Legea inerției formelor pătratice. Clasificarea formelor pătratice. Legea inerției pentru formele pătratice Teorema inerției pentru formele pătratice

S-a constatat că numărul de coeficienți canonici nenuli ai unei forme pătratice este egal cu rangul acesteia și nu depinde de alegerea unei transformări nedegenerate, cu ajutorul căreia forma A(X, X) se reduce la forma canonică. De fapt, nici numărul de coeficienți pozitivi și negativi nu se modifică.

Teorema11.3 (legea inerției formelor pătratice)... Numărul de coeficienți pozitivi și negativi în forma normală a formei pătratice nu depinde de metoda de reducere a formei pătratice la forma normală.

Fie forma pătratică f rang r din n necunoscut X 1 , X 2 , …, X n adus la forma normală în două moduri, adică

f = + + … + –
– … – ,

f = + + … + – – … – ... Se poate dovedi că k = l.

Definiția 11.14. Se numește numărul de pătrate pozitive în formă normală la care se reduce o formă pătratică reală indice pozitiv de inerție acest formular; numărul de pătrate negative - indice negativ de inerție, iar suma lor este indicele de inerție pătratică sau semnătură formă f.

Dacă p- indice de inerție pozitiv; q- indice negativ de inerție; k = r = p + q Este indicele de inerție.

Clasificarea formelor pătratice

Fie forma pătratică A(X, X) indicele de inerție este k, indicele pozitiv de inerție este p, indicele negativ de inerție este q, atunci k = p + q.

S-a dovedit că în orice bază canonică f = {f 1 , f 2 , …, f n) această formă pătratică A(X, X) poate fi redusă la forma normală A(X, X) = + + … + –
– … – , Unde  1 ,  2 , …,  n coordonate vectoriale X in baza ( f}.

O condiție necesară și suficientă pentru semnul definit al unei forme pătratice

Afirmație11.1. A(X, X) dat în n V, a fost hotărât, este necesar și suficient ca fie un indice de inerție pozitiv p, sau indice negativ de inerție q, a fost egal cu dimensiunea n spaţiu V.

Mai mult, dacă p = n, apoi forma pozitiv X ≠ 0 A(X, X) > 0).

Dacă q = n, apoi forma negativ definit (adică pentru orice X ≠ 0 A(X, X) < 0).

O condiție necesară și suficientă pentru semnul alternativ al unei forme pătratice

Afirmația 11.2. Pentru forma pătratică A(X, X) dat în n-spațiu vectorial dimensional V, a fost alternativ(adică există așa X, y ce A(X, X)> 0 și A(y, y) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

O condiție necesară și suficientă pentru variabilitatea cvasi-semn a unei forme pătratice

Afirmația 11.3. Pentru forma pătratică A(X, X) dat în n-spațiu vectorial dimensional V, a fost cvasivariabilă(adică pentru orice vector X sau A(X, X) ≥ 0 sau A(X, X) ≤ 0 și există un vector diferit de zero X, ce A(X, X) = 0) este necesar și suficient pentru ca una dintre cele două relații să aibă loc: p < n, q= 0 sau p = 0, q < n.

cometariu... Pentru a aplica aceste trăsături, forma pătratică trebuie redusă la forma canonică. Acest lucru nu este necesar în criteriul caracterului de semnificație al lui Sylvester 15.

Vedere normală a unei forme pătratice.

Conform teoremei lui Lagrange, orice formă pătratică poate fi redusă la formă canonică. Adică, există o bază diagonalizantă (canonică) în care matricea acestei forme pătratice are o formă diagonală

Unde . Apoi, în această bază, forma pătratică are forma

Fie că printre elementele nenule există unele pozitive și negative și. Schimbând, dacă este necesar, numerotarea vectorilor de bază, vă puteți asigura întotdeauna că primele elemente din matricea diagonală a formei pătratice sunt pozitive, restul negative (dacă, atunci ultimele elemente din matrice sunt zerouri). Ca urmare, forma pătratică (10.17) poate fi scrisă în forma următoare

Ca rezultat al înlocuirii variabilelor cu variabile conform sistemului:

forma pătratică (6.18) are o formă diagonală, în care coeficienții pătratelor variabilelor sunt unitate, minus unu sau zero:

unde matricea de formă pătratică (10.19) are forma diagonală

Definiția 10.9. Se numește notația (10.19). vedere normală formă pătratică, iar baza de diagonalizare în care forma pătratică are matricea (10.20) se numește baza de normalizare.

