวนคลาสเทียบเท่าใด ๆ єม. ลองเรียกการหักด้วยโมดูลกัน เอ็ม . การรวมกันของการหักเงินตามหนึ่งในแต่ละคลาสเทียบเท่า єม. เรียกว่าระบบการหักเงินเต็มรูปแบบในโมดูล เอ็ม (ในระบบการหักเงินเต็มรูปแบบดังนั้นทั้งหมด เอ็ม ชิ้นส่วนของตัวเลข) ยังคงอยู่โดยตรงเมื่อหารบน เอ็ม เรียกว่าการหักเงินที่ไม่เป็นลบที่เล็กที่สุดและแน่นอนว่าเป็นระบบการหักเงินเต็มรูปแบบโดยโมดูล เอ็ม . การหักเงิน R ถูกเรียกว่าเล็กที่สุดถ้า PRP มีขนาดเล็กที่สุดในบรรดาอีเมลของการหักเงินในชั้นนี้

ตัวอย่าง : อนุญาต เอ็ม \u003d 5 จากนั้น:

0, 1, 2, 3, 4 - การหักเงินที่ไม่ใช่เชิงลบที่เล็กที่สุด

2, -1, 0, 1, 2 - การหักเงินที่เล็กที่สุดอย่างแน่นอน

ทั้งชุดของตัวเลขที่กำหนดแบบฟอร์มระบบการหักเงินเต็มรูปแบบในโมดูล 5 .

เลมม่า 1. 1) ใด ๆ เอ็ม ชิ้นส่วนในโมดูลที่เทียบเท่ากับคู่ เอ็ม ตัวเลขเป็นระบบการหักเงินที่สมบูรณ์แบบโดยโมดูล เอ็ม .

2) ถ้า แต่ และ เอ็ม ง่ายร่วมกันและ เอ็กซ์ เอ็ม จากนั้นค่าของรูปแบบเชิงเส้น aX + B. ที่ไหน b. - จำนวนเต็มใด ๆ ทำงานเต็มระบบการหักเงินในโมดูล เอ็ม .

หลักฐาน. Approval 1) - เห็นได้ชัดว่า ให้เราพิสูจน์การยืนยัน 2) ตัวเลข aX + B. เรียบ เอ็ม ชิ้นส่วน เราแสดงให้เห็นว่าพวกเขาไม่สามารถเทียบเคียงได้กับโมดูล เอ็ม . ให้บางคนแตกต่างกัน x 1 และ x 2 จากระบบการหักเงินเต็มรูปแบบปรากฎว่า aX 1 + B є AX 2 + B (MOD M) . จากนั้นตามคุณสมบัติของการเปรียบเทียบจากรายการก่อนหน้านี้เราได้รับ:

aX 1 є AX 2 (MOD M)

x 1 є x 2 (mod m)

- ความขัดแย้งกับความจริงที่ว่า x 1 และ x 2 แตกต่างและนำมาจากระบบการหักเงินเต็มรูปแบบ

เนื่องจากตัวเลขทั้งหมดจากคลาสเทียบเท่านี้จะได้รับจากจำนวนหนึ่งของคลาสนี้โดยการเพิ่มจำนวนหลายรายการ เอ็ม จากนั้นตัวเลขทั้งหมดจากคลาสนี้มีโมดูล เอ็ม ตัวแบ่งทั่วไปที่ใหญ่ที่สุดเท่ากัน สำหรับการพิจารณาบางอย่างดอกเบี้ยที่สูงขึ้นคือการหักเงินที่มีกับโมดูล เอ็ม ตัวแบ่งทั่วไปที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเท่ากับหนึ่ง I.E. การเดินทางที่เรียบง่ายพร้อมโมดูล

นิยาม ระบบการหักเงินที่ลดลงโดยโมดูล เอ็ม เรียกว่าชุดของการหักเงินทั้งหมดจากระบบเต็มรูปแบบที่เรียบง่ายร่วมกันกับโมดูล เอ็ม .

ระบบที่ลดลงมักจะถูกเลือกจากการหักเงินที่ไม่ใช่เชิงลบที่เล็กที่สุด เป็นที่ชัดเจนว่าระบบการหักเงินที่ลดลงในโมดูล เอ็ม มี j ( เอ็ม) ชิ้นส่วนของการหักเงินที่ J ( เอ็ม) - ฟังก์ชั่นออยเลอร์คือจำนวนตัวเลขที่เล็กกว่า เอ็ม และเรียบง่ายร่วมกันด้วย เอ็ม . หาก ณ จุดนี้คุณได้ลืมฟังก์ชั่นของออยเลอร์แล้วให้ดูที่จุดที่ 14 และตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีบางอย่างพูดถึงที่นั่น

ตัวอย่าง. อนุญาต เอ็ม \u003d 42. ระบบการหักเงินที่ลดลงคือ:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

เลมม่า 2. 1) j ใด ๆ j ( เอ็ม) ตัวเลขเป็นคู่ไม่เทียบเท่ากับโมดูล เอ็ม และง่าย ๆ ด้วยโมดูลในรูปแบบระบบการหักเงินที่ลดลงโดยโมดูล เอ็ม .

2) ถ้า (a, m) \u003d 1 และ เอ็กซ์ รันระบบการหักเงินที่ลดลงโดยโมดูล เอ็ม ต. ขวาน. ระบบการหักเงินที่ลดลงในโมดูล เอ็ม .

หลักฐาน. Approval 1) - เห็นได้ชัดว่า ให้เราพิสูจน์การยืนยัน 2) ตัวเลข ขวาน. หาที่เปรียบมิได้อย่างต่อเนื่อง (นี้ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับในบทแทรก 1 ของวรรคนี้), j ( เอ็ม) ชิ้น นอกจากนี้ยังเป็นที่ชัดเจนว่าทั้งหมดของพวกเขานั้นง่ายร่วมกันกับโมดูลสำหรับ (a, m) \u003d 1, (x, m) \u003d 1 y (ax.m) \u003d 1 . ดังนั้นตัวเลข ขวาน. สร้างระบบการหักเงินที่ลดลง

นี่คือคำจำกัดความและคุณสมบัติพื้นฐานของระบบการหักเต็มและลดลงอย่างไรก็ตามยังมีสิ่งที่น่าสนใจมากมายในกระเป๋าสัมภาระของความรู้ทางคณิตศาสตร์ ข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับระบบการหักเงิน หากคุณมีแนวโน้มเกี่ยวกับพวกเขา ณ จุดนี้มันกลัวว่าจะเป็นการละเมิดกฎหมายโดยตรง สหพันธรัฐรัสเซีย เกี่ยวกับข้อมูลการถ้ำที่เป็นอันตรายซึ่งเป็นไปตามกฎหมายนี้การบริหารและแม้กระทั่งพระราชบัญญัติอาชญากรรม นอกจากนี้โดยไม่คุ้นเคยกับคุณสมบัติที่สำคัญต่อไปของระบบการหักเงินวรรค 17 จะเป็น kuts มาก เราจะดำเนินการต่อ

