Что такое нетто премия и её структура. Анализ однородного страхового портфеля с применением нормальной аппроксимации. п-летнее смешанное страхование жизни

п-летнее смешанное страхование жизни

Нетто-премия вычисляется по формуле:

Полное страхование жизни, отсроченное на т лет

При этом виде страхования нетто-премия вычисляется по формуле:

п-летнее временное страхование жизни, отсроченное на т лет

Полное страхование жизни с непрерывно возрастающим пособием

19. Расчет нетто-премий при полном страховании жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни.

РАСЧЕТ НЕТТО-ПРЕМИЙ ДЛЯ ОСНОВНЫХ ДИСКРЕТНЫХ

ВИДОВ СТРАХОВАНИЯ

Исходя из определения дискретных видов страхования, и понятия актуарной стоимости можно получить следующие формулы для вычисления нетто-премий:

1. Полное страхование жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни .

Нетто-премия вычисляется как

является дискретным анализом непрерывной упрощающей функции .

20. Расчет нетто-премий при п-летнем временном и смешанном страховании жизни с

выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни.

п -летнее временное страхование жизни с выплатой пособия в конце года смерти

3. п -летнее смешанное страхование жизни с выплатой пособия в конце года смерти

4. Полное страхование жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни, отсроченное на т лет

5. Полное страхование жизни с ежегодно возрастающем пособием и выплатой пособия в конце последнего года жизни

Обозначив , можем записать в виде

Здесь - это дискретная упрощающая функция.

21. Связь между непрерывным и дискретным видами страхования жизни.

Дискретное страхование жизни- страховая сумма выплачивается в конце года смерти. Вычисления можно проводить непосредственно по таблицам продолжительности жизни.

Вычислив нетто-премии при дискретном страховании жизни, можно вычислить и нетто-премии при соответствующих видах непрерывного страхования. Для того чтобы связать между собой непрерывные и дискретные виды страхования необходимо сделать определенные предположения о законе распределения времени жизни для дробных возрастов.

Обычно предполагают, что этот закон – равномерный. Известно, что в этом случае случайные величины и независимы, и имеет равномерное распределение на . Тогда можем получить следующие формулы, связывающие нетто-премии для соответствующих непрерывных и дискретных видов страхования:

Приведенные выше формулы позволяют вычислять разовые нетто-премии по непрерывным видам страхования через характеристики , , , которые достаточно просто вычисляются по данным, приводимым в общих таблицах продолжительности жизни.

22. .Анализ суммарного иска в модели долгосрочного страхования жизни.

Пусть в момент времени страховая компания заключила договоров страхования жизни. Обозначим через - премии, а через - величину страхового пособия, выплачиваемого по - ому договору в случайный момент времени . Расположим величины в порядке возрастания: . Тогда в момент времени капитал компании можно вычислить как

и компания не разорится, если будет выполнено условие вида:

где - современная стоимость выплаты по - ому договору страхования. Вероятность неразорения будет вычисляться по формуле:

которая аналогична соответствующей формуле для краткосрочного страхования жизни. То есть расчет вероятности неразорения при долгосрочном страховании производится так же, как и при краткосрочном страховании с величинами убытков .

Тогда плата за страховку будет иметь вид:

где - нетто-премия по - ому договору, а - соответствующая страховая надбавка, которая вычисляется аналогично краткосрочному страхованию жизни.

В простейшем случае, когда страховая надбавка делится пропорционально математическим ожиданиям, получаем:

При более сложных моделях долгосрочного страхования не всегда удается выразить:

а) вероятность неразорения в виде простой формулы вида (32);

б) нетто-премии и страховые надбавки в виде (34).

Нетто-премия - часть страховой премии, предназначенной непосредственно для покрытия ущерба. Нетто-премия является главной составной частью брутто-премии..

Нетто-премия состоит из чистой нетто-премии по риску и рисковой (страховой) надбавки.