Astfel, în forma normală (10.19) a formei pătratice, elementele diagonale ale matricei (10.20) pot fi unu, minus unu sau zero și sunt dispuse astfel încât primele să vină primele, apoi minus unu, apoi zerouri. (cazuri de dispariție a valorilor specificate,,).

Astfel, am demonstrat următoarea teoremă.

Teorema 10.3. Orice formă pătratică poate fi redusă la forma normală (10.19) cu matrice diagonală (10.20).

Legea cuadratică a inerției

Forma patratică poate fi redusă la forma canonică căi diferite(prin metoda Lagrange, metoda transformărilor ortogonale sau metoda Jacobi). Dar, în ciuda varietății formelor canonice pentru o formă pătratică dată, există caracteristici ale coeficienților săi care rămân neschimbate în toate aceste forme canonice. Acestea sunt așa-numitele invarianţi numerici formă pătratică. Unul dintre invarianții numerici ai formei pătratice este rangul formei pătratice.

Teorema 10.4 ( asupra invarianţei rangului unei forme pătratice ) Rangul unei forme pătratice nu se modifică în cazul transformărilor liniare nedegenerate și este egal cu numărul de coeficienți nenuli în oricare dintre formele sale canonice. Cu alte cuvinte, rangul formei pătratice este egal cu numărul de valori proprii nenule ale matricei formei pătratice (ținând cont de multiplicitatea acestora).

Definiția 10.10. Se numește rangul unei forme pătratice indicele de inerție... Se numesc numărul de numere pozitive și numărul () de numere negative în forma normală (3) a formei pătratice pozitivși indici negativi inerția formei pătratice, respectiv. În acest caz, lista este numită semnătură formă pătratică.

Indicii de inerție pozitivi și negativi sunt invarianți numerici ai formei pătratice. Există o teoremă numită legea inerției.

Teorema 10.5 ( legea inerției ) Forma canonică (10.17) a formei pătratice este determinată în mod unic, adică semnătura nu depinde de alegerea bazei de diagonalizare (nu depinde de modul în care forma pătratică este redusă la forma canonică).

□ Enunțul teoremei înseamnă că dacă una și aceeași formă pătratică folosind două transformări liniare nesingulare

redus la diverse forme canonice ():

atunci este obligatoriu, adică numărul de coeficienți pozitivi coincide cu numărul de coeficienți pozitivi.

Contrar afirmației, să presupunem că. Deoarece transformările (10.21) sunt nedegenerate, putem exprima variabilele canonice din ele:

Să găsim un vector astfel încât vectorii corespunzători să aibă forma

Pentru a face acest lucru, reprezentăm matricele în următoarele forme de bloc:

unde se notează -matricea, -matricea, -matricea, -matricea.

Ca urmare a reprezentărilor în bloc ale matricelor și vom compune un sistem omogen de ecuații algebrice liniare, luând din (10.22) primele ecuații, iar din (10.23) - ultimele ecuații:

Sistemul rezultat conține ecuații și necunoscute (componente vectoriale). Întrucât, deci, adică în acest sistem, numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute și are un număr infinit de soluții, dintre care se poate distinge o soluție diferită de zero.

Pe vectorul rezultat, valorile formei au semne diferite:

ceea ce este imposibil. Prin urmare, presupunerea despre ceea ce este greșit, adică.