เลมม่า 3. อนุญาต m 1, m 2, ... , m k - เรียบง่ายเสมอกันและ m 1 m 2 ... m k \u003d m 1 m 1 \u003d m 2 m 2 \u003d ... \u003d m k m k ที่ไหน

1) ถ้า x 1, x 2, ... , x k เรียกใช้ระบบการหักเงินเต็มรูปแบบโดยโมดูล m 1, m 2, ... , m k ดังนั้นค่าของแบบฟอร์มเชิงเส้น m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k เรียกใช้การหักระบบเต็มด้วยโมดูล m \u003d m 1 m 2 ... m k .

2) ถ้า x 1, x 2, ... , x k เรียกใช้ระบบการหักเงินบนโมดูลที่ทำงาน m 1, m 2, ... , m k ดังนั้นค่าของแบบฟอร์มเชิงเส้น m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k ระบบการหักเงินที่ลดลงในโมดูลทำงาน m \u003d m 1 m 2 ... m k .

หลักฐาน.

1) แบบฟอร์ม m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k เห็นได้ชัดว่า m 1 m 2 ... m k \u003d m ค่า. เราแสดงให้เห็นว่าค่าเหล่านี้หาที่เปรียบมิได้ ดีปล่อยให้มันเป็น

m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k є m 1 x 1 c + m 2 x 2 s + ... + m k x k s (mod m)

ทั้งหมด M J. ยอดเยี่ยม นางสาว. , มากกว่า นางสาว. . การลบซ้ายและขวาในการเปรียบเทียบส่วนประกอบล่าสุดหลายรายการ นางสาว. เราจะได้รับ:

m s x s є m s x s С (mod m s) y x s є x s s (mod m s)

- ความขัดแย้งกับความจริงที่ว่า x S. รันระบบการหักเงินเต็มรูปแบบโดยโมดูล นางสาว. .

2) แบบฟอร์ม m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k ยอมรับอย่างชัดเจน J ( m 1.) j ( m 2.) h ... h j ( m k) \u003d j ( m 1 m 2 h ... h m k) \u003d j ( เอ็ม) (ฟังก์ชั่นทวีคูณออยเลอร์!) ค่าที่แตกต่างกันซึ่งกันและกันด้วยโมดูล m \u003d m 1 m 2 ... m k ไม่มีที่เปรียบ หลังได้รับการพิสูจน์ง่ายโดยการให้เหตุผลคล้ายกับข้อโต้แย้งที่ดำเนินการในหลักฐานการอนุมัติ 1) ของบทแทรกนี้ เช่น ( m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k, m s) \u003d (m s x s, m s) \u003d 1 แต่ละ 1 ј s ј k จากนั้น ( m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k, m s) \u003d 1 ดังนั้นค่ารูปร่างจำนวนมาก m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k สร้างระบบที่ลดลงของการหักเงินในโมดูล เอ็ม .

เลมม่า 4. อนุญาต x 1, x 2, ... , x k, x ทำงานเต็มและ x 1, x 2, ... , x k, x - เรียกใช้การหักเงินที่ลดลงในโมดูล m 1, m 2, ... , m k และ m \u003d m 1 m 2 ... m k ดังนั้นที่ไหน (m i m j) \u003d 1 สำหรับ ฉัน№ J. . จากนั้น fracius (x 1 / m 1 + x 2 / m 2 + ... + x k / m k) ตรงกับเศษส่วน (x / m) และ fraci (x 1 / m 1 + x 2 / m 2 + ... + x k / m k) ตรงกับเศษส่วน (x / m) .

หลักฐาน. หลักฐานของทั้งสองงบของ Lemma 4 ได้อย่างง่ายดายกลายเป็นเลมม่า 3 ก่อนหน้านี้หลังจากที่คุณให้แต่ละจำนวน (x 1 / m 1 + x 2 / m 2 + ... + x k / m k) และ (x 1 / m 1 + x 2 / m 2 + ... + x k / m k) ถึงส่วนใหญ่:

(x 1 / m 1 + x 2 / m 2 + ... + x k / m k) \u003d ((m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k) / m) ;

(x 1 / m 1 + x 2 / m 2 + ... + x k / m k) \u003d ((m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k) / m) ,

ที่ไหน m j \u003d m 1 ... m j-1 m j + 1 ... m k .

หากตอนนี้คำนึงถึงส่วนเศษส่วนของตัวเลขที่ได้รับเมื่อหารโมดูล เอ็ม ตัวเลขสองตัวใด ๆ เปรียบได้กับโมดูล เอ็ม เหมือนกัน (เท่ากัน r / m ที่ไหน อาร์ - การหักเงินที่ไม่เป็นลบที่เล็กที่สุดจากชั้นนี้) จากนั้นการอนุมัติของเลมม่าปัจจุบันจะชัดเจน

ส่วนที่เหลือของรายการนี้จะเกิดขึ้นสิ่งที่น่าสนใจที่สุด - เราจะสรุปรากที่ซับซ้อน เอ็ม ระดับจากหน่วยกับการเชื่อมโยงที่โดดเด่นระหว่างรากระบบการหักเงินและฟังก์ชั่นการคูณที่คุ้นเคยของ Mbius M ( เอ็ม) .

แสดงโดย e k เค. ราก m- โอ้องศาจากที่หนึ่ง:

รูปแบบการบันทึกแบบบูรณาการเหล่านี้ที่เราจำได้ดีตั้งแต่ปีแรก ที่นี่ k \u003d 0.1, ... , M-1 - รันระบบการหักเงินเต็มรูปแบบในโมดูล เอ็ม .

ให้ฉันเตือนคุณว่าจำนวนเงิน e 0 + E 1 + ... + E M-1 รากทั้งหมด เอ็ม ปริญญาจากหน่วยเท่ากับศูนย์สำหรับใด ๆ เอ็ม . แน่นอน e 0 + e 1 + ... + E M-1 \u003d a . คูณจำนวนนี้ใน Non-Zero Number E 1 การคูณดังกล่าวนั้นมีเรขาคณิตในระนาบที่ซับซ้อนหมายถึงการหมุนของที่ถูกต้อง เอ็ม "ไข่ในจุดยอดที่เป็นรากฐาน e 0, E 1, ... , E M-1 บนมุมที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 p / m . เป็นที่ชัดเจนว่าในเวลาเดียวกันรูต e 0 จะไปที่ราก e 1 ราก e 1 จะไปที่ราก e 2. ฯลฯ และราก e m-1 จะไปที่ราก e 0 . ผลรวม e 0 + E 1 + ... + E M-1 จะไม่เปลี่ยนแปลง มี e 1 a \u003d a จาก! a \u003d 0 .