Чистая нетто-премия

Определение нетто-премии по риску традиционно относится к области актуарных расчётов и страховой математики. Чистая нетто-премия рассчитывается на основании данных об ущербах за прошлый период и представляет собой произведение частоты наступления страхового случая на средний размер ущерба по всей совокупности наступивших в прошлом страховых случаев.

Чистая премия по риску = Частота ущерба х Средний размер ущерба

Частота ущерба определяется как частное от деления числа случаев ущерба в наблюдаемом множестве на число входящих в это множество единиц наблюдения.

Средний размер ущерба представляет собой частное от деления общей суммы ущерба за наблюдаемый период на число случаев ущерба за этот же период.

Рисковая (страховая) надбавка

Рисковая надбавка предназначена для повышения надежности страховой защиты.

При выявлении закономерности появления ущерба в результате случайных событий в прошлом и определении на основе этого прошлого опыта убыточности в будущем неизбежны ошибки двух видов:

• Ошибка диагноза, которая появляется вследствие неполной информации. Это связано с тем, что статистическая выборка ограниченна и не отвечает требованиям закона больших чисел.
• Ошибка прогноза, которая состоит в том, что в будущем не будет полного совпадения с обстоятельствами предшествующего периода, на основании которого определялась чистая премия по риску. Это может быть следствием влияния неучтённых или изменившихся факторов. Доказано, что даже при очень хорошей информации об ущербах будущий ущерб превышает его величину в половине случаев.

Для того, чтобы гарантировать надёжную страховую защиту, т.е. повысить вероятность того, что собранных денег хватит на выплату ущерба в будущем по всем случаям, к чистой нетто-премии добавляют рисковую (страховую) надбавку.

Величина рисковой надбавки не может быть меньше величины стандартного отклонения показателя убыточности страховой суммы.

Использование нетто-ставки страхового тарифа для определения нетто-премии

Ожидаемую величину нетто-премии можно определить как произведение страховой суммы на нетто-ставку. Нетто-ставка представляет собой процент, который отражает вероятность убытка, рассчитанную на основе соотношения ущерба к совокупной страховой сумме застрахованных объектов.

Размер нетто-премии определяется по формуле:

Нетто-премия = Страховая сумма х Нетто-ставка/100

Понятие и структура брутто-премии

Определение 1

Брутто-премия – это определенная условиями договора страхования сумма денежных средств, которую обязан уплатить страхователь страховой компании за определенный период времени.

В структуре брутто-премии выделяют нетто-премию и нагрузку.

Нетто-премия необходима для выполнения обязательств страховой компании по договорам страхования. Может состоять из следующих элементов:

• рисковой премии, предназначенной для покрытия ущерба при наступлении страхового случая;
• рисковой надбавки, необходимой для возмещения повышенного ущерба в случае возможного увеличения вероятности наступления рискового события;
• сберегательного взноса, используемого только в страховании жизни и предназначенного для накопления определенной суммы денежных средств в течение срока действия договора с последующей выплатой.

Рисковая премия присутствует всегда в составе нетто-премии и предназначена для формирования страхового резервного фонда, а рисковая надбавка учитывается при расчете нетто-премии по усмотрению страховой компании и идет на формирование запасного фонда.

Нагрузка, входящая в структуру брутто-премии, представляет собой затраты страховой компании на осуществление своей деятельности и ее прибыль.

Затраты включают в себя традиционные издержки, характерные для любого предприятия (заработная плата, аренда, командировочные расходы, коммунальные платежи и т.д.) и специфические издержки, которые применимы только к страховой отрасли (выплата комиссионных вознаграждений страховым агентам и брокерам, осуществление предупредительных мероприятий, проведение экспертиз с целью определения размера ущерба и т.д.).

Замечание 1

В зависимости от вида страхования, а также затрат страховой компании на осуществление своей деятельности, соотношение нетто-премии и нагрузки могут быть различными. Чаще всего в общей величине брутто-премии 70-80% составляет нетто-премия, остальное – нагрузка.

В общем случае брутто-ставку $Тб$ равна:

$Тб = Тн / (100 - Н) 100$, где:

$Тн$ – нетто-ставка,

$Н$ – нагрузка, определенная в процентах от брутто-ставки.