Din ceea ce rezultă că semnătura nu depinde de alegerea bazei de diagonalizare. ■

Ca o ilustrare a legii inerției, se poate arăta că forma pătratică în trei variabile:

două transformări liniare nesingulare, cu matricele corespunzătoare

(prima matrice corespunde metodei Lagrange, a doua metodei transformării ortogonale) se reduce, respectiv, la două forme canonice diferite.

Mai mult, ambele forme canonice au aceeași semnătură

6. Forme pătratice definite de semn și alternante de semne

Formele pătratice sunt subdivizate în tipuri în funcție de setul de valori pe care le acceptă.

Definiția 10.11. Forma pătratică se numește:

definit pozitiv

definit negativ dacă pentru orice vector diferit de zero:;

nepozitiv definit (negativ semidefinit) dacă pentru orice vector diferit de zero:;

nenegativ definit (pozitiv semidefinit) dacă pentru orice vector diferit de zero:;

alternativ dacă există vectori nenuli,:.

Definiția 10.12. Se numesc forme patratice definite pozitive (negative). hotărât... Se numesc forme patratice definite nepozitiv (nenegativ). permanent.

Tipul unei forme pătratice poate fi determinat cu ușurință prin conversia acesteia la forma canonică (sau normală). Următoarele două teoreme sunt adevărate.

Teorema 10.6. Fie ca forma pătratică să fie redusă la forma canonică și să aibă semnătura (,). Atunci:

Este un definit pozitiv ;

Este un definit negativ ;

Este un nu pozitiv definite ;

Este un definit nenegativ ;

Este un alternativ.). Apoi: definit nenegativ pentru toți;

Este un alternativ printre valorile proprii sunt atât pozitive, cât și negative.

Septembrie s-a dovedit a fi o lună de succes pentru toate clasele de active. Potrivit estimărilor lui Deng, aproape toate investițiile au dat rezultate pozitive. În același timp, cel mai mare venit a fost adus de investițiile în aur, care au beneficiat nu numai de creșterea costului metalului prețios, ci și de slăbirea rublei. Investitorilor le-au adus randamente ridicate principalele categorii de fonduri mutuale, depozite, precum și majoritatea acțiunilor rusești. Popular în anul trecut fondurile de obligațiuni, precum și acțiunile Sberbank, care ar putea fi afectate cel mai puternic în cazul unor sancțiuni mai dure din SUA.

Vitali Kapitonov

Cinci luni mai târziu, aurul a fost cea mai profitabilă investiție a lunii. Potrivit „Banii”, după ce a investit pe 15 august în un metal prețios 100 de mii de ruble, investitorul ar putea primi aproape 5 mii de ruble într-o lună. sursa de venit. Acesta este al doilea cel mai mare rezultat lunar din acest an. Investitorul ar putea câștiga mai mult în aprilie - 9,3 mii de ruble.

Rentabilitatea ridicată a investițiilor în metalul prețios se datorează doar parțial creșterii prețului acestuia. De la mijlocul lunii august, prețul aurului a crescut cu 2,4%, la 1205 dolari pe uncie troy. Aceasta a fost o reflectare a așteptărilor inflaționiste din SUA. Potrivit Departamentului de Comerț al SUA, inflația din țară a scăzut de la 2,9% în iulie la 2,7% în august, dar rămâne peste țintele Fed. Astfel, inflația continuă să crească, ceea ce va permite Fed-ului să ridice cursul fără schimbări bruște. Metalul prețios a fost susținut de știrile că autoritățile americane și canadiene continuă să încerce să găsească un compromis cu privire la un nou acord NAFTA. „Veștile atenuează preocupările comerciale care au cântărit pe piața aurului și au susținut dolarul”, a declarat Mikhail Sheibe, strateg mărfuri la Sberbank Investment Research. Efectul creșterii prețului aurului a fost întărit de creșterea dolarului în Rusia (+ 2,5%). Drept urmare, investițiile în ruble în metal prețios au adus venituri semnificative.

