Zakon tromosti kvadratnih oblika. Klasifikacija kvadratnih oblika. Zakon inercije za kvadratne oblike Teorem o inerciji za kvadratne oblike

Utvrđeno je da je broj ne nula kanonskih koeficijenata kvadratnog oblika jednak njegovu rangu i ne ovisi o izboru nedegenerirane transformacije, uz pomoć koje oblik A(x, x) svodi se na kanonski oblik. Zapravo se ne mijenja ni broj pozitivnih i negativnih koeficijenata.

Teorema11.3 (zakon tromosti kvadratnih oblika)... Broj pozitivnih i negativnih koeficijenata u normalnom obliku kvadratnog oblika ne ovisi o metodi redukcije kvadratnog oblika u normalni oblik.

Neka kvadratni oblik f rang r iz n nepoznato x 1 , x 2 , …, x n doveden u normalan oblik na dva načina, tj

f = + + … + –
– … – ,

f = + + … + – – … – ... Može se dokazati da k = l.

Definicija 11.14. Zove se broj pozitivnih kvadrata u normalnom obliku na koji je sveden pravi kvadratni oblik pozitivan indeks inercije ova forma; broj negativnih kvadrata - negativan indeks inercije, a njihov zbroj je indeks inercije kvadratni ili potpis oblik f.

Ako str- pozitivan indeks inercije; q- negativni indeks inercije; k = r = str + q Je li indeks inercije.

Klasifikacija kvadratnih oblika

Neka kvadratni oblik A(x, x) indeks tromosti je k, pozitivni indeks inercije je p, negativni indeks inercije je q, tada k = str + q.

Dokazano je da u bilo kojoj kanonskoj osnovi f = {f 1 , f 2 , …, f n) ovaj kvadratni oblik A(x, x) može se normalizirati A(x, x) = + + … + –
– … – , gdje  1 ,  2 , …,  n vektorske koordinate x u osnovi ( f}.

Nužan i dovoljan uvjet za određeni znak kvadratnog oblika

Izjava11.1. A(x, x) dano u n V., bio određen, potrebno je i dovoljno da je ili pozitivan indeks inercije str, ili negativni indeks inercije q, bila je jednaka dimenziji n prostor V..

Štoviše, ako str = n, zatim obrazac pozitivno x ≠ 0 A(x, x) > 0).

Ako q = n, zatim obrazac negativno definirano (odnosno za bilo koje x ≠ 0 A(x, x) < 0).

Nužan i dovoljan uvjet za izmjenu kvadratnog oblika

Izjava 11.2. Za kvadratni oblik A(x, x) dano u n-dimenzionalni vektorski prostor V., bio naizmjenično(to jest, postoje takvi x, yšto A(x, x)> 0 i A(y, y) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Nužan i dovoljan uvjet za kvazi varijabilnost kvadratnog oblika

Izjava 11.3. Za kvadratni oblik A(x, x) dano u n-dimenzionalni vektorski prostor V., bio kvazi-promjenjiva(to jest, za bilo koji vektor x ili A(x, x) ≥ 0 ili A(x, x) ≤ 0 i postoji vektor različit od nule x, što A(x, x) = 0) je potrebno i dovoljno da jedna od dvije relacije vrijedi: str < n, q= 0 ili str = 0, q < n.

Komentar... Kako bi se primijenila ta obilježja, kvadratni oblik mora se svesti na kanonski oblik. To nije potrebno u kriteriju definitivnosti znakova Silvestera 15.

Normalan prikaz kvadratnog oblika.

Prema Lagrangeovu teoremu, svaki se kvadratni oblik može svesti na kanonski oblik. Odnosno, postoji dijagonalizacijska (kanonska) osnova u kojoj matrica ovog kvadratnog oblika ima dijagonalni oblik

gdje . Tada u ovoj osnovi kvadratni oblik ima oblik

Neka među elementima koji nisu nula postoje pozitivni i negativni, i. Mijenjajući, ako je potrebno, numeriranje osnovnih vektora, uvijek možete osigurati da su prvi elementi u dijagonalnoj matrici kvadratnog oblika pozitivni, ostali negativni (ako, tada su posljednji elementi u matrici nule). Kao rezultat toga, kvadratni oblik (10.17) može se napisati u sljedećem obliku