Если нагрузка определена в рублях, то брутто-ставка равна:

$Тб = Тн + Н$

При расчете брутто-премии наиболее важное значение имеет определение оптимального размера нетто-премии, т.к. от этого зависит последующая платежеспособность и финансовая устойчивость страховщика. Поэтому ее расчету уделяют повышенное внимание.

Расчет нетто-ставки по рисковым видам страхования

Определение 2

Нетто-ставка – это показатель, равный величине нетто-премии, рассчитанной на одну единицу (обычно 100 рублей) страховой суммы.

Методика расчета нетто-ставки по рисковым видам страхования подразумевает наличие достаточного объема статистических данных, необходимых для осуществления точных расчетов, прогнозируется заключение большого количество договоров (на один и тот же срок), а также предполагается отсутствие событий, которые могут повлечь за собой выплаты сразу по нескольким страховым случаям.

В соответствии с методикой формула для вычисления нетто-ставки $Тн$ имеет вид:

$Тн = То + Тр$, где:

$То$ – рисковая премия (часть) нетто-ставки,

$Тр$ – рисковая надбавка.

Рисковая премия рассчитывается следующим образом:

$То = Q Sb ⁄ S 100$, где:

$Q$ – вероятность, с которой возможно наступление страхового события,

$Sb$ – средний размер страховой выплаты,

$S$ – средний размер страховой суммы.

$Q = M ⁄ N$, где:

$M$ – количество произошедших страховых событий,

$N$ – количество заключенных за определенный период времени договоров.

Средний размер страховой выплаты равен отношению суммы выплат по всем договорам к количеству договоров:

$Sb = (∑Sbi) ⁄ M$

Средний размер страховой суммы равен отношению суммарной величине страховых сумм по всем договорам к количеству этих договоров:

$S = (∑Si) ⁄ N$

Рисковая надбавка $Тр$ равна:

$Тр = То α(γ) √ ((1 – Q + (Rb ⁄ Sb)^2) / (N Q))$, где:

$Rb$ – среднеквадратичное отклонение средней страховой выплаты,

$α(γ)$ – коэффициент, который зависит от выбранной страховой компанией вероятности γ того, что взносов хватит для покрытия ущерба. Значение берется из таблицы:

Рисунок 1. Значения коэффициентов. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Расчет нетто-ставки по страхованию жизни

К основным факторам, влияющим на размер нетто-ставки при страховании жизни, можно отнести:

• возраст и пол страхуемого лица;
• срок действия договора и порядок уплаты взносов;
• прогнозируемая доходность средств, поступивших в страховой резервный фонд страхования жизни, в случае их инвестирования.

Расчет нетто-ставки основан на данных таблиц о смертности населения определенного возраста и средней продолжительности жизни.

Для начала рассчитываются необходимые показатели

Вероятность наступления смерти в заданный год жизни $Qx$ вычисляется по формуле:

$Qx = Bx ⁄ Lx$, где:

$Bx$ – количество человек, которое умирает в период от $x$ до $x + 1$ лет,

$Lx$ – общее количество человек, доживших до х лет;

Вероятность, с которой человек доживет до заданного возраста, $Px$ равна:

$Px = L(x+1) ⁄ Lx$, или:

С учетом того, что договоры по данному виду страхования имеют длительный период действия, а средства, поступающие от страхователя, могут использоваться страховой компанией для инвестирования с целью получения дополнительного дохода, для корректировки итоговой нетто-ставки используют множитель $V^n$ равный:

$V_n = 1 ⁄ (1+i)_n$, где:

$i$ – норма доходности от инвестирования,

$n$ – количество лет, на которое вкладываются средства.

В итоге размер нетто-премии ${Ex}_n$ на дожитие будет равен:

${Ex}_n = (L(x+n) V_n) / Lx S$, где:

$L(x+n)$ – количество человек, доживших до завершения срока, на который заключен договор,

$n$ – срок, на который заключен договор,

$S$ – величина страховой суммы.