ทฤษฎีบท 1 อนุญาต m\u003e 0 - จำนวนเต็ม o. Z. , เอ็กซ์ รันระบบการหักเงินเต็มรูปแบบโดยโมดูล เอ็ม . จากนั้นถ้า แต่ ขอบ เอ็ม ต.

มิฉะนั้นเมื่อไหร่ แต่ ไม่มีหลาย เอ็ม ,

.

หลักฐาน. สำหรับ แต่ มติ เอ็ม เรามี: a \u003d md และ

สำหรับ แต่ ไม่หารด้วย เอ็ม แยกชิ้นส่วนและตัวหาร a / M บน d. - ตัวแบ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุด แต่ และ เอ็ม ฉันได้รับเศษส่วนที่เข้าใจยาก 1 / m 1 . จากนั้นในเลมม่า 1 1 x จะเรียกใช้ระบบการหักเงินเต็มรูปแบบโดยโมดูล เอ็ม . เรามี:

สำหรับผลรวมของรากทั้งหมดของระดับ m 1. จากหน่วยเป็นศูนย์

มาเตือนคุณว่าราก e K. เอ็ม ระดับจากหนึ่งที่เรียกว่าดั้งเดิมถ้าดัชนีของมัน เค. เรียบง่าย เอ็ม . ในกรณีนี้ตามที่พิสูจน์แล้วในปีแรกองศาที่สอดคล้องกัน e K 1, E K 2, ... , E K M-1 ราก e K. รูปแบบทั้งสิ้นของรากทั้งหมด เอ็ม ปริญญาจากหนึ่งหรือในคำอื่น ๆ e K. เป็นองค์ประกอบที่สร้างขึ้นของกลุ่มวงกลมของรากทั้งหมด เอ็ม ปริญญาจากหนึ่ง

เห็นได้ชัดว่าจำนวนรากฐานดั้งเดิมที่แตกต่างกัน เอ็ม ปริญญาจากหนึ่งเท่ากับ j ( เอ็ม) ที่ที่ J คือฟังก์ชั่นออยเลอร์เนื่องจากดัชนีในรากดั้งเดิมจะเป็นระบบการหักเงินที่กำหนดโดยโมดูล เอ็ม .

ทฤษฎีบท 2. อนุญาต m\u003e 0 - จำนวนเต็ม x ทำงานลงระบบที่ลดลงของการหักเงินในโมดูล เอ็ม . จากนั้น (ผลรวมของรากฐานดั้งเดิมของระดับ เอ็ม):

ที่ m ( เอ็ม) - ฟังก์ชั่น Mebius

หลักฐาน. อนุญาต m \u003d p 1 a 1 p 2 a 2 ... p k a k - การสลายตัวตามบัญญัติของหมายเลข เอ็ม ; m 1 \u003d p 1 a 1 , m 2 \u003d p 2 a 2 , m 3 \u003d p 3 a 3 ; x ฉันรันระบบการหักลดลงตามโมดูล m i. . เรามี:

สำหรับ a s \u003d 1 ปรากฎว่าเพียงราก e 0 \u003d 1 มันไม่ได้เป็นแบบดั้งเดิมดังนั้นผลรวมของรากดั้งเดิมทั้งหมดคือผลรวมของรากทั้งหมดลบหนึ่ง:

มันกลายเป็นถ้า เอ็ม ฟรีจากสี่เหลี่ยม (i.e. ไม่แบ่งออกเป็น r 2 , พี. r\u003e 1.), ต.

หากตัวบ่งชี้ใด ๆ เช่น. หน่วยเพิ่มเติม (I.e. เอ็ม หารด้วย r 2 , พี. r\u003e 1.) จากนั้นผลรวมของรากดั้งเดิมทั้งหมด นางสาว. มีผลรวมของรากทั้งหมดของระดับ นางสาว. ลบผลรวมของรากดั้งเดิมไม่ใช่แบบดั้งเดิม I.e. รากทั้งหมดของบางระดับมีขนาดเล็กลง นางสาว. . มันเป็นถ้า m s \u003d p s m s * แล้ว:

ตอนนี้ผู้อ่านที่รักเมื่อฉันส่งข้อมูลจำนวนมากที่ค่อนข้างสำคัญเกี่ยวกับระบบการหักแบบเต็มรูปแบบและลดลงไม่มีใครสามารถตำหนิฉันในการละเมิดกฎหมายของสหพันธรัฐรัสเซียในข้อมูลผ่านการตรวจสอบความพอใจของรัสเซียดังนั้นฉันจึงเสร็จสิ้น รายการที่มีความพึงพอใจ

แท็ก

1 . เขียนบนใบที่เล็กที่สุดที่ไม่ใช่เชิงลบและการหักเงินที่เล็กที่สุดทั้งหมด a) modulo 6, b) โมดูล 8 ด้านล่างเขียนระบบการหักเงินสำหรับโมดูลเหล่านี้ วาดแยกต่างหากบนระนาบแบบบูรณาการของรากของหกและรากของระดับที่แปดจากหน่วยทั้งสองภาพวาดวงกลมรากที่มีรูปทรงแรกและค้นหาผลรวมของพวกเขาในแต่ละกรณี 2 . อนุญาต e. - ปริญญาต้อยพิถีพิถัน 2n จากที่หนึ่ง ค้นหาจำนวนเงิน: 1+ E + E 2 + ... + E N-1 . 3 . ค้นหาผลรวมของรากดั้งเดิมทั้งหมด: ก) 15; b) 24; c) ปริญญาที่ 30 จากหนึ่ง 4 . ค้นหาปริมาณงานทุกชนิดของรากดั้งเดิม น. ปริญญาจากหน่วยที่ใช้สอง 5 . ค้นหาจำนวนเงิน เค. องศาของรากทั้งหมด น. ปริญญาจากหนึ่ง 6 . อนุญาต m\u003e 1 , (a, m) \u003d 1 , b. - จำนวนเต็ม เอช. ทำงานเต็มรูปแบบและ x เป็นระบบการหักเงินที่ลดลงโดยโมดูล เอ็ม . พิสูจน์ว่า: แต่) b) 7 . พิสูจน์ว่า: , ที่ไหน r มันรันวงเวียนที่เรียบง่ายทั้งหมดของจำนวน แต่ .