Cu toate acestea, investițiile ulterioare în aur ar trebui tratate cu prudență, potrivit participanților de pe piață. Risc cheie pentru investițiile în metalul prețios, se menține escaladarea confruntării comerciale dintre Statele Unite și China. „A fost exclus factorul presiunii politice, ceea ce înseamnă că apariția de noi bariere este practic un lucru din trecut. O astfel de dezvoltare a evenimentelor este negativă pentru aur, deoarece cererea de dolar ca activ de protecție va crește, ", spune Mihail Sheibe.

Ce venituri au adus investițiile în aur (%)

Surse: Bloomberg, Reuters, Sberbank.

Printre cele mai profitabile produse financiare acțiunile rămân fonduri de investiții, iar produsele individuale ale companiilor de administrare a activelor au putut oferi marje care depășesc cele ale aurului. În octombrie, cele mai de succes investiții au fost în fonduri de acțiuni specifice industriei axate pe metalurgie, telecomunicații și companii de petrol și gaze... Potrivit estimărilor lui Deng, pe baza datelor Investfunds, până la sfârșitul lunii, investițiile în astfel de fonduri ar aduce investitorii privați de la 2,2 mii de ruble la 5,2 mii de ruble.

Alte categorii de fonduri au oferit și câștiguri mari: fonduri indexate, investitii mixte, euroobligațiuni. Fondurile din aceste categorii și-ar putea aduce investitorii de la 200 de ruble. până la 4 mii de ruble. pentru 100 de mii de investiții.

Fondurile de obligațiuni, îndrăgite de investitorii privați, au adus un rezultat negativ. Fondurile din această categorie sunt conservatoare, astfel încât pierderile investitorilor privați au fost simbolice - până la 1.000 de ruble. În astfel de condiții, investitorii au început să ia profituri în fonduri de obligațiuni. Potrivit Investfunds, investitorii de retail au retras 4 miliarde RUB din fondurile de obligațiuni în august. Au scos mai repede din fonduri din această categorie în decembrie 2014. Apoi, pe fondul devalorizării rublei și al creșterii rapide a ratelor pe piata interna investitorii au retras peste 4,5 miliarde de ruble din fonduri.

Investitorii folosesc parțial lichiditatea eliberată pentru a cumpăra fonduri de acțiuni mai riscante. Volumul fondurilor investite în fonduri din această categorie în august a depășit 3,5 miliarde de ruble, adică 500 de milioane de ruble. volum mai atras în iulie. Cererea de strategii riscante a crescut pentru a șasea lună consecutiv, iar volumul investițiilor ocupă o pondere din ce în ce mai mare din fluxul total către fondurile de retail. Telecomunicațiile și fondurile de petrol și gaze sunt cele mai solicitate în rândul investitorilor.

Ce venituri au fost aduse de investițiile în fonduri mutuale (%)

Surse: Liga Națională a Guvernatorilor, Investfunds.

Outsiders din august - acțiuni - au urcat pe locul trei de la a patra rating de „Bani”. În ultima lună, investițiile în indicele MICEX le-ar fi adus investitorilor de retail 3,4 mii de ruble. În același timp, începutul perioadei analizate nu a fost de bun augur pentru un rezultat atât de ridicat. În perioada 15-18 august, indicele MICEX a scăzut cu 1,2%. Cu toate acestea, situația s-a îmbunătățit după 24 august. În trei săptămâni, indicele a sărit cu aproape 5% și a urcat la nivelul de 2374 de puncte. Acesta este cu doar 2 puncte sub maximul istoric stabilit în martie.

Cu toate acestea, în septembrie, mulți indici bursieri de dezvoltare și țările dezvoltate a prezentat o dinamică pozitivă. Potrivit estimărilor Bloomberg, indicii ruși au crescut în dolari cu doar 4,4%. Doar indicii turci au înregistrat o creștere mai puternică, în creștere cu 5,9-6,3%. Dintre indicatorii țărilor dezvoltate, italianul FTSE MIB a devenit lider, adăugând 3,4% pe parcursul lunii.