Kao rezultat zamjene varijabli varijablama prema sustavu:

kvadratni oblik (6.18) poprima dijagonalni oblik, u kojemu su koeficijenti kvadrata varijabli jedinica, minus jedinice ili nule:

gdje matrica kvadratnog oblika (10.19) ima dijagonalni oblik

Definicija 10.9. Oznaka (10.19) se naziva normalan pogled kvadratni oblik, a dijagonalizacijska osnova u kojoj kvadratni oblik ima matricu (10.20) naziva se normalizacijsku osnovu.

Dakle, u normalnom obliku (10.19) kvadratnog oblika, dijagonalni elementi matrice (10.20) mogu biti jedinice, minus jedinice ili nule, a raspoređene su tako da prvo dolaze prve, zatim minus jedinice, pa nule (slučajevi nestajanja navedenih vrijednosti ,,).

Dakle, dokazali smo sljedeći teorem.

Teorem 10.3. Bilo koji kvadratni oblik može se reducirati u normalan oblik (10.19) dijagonalnom matricom (10.20).

Kvadratni zakon tromosti

Kvadratni oblik se može svesti na kanonski oblik različiti putevi(Lagrangeovom metodom, ortogonalnom transformacijskom metodom ili Jacobijevom metodom). No, unatoč raznolikosti kanonskih oblika za dati kvadratni oblik, postoje karakteristike njegovih koeficijenata koje ostaju nepromijenjene u svim tim kanonskim oblicima. To su tzv numeričke invarijante kvadratni oblik. Jedan od numeričkih invarijanta kvadratnog oblika je rang kvadratnog oblika.

Teorem 10.4 ( o invarijantnosti ranga kvadratnog oblika ) Rang kvadratnog oblika ne mijenja se pod nedegeneriranim linearnim transformacijama i jednak je broju koeficijenata koji nisu nula u bilo kojem od njegovih kanonskih oblika. Drugim riječima, rang kvadratnog oblika jednak je broju ne nula vlastitih vrijednosti matrice kvadratnog oblika (uzimajući u obzir njihovu višestrukost).

Definicija 10.10. Rang kvadratnog oblika naziva se indeks inercije... Broj pozitivnih i broj () negativnih brojeva u normalnom obliku (3) kvadratnog oblika nazivaju se pozitivan i negativni indeksi inercija kvadratnog oblika. U tom se slučaju popis poziva potpis kvadratni oblik.

Pozitivni i negativni indeksi tromosti numeričke su invarijante kvadratnog oblika. Postoji teorem tzv zakon inercije.

Teorem 10.5 ( zakon inercije ) Kanonski oblik (10.17) kvadratnog oblika jednoznačno je određen, odnosno potpis ne ovisi o izboru dijagonalizirajuće osnove (ne ovisi o načinu svođenja kvadratnog oblika na kanonski oblik).

Statement Izjava teorema znači da ako jedna te ista kvadratna forma koristi dvije ne-singularne linearne transformacije

svedeno na razne kanonske oblike ():

tada je to obvezno, odnosno broj pozitivnih koeficijenata podudara se s brojem pozitivnih koeficijenata.

Suprotno izjavi, pretpostavimo to. Budući da su transformacije (10.21) nedegenerirane, iz njih možemo izraziti kanonske varijable:

Pronađimo takav vektor da odgovarajući vektori imaju oblik

Da bismo to učinili, matrice predstavljamo u sljedećim blokovskim oblicima:

gdje se označavaju -matrix, -matrix, -matrix, -matrix.

Kao rezultat blok prikaza matrica i, sastavljamo homogen sustav linearnih algebarskih jednadžbi, uzimajući prve jednadžbe iz (10.22), a posljednje jednadžbe iz (10.23):

Rezultirajući sustav sadrži jednadžbe i nepoznanice (vektorske komponente). Budući da je, dakle, u ovom sustavu broj jednadžbi manji od broja nepoznatih, te ima beskonačan broj rješenja, među kojima se može razlikovati rješenje koje nije nula.