นิยาม ตัวเลขเป็นระบบการหักเงินที่สมบูรณ์ในโมดูลหากจำนวนเต็มที่เทียบเคียงกับโมดูลที่มีหนึ่งและเพียงหนึ่งหมายเลขเหล่านี้

ระบบการหักเงินที่สมบูรณ์แบบใด ๆ ในโมดูลประกอบด้วยตัวเลขที่เป็นคู่ไม่สามารถเทียบเคียงได้กับโมดูล

ทฤษฎีบท. ให้ระบบการหักเงินเต็มรูปแบบในโมดูล อนุญาตเป็นจำนวนเต็มที่เรียบง่ายร่วมกัน จากนั้น - ระบบการหักเงินเต็มรูปแบบในโมดูล

หลักฐาน. จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นคู่ไม่สามารถเทียบเคียงได้กับโมดูล สมมติว่าน่ารังเกียจ อนุญาต

ตั้งแต่โหนดสิ่งที่ขัดกับเงื่อนไข

ทฤษฎีบท. ให้ระบบการหักเงินเต็มรูปแบบในโมดูล อนุญาตเป็นจำนวนเต็ม จากนั้น - ระบบการหักเงินเต็มรูปแบบในโมดูล

เลมม่า ถ้าจากนั้นรหัสโหนด

หลักฐาน.

- จำนวนเต็ม

จากที่นี่. นักบวชทั่วไปใด ๆ เป็นตัวแบ่ง ดังนั้นรหัสโหนด

นิยาม ตัวเลขแบบฟอร์มระบบการหักเงินที่กำหนดในโมดูลหากพวกเขาเป็นเรื่องง่ายร่วมกันด้วยและจำนวนเต็มใด ๆ C ง่ายร่วมกัน C เทียบเท่ากับหนึ่งและเพียงหนึ่งในจำนวนเหล่านี้โดยโมดูล

ตัวอย่าง. ระบบลดการหัก Modulo 10: 1,3,7,9

เลมม่า การหักระบบที่ลดลงทั้งหมดในโมดูลประกอบด้วยจำนวนจำนวนเท่ากันที่ระบุ - ฟังก์ชั่นออยเลอร์

หลักฐาน. แน่นอนปล่อยให้มีการหักระบบลดลงสองอย่างในโมดูลที่ประกอบด้วยจำนวนตัวเลขที่แตกต่างกัน:

จากนั้นตั้งแต่ตัวเลขฟอร์มระบบการหักเงินที่กำหนดในโมดูลแต่ละหมายเลขจะเทียบเท่ากับหนึ่งและเพียงหนึ่งหมายเลขเหล่านี้ ตั้งแต่บนหลักการของ Dirichlet อย่างน้อยสองตัวเลขจากจะเทียบเคียงได้กับบางหมายเลขดังนั้นจึงจะเทียบเคียงได้กับโมดูล และสิ่งนี้ขัดแย้งกับระบบการหักเงินที่ลดลงในโมดูลคืออะไร ดังนั้น.

ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่า ในความเป็นจริงตัวเลขที่มีขนาดเล็กลงและง่าย ๆ C เป็นระบบการหักเงินที่กำหนดโดยโมดูล สิ่งนี้ตามมาจากบทแทรก

นิยาม ฟังก์ชั่น Euler (หรือ totient) หมายถึงจำนวนตัวเลขที่เล็กลงและเรียบง่ายร่วมกัน

ทฤษฎีบท. หากเป็นระบบที่ลดลงของการหักเงินสำหรับโมดูลและหมายเลขที่ง่ายร่วมกัน C จากนั้นยังมีระบบการหักเงินที่ลดลงในโมดูล

ถ้ามันง่ายแล้ว

เลมม่าถ้ามันง่ายแล้ว

หลักฐาน.แน่นอนตัวเลขที่เล็กกว่าเรียบง่ายและมีตัวแบ่งที่พบบ่อยกับเขาทุกอย่าง

เลมม่า ปล่อยให้พยุง จากนั้น ฟังก์ชั่นของออยเลอร์เป็นแบบทวีคูณ

หลักฐาน. เราเขียนตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึงดังนี้:

ตัวเลขในแต่ละแถวสร้างระบบการหักเงินที่สมบูรณ์แบบโดยโมดูล ง่าย ๆ ด้วยกันในหมู่พวกเขา ในเวลาเดียวกันตัวเลขเหล่านี้ตั้งอยู่บนคอลัมน์ - ซึ่งกันและกันเพราะในแต่ละคอลัมน์มีตัวเลขเทียบเท่ากับโมดูล

ตัวเลขในแต่ละคอลัมน์เป็นระบบที่สมบูรณ์ของการหักด้วยโมดูล แน่นอนคอลัมน์จะปรากฏขึ้นหากคุณใช้ตัวเลขที่สร้างระบบการหักเงินที่สมบูรณ์ในโมดูลหรือไม่คูณด้วยจำนวน C ง่ายร่วมกัน C และเพิ่มในแต่ละรายการ

ดังนั้นในแต่ละคอลัมน์ตัวเลขที่ราบรื่นเรียบง่ายด้วยกัน

เนื่องจากจำนวนนั้นจะง่ายต่อการร่วมกันจากนั้นและเฉพาะเมื่อมีการร่วมกันเพียง C และเพียงแค่ C เพียงอย่างเดียวจากนั้นจำนวนตัวเลขที่เรียบง่าย C เท่ากัน

ทฤษฎีบท. อนุญาต

การสลายตัวตามบัญญัติของหมายเลข จากนั้น

หลักฐาน. โดยเลมม่าเกี่ยวกับภาพเคลื่อนไหวของฟังก์ชั่นออยเลอร์

ตัวอย่าง.

ทฤษฎีบท (ออยเลอร์) ถ้าและ - ตัวเลขที่เรียบง่ายซึ่งกันและกัน

ให้บางคนได้รับระบบการหักของโมดูล . จากนั้น - ระบบการหักเงินที่ลดลงในโมดูล ดังนั้นแต่ละหมายเลขลำดับแรกจะถูกเปรียบเทียบกับหนึ่งในจำนวนลำดับที่สองของโมดูลและแต่ละหมายเลขลำดับที่สองจะถูกเปรียบเทียบกับหนึ่งในลำดับลำดับแรก จากนั้น

เนื่องจากตัวเลขแต่ละตัวเป็นเพียงการร่วมกันด้วยการเปรียบเทียบสามารถตัดได้:

conollary ให้ - จำนวนเต็ม - ธรรมชาติ ถ้า, โหนดแล้ว

หลักฐาน. อนุญาต ตั้งแต่นั้นมา - จำนวนธรรมชาติ จากนั้น

มันหมายถึง .