Нетто-ставка на возможность смерти ${Az}_n$ равна:

${Az}_n = (Bx ∙ V + B(x+1) ∙ V_2 + ⋯ +B (x+n-1) ∙ V_n) / Lx ∙ 100$, где:

$Bx, B(х+1)…B(x+n-1)$ – количество человек, умирающих в период с $х$ лет до $х+1$, рассчитанное по каждому году срока действия договора.

При заключении договора комбинированного страхования и на дожитие, и на возможность смерти нетто-ставка будет равна:

$Тн = {Ex}_n + {Az}_n$

Такой метода расчета нетто-ставки применим при условии, что вся сумма страхового платежа вносится сразу за весть период страхования. Если же страхователь желает разделить сумму взноса на несколько частей, равное количеству лет страхования, то размер ежегодного платежа $P^x$ будет равен:

$Р_x = {Ed}_x / α_x$, где:

${Ed}_x$ – размер рассчитанного единовременного платежа,

$α_х$ – коэффициент рассрочки, который представляет собой стоимость платежей в размере одной денежной единицы. Фактически данный показатель по величие близок к значению количества лет, на которые заключается договор, но получается чуть ниже него. В итоге величина ежегодных платежей превышает значение, равное простому делению единовременного взноса на количество лет страхования. В этом случае страховщик возмещает потери, которые он несет от невозможности инвестировать всю сумму сразу и получить от этого доход.

Часть страхового взноса, используемая для покрытия страховых платежей по конкретному виду страхования за определенный временной промежуток, называется нетто-премией. Ее величина находится в непосредственной зависимости от развития риска. Параметр может соответствовать рисковой премии при планомерном развитии опасностей.

Для чего используется и на что влияет?

Часть страховой премии предназначается для компенсационных выплат, целью которых является покрытие ущерба. Ее величина определяется параметром нетто-премии, являющейся составляющим элементом брутто-премии. Формирование нетто-премии осуществляется по риску и страховой надбавке. Определение величины по риску производится при помощи актуарных расчетов, учитывающих раздел страховой математики. Для идентификации значения используются сведения о причиненном ущербе за прошлый период.

Параметр соответствует произведению частоты наступления страхового случая за выделенный период и средней величины нанесенного ущерба. При его определении в расчет включаются причиненные страхователю убытки, полученные в результате обстоятельств, отнесенных к категории страхового случая за весь выделенный временной период, подлежащий анализу. Частота ущерба рассчитывается частным числом общего количества ущерба в наблюдаемом их множестве и числом входящих в него наблюдаемых единиц. Средний размер ущерба определяется частным его общей суммы и числа случаев ущерба. Все параметры учитываются за выделенный временной промежуток, интерпретируемый как наблюдаемый.

Из каких элементов состоит?

Страховой взнос определяет среднюю величину нетто-премии, что обуславливает положительные и отрицательные отклонения параметра. Для его компенсации в размер рисковой премии включается гарантийная надбавка, применяемая для стабилизации показателя. Его структура формируется в соответствии с видом страхования и его предметом. В имущественном и личном страховом продукте, она состоит из разных составляющих элементов. Нетто-премия имущественного страхования определяется рисковой премией и стабилизационной надбавкой. Для личного страхования характерен актуарный расчет, в котором учитывается рисковая премия и накопительный взнос. В некоторых ситуациях учитывается гарантирующая надбавка.

Как производятся расчетные операции?

Нетто-премия актуальна для страховых операций, предметом которых являются имущество, здоровье и жизнь человека. Она соответствует разнице общей суммы страховой премии и агентского или брокерского вознаграждения. Премия необходима для обеспечения страховой защиты от возможного ущерба. В нее не включается та ее часть, расходование которой предназначено для покрытия прочих расходов. В страховании жизни параметр интерпретируется разницей первоначальной страховой премии и суммы выплаченных страхователю дивидендов в случае, если выгодополучателем они были использованы на оплату премиальных платежей по полису страхования жизни. Ожидаемая величина нетто-премии определяется по формуле:

НП = СС х НС / 100 , где:

• НП - нетто-премия;
• СС - страховая сумма;
• НС - нетто-ставка.