Na rezultirajućem vektoru vrijednosti oblika imaju različite znakove:

što je nemoguće. Dakle, pretpostavka o tome što nije u redu, tj.

Iz onoga što slijedi da potpis ne ovisi o izboru dijagonalizirajuće osnove. ■

Kao ilustracija zakona inercije, može se pokazati da se kvadratni oblik sastoji od tri varijable:

dvije linearne transformacije koje nisu singularne, s odgovarajućim matricama

(prva matrica odgovara Lagrangeovoj metodi, druga metodi ortogonalne transformacije) svodi se na dva različita kanonička oblika

Štoviše, oba kanonska oblika imaju isti potpis

6. Znakom određeni i znakovno izmjenjivi kvadratni oblici

Kvadratni oblici podijeljeni su u tipove ovisno o skupu vrijednosti koje prihvaćaju.

Definicija 10.11. Kvadratni oblik naziva se:

pozitivno definirano

negativno definirano ako je za bilo koji nulti vektor :;

nepopozitivno određen (negativno poludefinit) ako je za bilo koji nulti vektor :;

negativno određen (pozitivno poludefinit) ako je za bilo koji nulti vektor :;

naizmjenično ako postoje vektori različiti od nule,:.

Definicija 10.12. Pozitivni (negativni) određeni kvadratni oblici se zovu određen... Nepozitivno (nenegativno) određeni kvadratni oblici se zovu trajno.

Vrsta kvadratnog oblika može se lako odrediti pretvaranjem u kanonski (ili normalni) oblik. Sljedeća dva teorema su istinita.

Teorem 10.6. Neka se kvadratni oblik svede na kanonski oblik i ima potpis (,). Zatim:

Je pozitivno definirano ;

Je negativno definirano ;

Je nije pozitivno određeno ;

Je negativno određeno ;

Je naizmjenično.). Zatim: negativno određeno za sve;

Je naizmjenično među vlastitim vrijednostima ima i pozitivnih i negativnih.

Rujan se pokazao uspješnim mjesecom za sve klase imovine. Prema Dengovim procjenama, gotovo sve investicije dale su pozitivne rezultate. Istodobno, najveći prihod donijela su ulaganja u zlato, koja su imala koristi ne samo od rasta cijene plemenitog metala, već i od slabljenja rublje. Visoke prinose ulagačima donijele su glavne kategorije zajedničkih fondova, depoziti, kao i većina ruskih dionica. Popularno u posljednjih godina obvezničkih fondova, kao i dionica Sberbank, koje bi mogle biti najteže pogođene u slučaju pooštravanja američkih sankcija.

Vitalij Kapitonov

Pet mjeseci kasnije zlato je bilo najisplativija investicija u mjesecu. Prema "Money", nakon što je 15. kolovoza uložio u plemeniti metal 100 tisuća rubalja, investitor bi mogao dobiti gotovo 5 tisuća rubalja u mjesec dana. prihod. Ovo je drugi najveći mjesečni rezultat u ovoj godini. Investitor bi u travnju mogao zaraditi više - 9,3 tisuće rubalja.

Visoka isplativost ulaganja u plemeniti metal samo je djelomično posljedica povećanja njegove cijene. Od sredine kolovoza cijena zlata porasla je za 2,4%, na 1205 dolara po unci troje. To je bio odraz inflatornih očekivanja u SAD -u. Prema američkom Ministarstvu trgovine, inflacija u zemlji usporila se sa 2,9% u srpnju na 2,7% u kolovozu, ali ostaje iznad ciljeva Fed -a. Dakle, inflacija nastavlja rasti, što će Fedu omogućiti povećanje stope bez oštrih promjena. Plemeniti metal podržan je vijestima da američke i kanadske vlasti nastavljaju pokušavati pronaći kompromis oko novog sporazuma NAFTA -e. "Vijesti umanjuju trgovinsku zabrinutost koja vrši pritisak na tržište zlata i podržava dolar", rekao je Mikhail Sheibe, robni strateg u Sberbank Investment Research. Učinak rasta cijena zlata pojačan je rastom dolara u Rusiji (+ 2,5%). Zbog toga su ulaganja u rublje u plemeniti metal donijela značajan prihod.