88Vopros
homothetics และรูปร่างหน้าตาของพื้นที่

โฮมอติกกับศูนย์ O. และสัมประสิทธิ์ เค. แสดง h k 0

สรรพคุณของการเปลี่ยนแปลงของโฮมโฮโลจี้และความคล้ายคลึงกันของพื้นที่มีความคล้ายคลึงกับคุณสมบัติของโฮมโฮโลจี้และความคล้ายคลึงกันของเครื่องบินดังนั้นการศึกษาครั้งแรกควรเริ่มต้นด้วยการทำซ้ำของที่สอง ความคล้ายคลึงกันของพื้นที่ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ เค. เป็นไปได้ที่จะสลายตัวในองค์ประกอบของการเคลื่อนไหวและโฮมโฮโลจ์กับบางศูนย์และค่าสัมประสิทธิ์เดียวกัน

นักเรียนควรรู้ว่าด้วยการแปลงพื้นที่ขนาดของมุม (แบนและ douban), ขนาน (ตั้งฉาก), ความเจ็บป่วยโดยตรงจะปรากฏบนเส้นขนาน (ตั้งฉาก) ตรงและระนาบ ซึ่งหมายความว่าด้วยการแปลงพื้นที่ดังกล่าวตัวเลขใด ๆ เป็นตัวเลขที่มีรูปแบบเดียวกันกับตัวเลขนี้ แต่แตกต่างจากมันเท่านั้น "ในขนาด"

ภารกิจ 12 Dan ถูกต้อง tetrahedron ravox; คะแนน r 1 , แต่ 1 , ใน 1 , จาก 1 - ศูนย์ใบหน้าของมัน (รูปที่ 14) พิสูจน์ว่า tetrahedron r 1 แต่ 1 ใน 1 จาก 1 คล้ายกับ Tetrahedra ravox; ค้นหาสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกันนี้

การตัดสินใจ. ปล่อยให้ประเด็น น. และ เค. - ขอบกลางตามลำดับ ฿ และ ดวงอาทิตย์ tetrahedra ravoxจุด แต่ 1 - ขอบกลาง rvsจุด r 1 - ขอบกลาง abc (รูปที่ 14) มันหมายความว่า

อาร์ 1: แต่ 1 เค. = ar 1: r 1 เค. = 2: 1,

แต่ 1 เค. : rk = r 1 เค. : อัค = 1: 3,

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่า
1 ใน 1: ฿ \u003d 1: 3 และ 1 ใน 1 ฿,
1 c 1 : เกี่ยวกับ ac \u003d 1: 3 และ 1 c 1 เกี่ยวกับ ac,
ใน 1 S 1 : ดวงอาทิตย์ \u003d 1: 3 และ ใน 1 S 1 ดวงอาทิตย์,
ใน 1 หน้า 1 : bp \u003d 1: 3 และ ใน 1 หน้า 1 bp,
c 1 p 1 : cf. \u003d 1: 3 และ c 1 p 1 cf..
ของความสัมพันธ์เหล่านี้ระหว่างซี่โครงของ Tetrahedra ravox และ P 1 A 1 ใน 1 C 1 มันตามมาที่ tetrahedron P 1 A 1 ใน 1 C 1 - ถูกต้องดังนั้น Tetrahedra เหล่านี้จึงคล้ายคลึงกัน อัตราส่วนความคล้ายคลึงกันคือ 1/3 (ในชั้นเรียนโปรไฟล์มันคุ้มค่าที่จะพิสูจน์ให้เห็นว่า tetrahedra เหล่านี้เป็น homotetic)
คุณสามารถป้อนคำจำกัดความ: "รูป f 1 เรียกว่าตัวเลขที่คล้ายกัน F.หากมีการแปลงความคล้ายคลึงกับพื้นที่ที่แสดงตัวเลข F. เกี่ยวกับรูป f 1" จากนั้นสำหรับหลักฐานของความคล้ายคลึงกันของตัวเลข f 1 รูป F. มันก็เพียงพอแล้วที่จะพบการแปลงอย่างน้อยหนึ่งครั้งที่เป็นตัวเลข F. แสดงในรูป f 1..

นิยาม การถ่ายโอนแบบขนานหรือในระยะสั้นการถ่ายโอนรูปเรียกว่าจอแสดงผลของมันซึ่งคะแนนทั้งหมดจะถูกเลื่อนไปในทิศทางเดียวกันในระยะทางเท่ากัน I.e. เมื่อถ่ายโอนตัวเลขสองจุด x และ y จุดดังกล่าว x "และ y" เปรียบเทียบกับ xx "\u003d yy"

คุณสมบัติการโอนขั้นพื้นฐาน:

การถ่ายโอนแบบขนานยังคงรักษาระยะทางและทิศทาง i.e. x "y" \u003d xy

จากที่นี่ปรากฎว่าการถ่ายโอนแบบขนานเป็นการเคลื่อนไหวที่รักษาทิศทางและในทางตรงกันข้ามการเคลื่อนไหวซึ่งเก็บรักษาทิศทางมีการถ่ายโอนแบบขนาน

จากข้อความเหล่านี้ยังแสดงถึงองค์ประกอบของการถ่ายโอนแบบขนานคือการถ่ายโอนแบบขนาน

การถ่ายโอนแบบขนานของรูปถูกกำหนดโดยการระบุจุดที่เหมาะสมหนึ่งคู่ ตัวอย่างเช่นหากระบุว่าจุดที่จุด A "จุดนี้การถ่ายโอนนี้ถูกตั้งค่าโดยเวกเตอร์ AA และหมายความว่าคะแนนทั้งหมดจะถูกเลื่อนไปยังเวกเตอร์เดียวกัน I.e. xx "\u003d aa" สำหรับทุกจุด x

สมมาตรกลาง

คำนิยาม

คะแนน A และ A เรียกว่าสมมาตรเมื่อเทียบกับจุด o หากจุด A, A, O นี้อยู่บนเส้นตรงและ OX \u003d OX "จุดที่ถือว่าสมมาตรกับตัวเอง (เกี่ยวกับ o)

ตัวเลขสองตัวเรียกว่าสมมาตรเมื่อเทียบกับจุด O ถ้าสำหรับแต่ละจุดของรูปหนึ่งมีสมมาตรที่เกี่ยวข้องกับจุดของจุดในรูปอื่นและกลับ