Нетто-ставка представлена процентом, отображающим вероятность убытка. Параметр рассчитывается соотношением причиненного ущерба к совокупной страховой сумме застрахованных объектов. Величина ущерба определяется частным общей суммы ущерба и числом зафиксированных подобных случаев. Все значения учитываются за наблюдаемый период.

Для повышения надежности защиты по решению страховщика, в расчете может быть учтена рисковая надбавка. Она не может быть меньше величины стандартного отклонения параметра убыточности, примененного к страховой сумме. Учет значения в расчетах увеличивает вероятность того, что собранных денег в ракурсе страховой премии будет достаточно для произведения компенсационных выплат за понесенный страхователем ущерб в результате наступления страхового случая. Расчет нового значения премии будет выглядеть суммой базовой нетто-премии и страховой надбавки.

Параметр рисковой надбавки необходимо учитывать в расчетах при выявлении определенных закономерностей факта ущерба, нанесенного застрахованному объекту в результате случайных событий в прошлом периоде. На основании статистической информации можно заранее спрогнозировать убыточность. Анализируя параметры, следует не допустить диагностических ошибок, заключающихся в обработке сведений не в полном объеме, а также недостоверностей прогноза, выраженных в невозможности повторения прошлого в будущем периоде. Во избежание недостоверностей и завышения суммы платежа, применяется среднестатистическое значение величины, определяемое по нескольким временным эпизодам.

Заключение

Таким образом, ожидаемую величину нетто-премии можно определить, зная размер страховой суммы и значение нетто-ставки. При этом нетто-ставка является процентом, отражающим вероятность убытка (ущерба). Эта вероятность рассчитывается на основе соотношения ущерба к совокупной страховой сумме застрахованных объектов. Чистая же нетто-премия определяется в ходе актуарных расчетов, для которых необходимо знание статистических данных за прошлые периоды, в том числе частоту наступления страховых случаев и средний ущерб от них.

Брутто-премия , или страховой взнос, представляет собой размер страховых платежей по , уплачиваемый страхователем страховщику (страховой организации) за определенный период со всей страховой суммы. Брутто-премия зависит от величины страховой суммы, степени риска и периода, за который делается этот страховой взнос. Такой период по продолжительности может не совпадать с общим сроком страхования. Структура брутто-премии отражает экономический механизм страхования.

В ней можно выделить два элемента: нетто-премию, предназначенную для страховых выплат по условиям договора страхования, и нагрузку , предназначенную для покрытия расходов по ведению дела и получения прибыли от страховых операций (рис. 10.1). Заметим, что нетто-премия, рассчитанная на единицу страховой суммы, равную, как правило, 100 руб., имеет название «нетто-ставка».

Рис. 10.1. Структура брутто-премии

Соотношение нетто-премии и нагрузки в зависимости от вида и объема страхования, а также от уровня затрат на ведение дела может различаться. В настоящее время это соотношение меняется в сторону увеличения доли нагрузки до 15-20%, как принято в мировой практике. Данная тенденция обусловливается в основном увеличением структурного элемента нагрузки - комиссионного вознаграждения, что говорит об усилении значения работы посредника в страховании (агента, брокера), и в большой степени соответствует мировой практике.

В общем случае нетто-премия может включать в себя следующие структурные элементы: рисковый взнос, рисковую (гарантийную, или стабилизационную) надбавку и накопительный (сберегательный) взнос (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Возможная структура нетто-премии

Рисковый взнос предназначен для покрытия риска по всем , т.е. он используется для страховых выплат при наступлении страхового случая. В структуре нетто-премии он присутствует всегда.

Рисковая (гарантийная, или стабилизационная) надбавка предназначена для компенсации возможного превышения фактических выплат над расчетными, учтенными в виде рискового взноса. В структуру нетто-премии эта надбавка может не включаться — все зависит от выбранной страховщиком стратегии управления. Если его цель — завоевать страховой рынок за счет цен более низких, чем у других страховщиков, то этот элемент (рисковая надбавка) не включается в структуру нетто-премии. Если же страховщик желает укрепить свою финансовую устойчивость, данный элемент включается в нетто-премию.