No, prema daljnjim ulaganjima u zlato, prema sudionicima na tržištu, treba postupati oprezno. Ključni rizik Za ulaganja u plemeniti metal ostaje eskalacija trgovinskog sukoba između Sjedinjenih Država i Kine. "Faktor političkog pritiska je isključen, što znači da je pojava novih barijera praktički prošlost. Ovakav razvoj događaja negativan je za zlato, jer će se povećati potražnja za dolarom kao zaštitnom imovinom," Rekao je Mikhail Sheibe.

Koliki su prihodi donijeli ulaganja u zlato (%)

Izvori: Bloomberg, Reuters, Sberbank.

Među najprofitabilnijim financijski proizvodi dionice ostaju investicijskim fondovima, a pojedinačni proizvodi društava za upravljanje imovinom mogli su osigurati marže veće od one u zlatu. U listopadu su najuspješnija ulaganja bila u dioničke fondove specifične za industriju usmjerene na metalurgiju, telekomunikacije i naftne i plinske tvrtke... Prema Dengovim procjenama na temelju podataka Investfunds -a, do kraja mjeseca ulaganja u takve fondove donijela bi privatnim ulagačima sa 2,2 tisuće rubalja na 5,2 tisuće rubalja.

Druge kategorije fondova također su osigurale visoku zaradu: indeksnih fondova, mješovita ulaganja, Euroobveznice. Sredstva ovih kategorija mogla bi svojim ulagačima donijeti od 200 rubalja. do 4 tisuće rubalja. za 100 tisuća ulaganja.

Obveznička sredstva, koja su voljeli privatni ulagači, donijela su negativan rezultat. Sredstva u ovoj kategoriji su konzervativna, pa su gubici privatnih ulagača bili simbolični - do 1.000 rubalja. U takvim uvjetima, ulagači su počeli ostvarivati ​​dobit u obvezničkim fondovima. Prema Investfundsu, mali ulagači povukli su 4 milijarde rubalja iz obvezničkih fondova u kolovozu. Brže su izvukli sredstva iz ove kategorije u prosincu 2014. godine. Zatim, u pozadini devalvacije tečaja rublje i brzog rasta tečaja na domaće tržište ulagači su povukli više od 4,5 milijardi rubalja iz fondova.

Ulagači djelomično koriste oslobođenu likvidnost za kupnju rizičnijih dioničkih fondova. Količina sredstava uloženih u fondove ove kategorije u kolovozu je premašila 3,5 milijardi rubalja, što je 500 milijuna rubalja. veća atrakcija u srpnju. Potražnja za rizičnim strategijama raste već šesti mjesec zaredom, a obujam ulaganja uzima sve veći udio u ukupnom priljevu u maloprodajna sredstva. Među investitorima najveća su potražnja za telekomunikacijskim i naftnim i plinskim fondovima.

Koliki su prihodi donijeli ulaganja u zajedničke fondove (%)

Izvori: Nacionalna liga guvernera, Investfunds.

Augusta autsajderi - dionice - popeli su se na treće mjesto s četvrte ocjene "Novac". Tijekom prošlog mjeseca ulaganja u MICEX indeks donijela bi maloprodajnim ulagačima 3,4 tisuće rubalja. Istodobno, početak promatranog razdoblja nije obećavao tako visok rezultat. U razdoblju od 15. do 18. kolovoza indeks MICEX -a pao je za 1,2%. Međutim, stanje se popravilo nakon 24. kolovoza. U tri tjedna indeks je skočio gotovo 5% i popeo se na razinu od 2374 boda. To je samo 2 boda ispod svih dosadašnjih maksimuma postavljenih u ožujku.

Međutim, u rujnu su se pojavili mnogi burzovni indeksi u razvoju i razvijene zemlje pokazala pozitivnu dinamiku. Prema procjenama Bloomberga, ruski indeksi porasli su u dolarima za samo 4,4%. Snažniji rast zabilježili su samo turski indeksi koji su porasli za 5,9-6,3%. Među pokazateljima razvijenih zemalja, talijanski FTSE MIB postao je vodeći, dodajući 3,4% tijekom mjeseca.