เป็นกรณีพิเศษตัวเลขสามารถสมมาตรกับตัวเองที่สัมพันธ์กับบางจุด O จากนั้นจุดนี้ o เรียกว่าศูนย์กลางสมมาตรของรูปและรูปที่สมมาตรส่วนกลาง

คำนิยาม

ความสมมาตรกลางของรูปที่เกี่ยวกับ o เรียกว่าการทำแผนที่ของตัวเลขนี้ซึ่งเปรียบเทียบแต่ละจุดของจุดสมมาตรเกี่ยวกับ

คุณสมบัติพื้นฐาน: สมมาตรกลางคงอยู่ระยะทางและทิศทางจะเปลี่ยนไปที่ตรงกันข้าม กล่าวอีกนัยหนึ่งสองจุด x และ y ตัวเลขที่สอดคล้องกับจุดดังกล่าว x "และ y", ที่ x "y" \u003d -xy

หลักฐาน. ลองด้วยสมมาตรส่วนกลางที่มีกึ่งกลางที่จุดเกี่ยวกับจุด x และ y ปรากฏบน x "และ y" จากนั้นอย่างชัดเจนจากคำจำกัดความของสมมาตรกลาง, OX "\u003d -OX, OY" \u003d -oy

อย่างไรก็ตาม XY \u003d OY - OX, X "Y" \u003d OY "- OX"

ดังนั้นเรามี: x "y" \u003d -oy + ox \u003d -xy

จากที่นี่ปรากฎว่าสมมาตรส่วนกลางเป็นการเคลื่อนไหวที่เปลี่ยนทิศทางไปที่ตรงกันข้ามและในทางกลับกันการเคลื่อนไหวการเปลี่ยนทิศทางไปยังฝั่งตรงข้ามเป็นสมมาตรส่วนกลาง

ความสมมาตรส่วนกลางของรูปถูกกำหนดโดยการระบุหนึ่งคู่ของจุดที่มีอยู่: หากจุด A แสดงอยู่ใน "จากนั้นศูนย์สมมาตรเป็นกลางของเซกเมนต์ AA"

หมุนไปรอบ ๆ โดยตรง

สำหรับมุมมองที่ชัดเจนยิ่งขึ้นของการหมุนรอบโดยตรงคุณควรจำไฟบนเครื่องบินใกล้จุดนี้ โดยการเปิดเครื่องบินใกล้จุดนี้การเคลื่อนไหวดังกล่าวเรียกว่าซึ่งแต่ละลำที่ออกมาจากจุดนี้จะถูกหมุนด้วยมุมเดียวกันในทิศทางเดียวกัน ตอนนี้เราหันไปทางเลี้ยวในอวกาศ

นิยาม การเลี้ยวรอบเส้นตรง A ในมุม (เรียกว่าการทำแผนที่ดังกล่าวซึ่งในแต่ละระนาบในแนวตั้งฉากกับโดยตรงจะมีรอบจุดตัดด้วยการควบคุมโดยตรงไปยังมุมเดียวกัน (ใน ทิศทางเดียวกันโดยตรงโดยตรงเรียกว่าแกนหมุนและมุม - มุมของการหมุน)

จากที่นี่เราเห็นว่าเลี้ยวถูกตั้งค่าโดยแกนมุมและทิศทางการหมุนอยู่เสมอ

ทฤษฎีบท 1. การหมุนรอบเส้นตรงเก็บระยะทางไว้ I.e. กำลังเคลื่อนไหว

ทฤษฎีบท 2. หากการเคลื่อนไหวของอวกาศมีจุดคงที่มากมายมันเป็นตาที่ตรงนี้

ระนาบการเปลี่ยนแปลง

ชั้นเรียนการหักเงิน ระบบการหักเงิน

ข้อมูลสั้น ๆ จากทฤษฎี

ด้วยการใช้ทฤษฎีบทของส่วนที่มีสารตกค้างจำนวนเต็มจำนวนมากสามารถแบ่งออกเป็นจำนวนหนึ่งของชั้นเรียน พิจารณาตัวอย่าง อนุญาต เอ็ม \u003d 6. จากนั้นเรามีหกคลาสของการแยกส่วนใหญ่ของโมดูลจำนวนเต็ม 6:

อาร์ = 1;

อาร์ = 2;

อาร์ = 3;

อาร์ = 4;

อาร์ = 5;

ที่ผ่าน อาร์ ทำเครื่องหมายความสมดุลของการแบ่งจำนวนเต็ม 6

{!LANG-b8eb8d3ce3785b59a369f798529bcfc5!}

{!LANG-dbe8cecfc9336b53a2d2ff4face87920!}{!LANG-e345d9d36cbf2ab547e678070e88f0ad!} ถาม และ อาร์{!LANG-4f0206a86f26601a6f77573a4399a00e!} {!LANG-aeda8554bb8fd1cc4327ca0bcfbbd746!}: .

{!LANG-99626e3e139fde47554fb246c9943f0c!} แต่ {!LANG-102b0b12591745990491f0f3b042a615!} ถาม และ อาร์ {!LANG-8190a8f80bc681a370e77835037b2a01!}

{!LANG-9add4908ab2e8412faa343d735cfbb07!} .

{!LANG-e913d6b016a0c50ab44c59fbf3c479de!} {!LANG-c7243bff2064bbeff92e1ce5dc7f969c!}

อนุญาต …, .

{!LANG-dda048fbea5c240d2d9550846581a034!} Z.{!LANG-7e43c228030dc6dc098707cf725b1780!}

{!LANG-1dad2d48a9d38996951ab758447cfdfe!} แต่ บน {!LANG-44cdee98539fc743634de224dede1b50!}{!LANG-40f66ac76d1cd3b7b8902ad38e83764b!}

{!LANG-0c9c3ab73a238a109b8e400fe5f17c86!} {!LANG-3dbec1124b2e69d10461c719bef8cda2!}{!LANG-f075079515ecbbc06e59175c90cfb650!} น.{!LANG-02662b0cd9f77e00c8fdc59285a12e13!} น.{!LANG-7de765adb0a3471b3b4f5c0bee4c35ba!} น.{!LANG-66b8fcd6f3b91d4a51ab65191434fd33!} น.{!LANG-259375f89201b53abb44021971b29f79!}

{!LANG-2248b07e8f2e579f9b5428504f31831a!} ก. และ เอ็ม {!LANG-a9b40f22d70b8557991a342e0b776fb1!} ถาม {!LANG-59ded54bff7a5623e40bb99a8d3a9a02!} อาร์ {!LANG-c8c1f9ed3f94ca390c2b57e034551d18!}

{!LANG-43ea98472114032431a1a37f0f8bb703!} {!LANG-f6bfff0ecc2a54d8772e667cb5526662!} อาร์ {!LANG-d0e2cbfc0f5d27a1b91aa11930437dfb!} {!LANG-1fd355b9d99746c53fd08ce8b4c99282!} อาร์ {!LANG-7e8da399049dc02cefa907f9d7db1a99!} {!LANG-b05c019c99217f597734611f32651e3d!}{!LANG-05b3d27d40be5e02fc63d4b308aa20dc!} เอ็ม.