Cele mai puternice câștiguri au fost înregistrate în acțiunile ALROSA, Gazprom, MMC Norilsk Nickel și Magnit: un investitor ar putea câștiga 4,2-8,3 mii de ruble pe aceste titluri. pentru fiecare sută de mii de investiții. Potrivit lui Anton Startsev, un analist de top la Olma Investment Company, interesul investitorilor pentru acțiunile ALROSA a fost susținut de declarația ministrului Finanțelor Anton Siluanov că compania ar putea direcționa 75% profit net pentru plata dividendelor.

O excepție de la imaginea generală au fost acțiunile RusHydro, Rostelecom, Aeroflot, investiții în care ar fi adus o pierdere în valoare de 200 de ruble. până la 1,4 mii de ruble. Pierderile maxime ar fi pentru investitorii care au investit în valori mobiliare Sberbank - 2,1 mii de ruble. Acțiunile sale rămân sub presiunea comentariilor oficialilor Departamentului de Stat al SUA, care nu exclud posibilitatea unor sancțiuni împotriva băncii în noiembrie. Astfel de perspective îi sperie pe investitorii internaționali și îi obligă să se retragă nu numai din OFZ, ci și din titlurile de valoare ale băncii.

După prăbușirea din august și septembrie, acțiunile Sberbank au devenit atractive pentru investiții, spun analiștii. „Recuperarea titlurilor de valoare a celor mai mari banca ruseasca este foarte probabil, iar riscurile achizițiilor lor sunt pe deplin justificate. Deocamdată, investitorii pe termen mediu ar trebui să fie ghidați de luarea de profit în regiunea de 180 de ruble. pe acţiune ", - a spus analistul" ALOR Broker "Alexei Antonov.

Ce venituri au adus investițiile în acțiuni (%)

Peste câmp K (\ stil de afișare K)și e 1, e 2,…, e n (\ displaystyle e_ (1), e_ (2), \ puncte, e_ (n))- baza in L (\ stil de afișare L).

• O formă pătratică este pozitivă definită dacă și numai dacă toate colțurile minore ale matricei sale sunt strict pozitive.
• O formă pătratică este negativă definită dacă și numai dacă semnele tuturor minorelor de colț ale matricei sale alternează, iar minorul de ordinul 1 este negativ.

Forma biliniară, polară față de forma pătratică definită pozitivă, satisface toate axiomele produsului scalar.

Vedere canonică

Caz real

În cazul când K = R (\ displaystyle K = \ mathbb (R))(câmp de numere reale), pentru orice formă pătratică există o bază în care matricea sa este diagonală, iar forma în sine are vedere canonică(vedere normală):

Unde r (\ displaystyle r) este rangul formei pătratice. În cazul unei forme pătratice nedegenerate p + q = n (\ displaystyle p + q = n), iar în cazul unuia degenerat - p + q< n {\displaystyle p+q.

Pentru a reduce forma pătratică la forma canonică, se utilizează de obicei metoda Lagrange sau transformările ortogonale ale bazei, iar această formă pătratică poate fi redusă la forma canonică nu într-unul, ci în mai multe moduri.

Număr q (\ stil de afișare q)(termeni negativi) se numește indicele de inerție forma pătratică dată și numărul p - q (\ displaystyle p-q)(diferența dintre numărul de termeni pozitivi și negativi) se numește semnătură formă pătratică. Rețineți că uneori semnătura unei forme pătratice se numește pereche (p, q) (\ displaystyle (p, q))... Numerele p, q, p - q (\ displaystyle p, q, p-q) sunt invarianți ai formei pătratice, i.e. nu depinde de modul în care se reduce la forma canonică ( Legea inerției lui Sylvester).

Caz complex

În cazul când K = C (\ displaystyle K = \ mathbb (C))(câmpul numerelor complexe), pentru orice formă pătratică există o bază în care forma are forma canonică

Unde r (\ displaystyle r) este rangul formei pătratice. Astfel, în cazul complex (spre deosebire de cel real), forma pătratică are un singur invariant - rang, iar toate formele nedegenerate au aceeași formă canonică (sumă de pătrate).