Najveći dobitak ostvaren je u dionicama ALROSA-e, Gazproma, MMC-a Norilsk Nickel i Magnita: ulagač je na tim vrijednosnim papirima mogao zaraditi 4,2-8,3 tisuće rubalja. za svakih sto tisuća ulaganja. Prema riječima Antona Startseva, vodećeg analitičara Olma Investment Company, interes ulagača za dionice ALROSA -e potkrijepljen je izjavom ministra financija Antona Siluanova da bi tvrtka mogla usmjeriti 75% neto dobit za isplatu dividendi.

Izuzetak od opće slike bile su dionice RusHydro -a, Rostelecoma, Aeroflota, čija bi ulaganja donijela gubitak u iznosu od 200 rubalja. do 1,4 tisuće rubalja. Maksimalni gubici bili bi za ulagače koji su uložili vrijednosni papiri Sberbank - 2,1 tisuće rubalja. Njegove dionice i dalje su pod pritiskom komentara dužnosnika američkog State Departmenta, koji ne isključuju mogućnost sankcija banci u studenom. Takvi izgledi plaše međunarodne ulagače i tjeraju ih da se povuku ne samo iz OFZ -a, već i iz vrijednosnih papira banke.

Nakon kolapsa u kolovozu i rujnu, dionice Sberbanke postale su privlačne za ulaganje, kažu analitičari. „Oporavak najvećih vrijednosnih papira Ruska banka je vrlo vjerojatno, a rizici njihove kupnje potpuno su opravdani. Zasad bi se srednjoročni ulagači trebali usredotočiti na fiksiranje dobiti u regiji od 180 rubalja. po dionici ", - rekao je analitičar" ALOR Broker "Aleksej Antonov.

Koliki su prihod donijela ulaganja u dionice (%)

Preko polja K (\ displaystyle K) i e 1, e 2,…, e n (\ displaystyle e_ (1), e_ (2), \ dots, e_ (n))- osnova u L (\ displaystyle L).

• Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi kutni minor njegove matrice strogo pozitivni.
• Kvadratni oblik je negativno određen ako i samo ako se izmjenjuju predznaci svih kutnih molova njegove matrice, a molar reda 1 je negativan.

Bilinearni oblik, polan prema pozitivno određenom kvadratnom obliku, zadovoljava sve aksiome točkastog proizvoda.

Kanonski pogled

Pravi slučaj

U slučaju kada K = R (\ displaystyle K = \ mathbb (R))(polje realnih brojeva), za svaki kvadratni oblik postoji osnova u kojoj je njegova matrica dijagonalna, a sam oblik ima kanonski pogled(normalan prikaz):

gdje r (\ displaystyle r) je rang kvadratnog oblika. U slučaju nedegeneriranog kvadratnog oblika p + q = n (\ displaystyle p + q = n), a u slučaju degeneriranog - p + q< n {\displaystyle p+q.

Da bi se kvadratni oblik sveo na kanonski oblik, obično se koristi Lagrangeova metoda ili ortogonalne transformacije baze, a taj se kvadratni oblik može svesti na kanonski oblik ne na jedan, već na mnogo načina.

Broj q (\ displaystyle q)(negativni pojmovi) se naziva indeks inercije dan kvadratni oblik i broj p - q (\ displaystyle p -q)(razlika između broja pozitivnih i negativnih pojmova) se naziva potpis kvadratni oblik. Imajte na umu da se ponekad potpis kvadratnog oblika naziva par (p, q) (\ displaystyle (p, q))... Brojevi p, q, p - q (\ displaystyle p, q, p -q) su invarijante kvadratnog oblika, tj. ne ovise o načinu na koji je sveden na kanonski oblik ( Silvesterov zakon inercije).

Složeni slučaj

U slučaju kada K = C (\ displaystyle K = \ mathbb (C))(polje kompleksnih brojeva), za bilo koji kvadratni oblik postoji osnova u kojoj oblik ima kanonski oblik

gdje r (\ displaystyle r) je rang kvadratnog oblika. Dakle, u složenom slučaju (za razliku od realnog), kvadratni oblik ima samo jedan invarijant - rang, a svi nedegenerirani oblici imaju isti kanonski oblik (zbroj kvadrata).