{!LANG-2d6db13ac6bd51a4f177692506c099e9!} เอ็ม {!LANG-1d61b03f8e938e44d520227e6fb5097a!} เอ็ม {!LANG-b259f45ab14338302cdbb72974ee81da!}

{!LANG-e4c29a4eb9e86dfaea63d94eaa29e8e3!} {!LANG-3b2902767ee8a5e40d5af10ef813b79c!} = 3	{!LANG-e4c29a4eb9e86dfaea63d94eaa29e8e3!} {!LANG-3b2902767ee8a5e40d5af10ef813b79c!} = 5
0 = 3 + 0	0 = 5 + 0
1 = 3 + 1	1 = 5 + 1
2 = 3 + 2	2 = 5 + 2
3 = 3 + 0	3 = 5 + 3
4 = 3 + 1	4 = 5 + 4
5 = 3 + 2	5 = 5 + 0
6 = 3 + 0	6 = 5 + 1
7 = 3 + 1	7 = 5 + 2

{!LANG-b43b555e6318e294645780d6aeb2506e!} อาร์=0 {!LANG-a45f4ceedc7e12ce7e0d67381660c00d!} เอ็ม{!LANG-43a6e655737f3584a9720e5ba4014f83!} {!LANG-d39faa470e39545b47c45d01c61c6528!} {!LANG-57f292c8771da4c7af5d246ab7a1020c!} เอ็ม{!LANG-ac256bfe87ea74fba2c44a87d5680c47!} {!LANG-d39faa470e39545b47c45d01c61c6528!} {!LANG-49e72be14da7c429c02b8e25526dafde!} เอ็ม ก. {!LANG-244db6a33feb80b1450ae123a4d6ed0d!} ถาม และ เอ็ม {!LANG-8cea76712af4f385453a1b9714dc9733!} {!LANG-d39faa470e39545b47c45d01c61c6528!} {!LANG-5156492bd27988c23a968c4eb854885f!} 1 ก. และ ก. ก. {!LANG-b06bf0e5b33076cdac69f6411b73a68b!} ก. {!LANG-8cb51d8465254b140b5a6c8b72634978!} 1 และ แต่ {!LANG-9c9e8d7c3d899cf4a4d629f8069f29e9!} {!LANG-4f9ad658d578bad5c44c6408e69e5ab0!} {!LANG-6301476de231d8d8dbfbef6f5ed07802!} แต่ {!LANG-ac982cd7a9587f2ab30fecc335b4ade2!} d. {!LANG-6f1c15ea5c783cd12aa37e9267212c5e!} ก. และ เอ็ม {!LANG-324c6ceb60082765e223b2fb05955fee!} {!LANG-192bf7bd1f256ae699e91223f990d1a5!} {!LANG-d4d680c9cadefeac57b2ee9df261c561!} {!LANG-8edde14964a10021fabb80e2d0eae5a2!} ต. ก. และ เอ็ม {!LANG-f117184a6c4166be044f2d29f1e436ce!} 1 {!LANG-3a69761c0a1f1d1b0c5f2c0a0747690f!}

{!LANG-ae7b0e5ff62e6e8ef07468bec1d0d446!} {!LANG-b05c019c99217f597734611f32651e3d!}{!LANG-6931125d8ee1a88d2f29d967bea113d0!} {!LANG-9c951bc2731254f6944fa08ccdbdc84f!} {!LANG-c848f2f4ada30db10e3337a80e40513d!} {!LANG-4c5e08dc6b34db7d3037cc16dffd36ea!} {!LANG-e06c6eb499410761ee0b5e091ee06fc4!} {!LANG-b05c019c99217f597734611f32651e3d!}{!LANG-db8a33cb352211aa46d0b79853b9168e!}

{!LANG-51284bcff6de06f2c241399974d4cec8!} {!LANG-0c4d1fb326eda33c46462da224fb6bb5!} :

{!LANG-51284bcff6de06f2c241399974d4cec8!} {!LANG-0494888093ad0c0133bfab7aa9beaf71!} :

{!LANG-5333c7cc04c41bf426956e6c35edb4ff!} แต่ {!LANG-bb0fadeaa8c5fedfb62f73858049fe36!} เอ็ม {!LANG-9eac2e957d1d66f4409b6563f4b47726!} {!LANG-d51fdcc5f8ad3786f4ce79d3e24f143c!} อาร์ {!LANG-9eb4d1cd083b242d04ba65ff32f8adab!} {!LANG-43ea98472114032431a1a37f0f8bb703!} {!LANG-1577cd51d0b329cbeee7947c0e01b05e!}

{!LANG-5333c7cc04c41bf426956e6c35edb4ff!} แต่ {!LANG-218e7f78a6bf90006cd5609fa1dcda24!} {!LANG-b54105b20f94819c704015653a2a70e2!}{!LANG-d7461c55e5d41eb15f3eaa7089ae4d2f!} เอ็ม {!LANG-9ed1f2045460a9e6b53166c7c801317d!} {!LANG-de5889ee8a7a883751ca12d2d03dcfb0!} {!LANG-ad645e8d0fbef9b381c249e0b4bbf743!} {!LANG-53873e7e957b80e70e6546d716328202!} {!LANG-59541b036fd7e553f653d821721a1b42!} {!LANG-0fb80a812346e6040f58250697729eef!} {!LANG-1dcf8c316aa6516b421c60e65b637d78!} {!LANG-4b138cc591c8fa56c371caf57749e603!}

{!LANG-de5889ee8a7a883751ca12d2d03dcfb0!} แต่ {!LANG-ddc7b5d698bb271d4963df5ebb4703e4!} [-( ,…,( ] {!LANG-6ac953f4e84f35da89c4b3eac2707631!} {!LANG-964296e3f7069e6199740d74aeb50351!} เอ็ม {!LANG-a80c0d7a6e2112266418e030ade681b9!} [- สำหรับ {!LANG-34801c5e045f8c1b446ac529c0f89c37!} เอ็ม {!LANG-9b689b47cc102aa9e87a20acd02283d2!} {!LANG-b05c019c99217f597734611f32651e3d!}{!LANG-fa6c8de29c9ab0d38ed4ccd9ca39804f!} {!LANG-4b138cc591c8fa56c371caf57749e603!}

{!LANG-51284bcff6de06f2c241399974d4cec8!} เอ็ม {!LANG-90fdc8b26d2d3d18b42b41346a57bdb9!}

{!LANG-766abcad5a1bde091c07aecee5571be8!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-6cb71194ab09226c367e4985711fdad8!} 5 .