Накопительный (сберегательный) взнос предназначен для накопления суммы, выплачиваемой по условиям долгосрочного договора страхования жизни — в случае дожития застрахованного до определенной даты (по риску дожития). Накопительный взнос должен инвестироваться в целях получения дохода. Он является структурным элементом нетто-премии долгосрочных договоров страхования жизни, например, при страховании на дожитие, смешанном страховании жизни, страховании пенсий (в данном случае используется российская классификация видов страхования).

Размер рискового взноса в нетто-премии зависит от страховой суммы и вероятности наступления страхового случая. Размер рисковой надбавки зависит от принятой вероятности превышения фактических выплат над расчетными. Чем меньше заданная вероятность превышения фактических выплат над расчетными, тем выше размер рисковой надбавки. Соотношение же между рисковым взносом и рисковой надбавкой для разных видов страхования может быть неодинаковым.

Размер накопительного взноса зависит от принятого правила денежного оборота (простого или сложного процента), размера страховой (накапливаемой) суммы, выплачиваемой по риску дожития, обещанной страхователю нормы дохода и срока действия договора (периода накопления). Для накопительного вида страхования соотношение рискового и накопительного взносов определяется условиями договора.

Включение рискового и накопительного взносов в структуру нетто-премии определяется видом страхования: условие рискового взноса практически включается во все виды страхования, так как предусматривает покрытие риска, а условие накопительного — только в долгосрочные договоры страхования жизни. Так, при краткосрочном страховании от несчастного случая и болезни, медицинском страховании или страховании на случай смерти, страховании имущества и ответственности (рисковые виды страхования) в структуру нетто-премии обязательно входит рисковый взнос, а в зависимости от выбранной стратегии управления компанией может входить или не входить рисковая надбавка.

При страховании пенсий (долгосрочный вид страхования жизни) в структуру нетто-премии включается накопительный взнос, который предназначен для платежей застрахованному лицу по риску дожития до определенной даты, например до даты очередной выплаты. Заметим, что для долгосрочных договоров страхования жизни, в которых предусматривается одновременно как покрытие риска (риска смерти и, может быть, риска несчастного случая), так и накопление средств на случай дожития. Так, для договоров смешанного страхования жизни необходимость во включении в нетто-премию рисковой надбавки отпадает, поскольку роль рисковой (гарантийной) надбавки выполняет накопительный взнос.

В табл. 10.1 представлены возможные варианты структуры брутто-премии для разных видов страхования.

Элементы нетто-премии: рисковый взнос, рисковая надбавка и накопительный взнос — служат источниками формирования специальных страховых фондов — страховых резервов, предназначенных для выплат по условиям договора страхования.

Таблица 10.1. Варианты структуры брутто-премии для разных видов страхования

Примечание: «+» означает обязательность включения в структуру брутто- премии; «±» означает, что данный элемент может быть включен или не включен в структуру брутто-премии.

Как уже отмечалось, нагрузка представляет собой часть брутто- премии, предназначенную для покрытия расходов по ведению дела и получения прибыли от страховых операций (рис. 10.3).

Первый структурный элемент нагрузки - затраты на ведение дела — относится на себестоимость страховых услуг, второй элемент - прибыль от страховых операции - это плановая прибыль страховой организации от таких операций.

Затраты на ведение дела делятся на традиционные , которые характерны для любого вида бизнеса, и специфические , осуществляемые именно в страховом деле. К специфическим видам затрат относятся комиссионные вознаграждения агентам и брокерам за посредническую деятельность в распространении страховых продуктов, расходы па проведение предупредительных (превентивных) мероприятий, затраты, связанные, например, с проведениемначальной экспертизы (при заключении договора), а также экспертизы, связанной с наступлением страхового случая, и т.п.

Рис. 10.3. Структура нагрузки

Опыт экономически развитых стран показывает, что доля расходов на проведение предупредительных мероприятий может составлять 4-6% брутто-премии, а доля комиссионных вознаграждений может доходить до 20% брутто-премии.