{!LANG-3b2a5ddeaf2dc58bf88c81eaafee0c2a!} {!LANG-d74d8525b278f7c51e9f3b29af27af53!}{!LANG-27b60f24e9eeee0a5d6d5a5465b30e5c!} เอ็ม

{!LANG-5d5182eda3e58da3c11d11bf4c9576b6!} {!LANG-d74d8525b278f7c51e9f3b29af27af53!}{!LANG-8cb0b7fbeb46523a14c84296b1c46d43!} เอ็ม {!LANG-b3c947b605b72d6b34373ea2051b1dcc!} เอ็ม {!LANG-1f1dfece67feb6949aefd45671c48478!} {!LANG-8276cb4af19b30d9928739527044d46c!} {!LANG-ace0c3885d7d7bfea2e833f073af0cc0!} {!LANG-11b9d4e8ca457c2f003ba3d787be32c1!}

{!LANG-ceac657d9ba17dfe6044b7e0c95bb3b8!}{!LANG-2328d12c18d8754daa0f4eb238549e30!} เอ็ม {!LANG-9994cb8b75b9ef8227e6253d854e7634!} เอ็ม {!LANG-b7bc008243110d982cd3dc7c462d98f5!} {!LANG-fa97683765f925bc49a0affd67891b8c!}{!LANG-f075079515ecbbc06e59175c90cfb650!} เอ็ม{!LANG-9dc767d6672b66646c70f0a998bed33d!} เอ็ม{!LANG-dbe9f20b91d1ee51f18ddc8d957eba34!}

นิยาม{!LANG-6be6fede3c70bf8e3761a714f94c8546!} {!LANG-f138b7ae6f3abce504235d6145bee962!}{!LANG-2c82819d836ffcb7511d77eb3d3c07c0!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-05b3d27d40be5e02fc63d4b308aa20dc!} เอ็ม{!LANG-8785fb1fd70f499539485446005c30d0!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-502f2a29fcb2bb9248a5bf9f5baaa2b1!} {!LANG-f138b7ae6f3abce504235d6145bee962!}{!LANG-6882a62308df34e37dcd0d65056a5ac7!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-6cb71194ab09226c367e4985711fdad8!} เอ็ม{!LANG-5a6c2f50d732c4162d9a51d0e0575cbb!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-9d9b58c2aa0fb11dc6658edbb4e59e3d!} เอ็ม{!LANG-6ec2baf5f2f0b1aab059020c91e0fcc0!} เอ็ม{!LANG-6db769f61d86bbcaec8fd7d1408770dc!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-b4304b6d574a2d3d9c8cf275e2f3a3b8!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-6cb71194ab09226c367e4985711fdad8!} เอ็ม. {!LANG-ccd5fe45652223f1f116760813787f32!}{!LANG-ba2c1c339800a976758aba7cbf4d5622!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-768e936935b88d954870cb6394698569!}

ตัวอย่าง{!LANG-fd63709180f65fb6f62bf0d9b6ea9d48!}

การตัดสินใจ{!LANG-29f8df81909ac7891b35da5e6180dc90!} เอ็ม{!LANG-d990b09563685bc1134e324c75a1aa4f!} เอ็ม.

{!LANG-e9eddbd811df6855ac689780df22dca5!}

{!LANG-50068b95c760008229ccc5317bee19b4!} {!LANG-43ea98472114032431a1a37f0f8bb703!} {!LANG-1577cd51d0b329cbeee7947c0e01b05e!}

{!LANG-bd147b70a71b0c0a85ac6873e2d3448a!}

{!LANG-b92177c97fb69a34c4c6fe33744f1ba7!}

{!LANG-15b1472707e354b4fbc5b215e2af3c0a!}

{!LANG-4d4ad24b9500f0a6f1a02191bb016f37!}

ตัวอย่าง{!LANG-e0cd7691f3fd437b891828575d1f4000!}

{!LANG-a9d9a7a66c194a0d039732c7511af318!}

{!LANG-3f4c5bdaf81af00e286fa5b11c45ca95!}

ตัวอย่าง.{!LANG-9e74ad48ee50473c16acb2b87f20295c!} (13, -13, 29, -9) {!LANG-bacc1b289e5614e4d6eef26a4b1d890e!}

{!LANG-9ba8450292f2118e7b8cdef339f7c99e!} เอ็ม{!LANG-10c5a20623a26719a25d537d1959678b!} {!LANG-0e29b182201d7e94588fd3bd3c59aefa!}{!LANG-a555dcc371942f046f525b445c3f3d54!}

{!LANG-bdc65a635a4fa8faa053299fb08e5a62!} ก.{!LANG-b33e96c82af6870de54f842d75ddf16e!}

{!LANG-954433955be6267e3f55a498956169d2!} ก.{!LANG-5f0a070f1106772a4d4d7542932d7aa3!}

{!LANG-c861287574c2c03825dd2ef25dc9487b!} ก.{!LANG-f01bd1c5d7703c7cc32c17cea69e82d8!}

{!LANG-76cbb249b04d9f9c099e91dcd3fa72d2!} ก.{!LANG-579170b7920fe6e6f35b6e7286883055!}

{!LANG-af1ad661f1cf1069161265fed5ac86a4!} ก.{!LANG-60d41dd78a77358a56e251aa78c72399!}

{!LANG-dbc4815b17d48bea6e68160dd73d70ae!} ก.{!LANG-a392b5908369368f6ea45d2836520755!}

{!LANG-f442bbbdbf872096d87aa16e5abef034!} ก.{!LANG-25f4c563fbdb7dc197d4a7afdc4d32d8!}

{!LANG-a1453e039be901f34a0a710df27ae66e!} ก.{!LANG-fe1bc2e13680a7323d4348f761e79ece!}

{!LANG-9a3d1863b9aaf6a0667bed5fdc40eeed!} ก.{!LANG-bc406e331b713a25a23dbcf2857955aa!}

{!LANG-71ac29580a272df5a8e99910e1abab8e!} ก.{!LANG-f2a36dc7dc29b57912d5a4b65e359e81!}

{!LANG-5c84f9d50edb1bd3288ebcf1a594befe!}