Sisteme de deducere complete și reduse. Euler și teoreme agricole. Sisteme de deducere complete și reduse Sistemul redus de deduceri în modul

Informații de bază din teorie

6. 1. Definiție 1.

Clasa de numere conform acestui modul este numită setul tuturor și numai acele numere întregi care, atunci când se împarte pe t, au același reziduu R, care este, comparabil cu modulul T (t Î N, T.> 1).

Desemnarea clasei de numere care au un reziduu r.: .

Fiecare număr de clasă numită deducere prin modulul T și clasa în sine numit clasa de deduceri prin modul t.

6. 2. Proprietățile unui set de clase de modul de deducere t.:

1) doar modulul t.va fi t.clase: Z T. = { , , , … , };

2) Fiecare clasă conține un set infinit de numere întregi (deduceri) al formularului: \u003d ( a.= mq.+ r / Q.Î Z,0£ r.< m.}

3) "darÎ : darº R.(mod M.);

4) "a, B.Î : darº B.(mod M.), adică orice două deduceri luate de la unul clasă comparaţie După modulul T.;

5) "darÎ , " b.Î : dar b.(mod M.), adică două deduceri; Luat de la diferite clase incomparabil După modulul T..

6. 3. Definiția 3.

Sistemul complet al deducerilor pentru acest modul este numit orice set de numere T luate unul câte unul și numai una dintre fiecare clasă de deduceri prin modulul T.

Exemplu: în cazul în care un m.\u003d 5, apoi (10, 6, - 3, 28, 44) este un sistem complet de deduceri pentru modulul 5 (și nu singurul!)

În special,

set (0, 1, 2, 3, ..., m. -1) - acesta este un sistem cel mai mic non-negativ deduceri;

set (1, 2, 3, ..., m. –1, t.) Este un sistem cele mai mici pozitive deduceri.

6. 4. Rețineți că:

în cazul în care un ( h. 1 , h. 2 , … , x T.) - Sistem complet de deduceri prin modulul t.T.

.

6. 5. Teorema 1.

În cazul în care un {h. 1 , h. 2 , … , x T.} – sistem complet de deducere pentru modulul t, "a, B.Î Z I.(a, T.) = 1, – apoi sistemul de numere {oh 1 + B., oh 2 + b., … , ah T.+ B.} formează, de asemenea, un sistem complet de deduceri prin modul t .

6. 6. Teorema 2.

Toate deducerile aceleiași clase de deduceri în modulul T au unul și același divizor comun: "a, B.Î Þ ( dar; T.) = (b; T.).

6. 7. Definiție 4.

Clasa de deducere În conformitate cu acest modul, se numește reciproc simplă cu modulul t, Dacă cel puțin o deducere a acestei clase este reciproc simplă cu t.

Rețineți că, în acest caz, prin teorema 2 totnumărul acestei clase va fi simplu simplu cu modulul t.

6. 8. Definiție 5.

Sistemul redus de deducere pentru acest modul se numește sistemul de deduceri luate unul câte unul și numai una dintre fiecare clasă, simplă cu modulul T.

6. 9. Rețineți că:

1) Sistemul redus de deduceri în modul T.conține j ( t.) numere ( h. 1 , h. 2 ,…, };

2) : .

3) " X I. : (x I., m.) = 1;

Exemplu : Lăsați modulul t.\u003d 10 Există 10 abilități:

Z. 10 \u003d (,,,,,,,,) - o mulțime de valori de clasă în modulul 10. Sistem complet de deduceri prin mod10 Will, de exemplu, cum ar fi: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Multe rate de deduceri, mutual simplu Cu modulul m \u003d.10: (,,,,) (J (10) \u003d 4).

Sistemul redus de deduceri Modulul 10 va, de exemplu,

(1, 3, 7, 9) sau (11, 43, - 5, 17) sau (- 9, 13, - 5, 77) etc. (Peste tot J (10) \u003d 4 numere).

6.10. Practic: pentru a alcătui unul dintre sistemele posibile de transmitere pentru MOD M, nevoie de sistemul complet de deduceri pe MO M pentru a alege acele deduceri care sunt reciproc simple cu T. Astfel de numere vor fij ( t.).

6.11. Teorema 3.

În cazul în care un{h. 1 , h. 2 ,…, } – sistemul redus de deducere prin modul tși

(dar, m.) = 1, – apoi sistemul de numere {oh 1 , oh 2 , … , ah J (t)} de asemenea, formează

sistemul redus de deducere prin modul t .

6.12. Definiția 6.

Sumă( Å ) Clase de deduceri și + B egală cu suma oricăror două deduceri luate conform uneia dintre fiecare clasă dată și : Å = , unde"darÎ , "b.Î .

6.13. Definiție 7.

Muncă( Ä ) clase de deduceri și modulul numit clasa de deduceri , adică clasa de deduceri constând din numere a ´ B egal cu produsul oricăror două deduceri luate conform uneia dintre fiecare clasă dată și : Ä = , unde"darÎ , "b.Î .

Astfel, într-o varietate de clase de deduceri prin modul t.: Z T. \u003d (,,,,,,) Două operațiuni algebrice sunt definite - "adăugarea" și "multiplicarea".

6.14. Teorema 4.

Multe clase de deducere z T Modulo sunt un inel asociativ-comutativ cu o unitate:

< Z T. , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – inel.

Sarcini tipice

1. Faceți un modul t.= 9:

1) sistemul complet al celor mai puțin pozitive;

2) sistemul complet al celor mai mici deduceri ne-negative;

3) un sistem complet de deducere arbitrară;

4) Sistemul complet al celui mai mic în valoarea absolută a deducerilor.

Răspuns:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};

2. Faceți un sistem dat de deducere prin modul t.= 12.

Decizie.

1) Faceți un sistem complet de deduceri mai puțin pozitive în modul t.= 12:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (total t.\u003d 12 numere).

2) traversează acest număr de numere, nu reciproc simple cu un număr 12:

{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.

3) numerele rămase, reciproc simple cu numărul 12, formează un sistem redus de deducere dorit de către modulul t.\u003d 12 (doar J ( t.) \u003d J (12) \u003d 4 numere).

Răspuns:(1, 5, 7, 11) - Sistemul redus de deduceri în modul t.= 12.

130. Make 1) un sistem complet al celor mai mici deduceri pozitive; 2) sistemul complet al celor mai mici deduceri ne-negative; 3) un sistem arbitrar de deduceri; 4) sistemul complet al celui mai mic în valoarea absolută a deducerilor; 5) Sistemul redus de deduceri: a) prin modul m. \u003d 6; b) modulul m. = 8.

131. este setul (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) un sistem complet de deducere pentru modulul 8?

132 conform căreia setul de modul (20, - 4, 22, 18, - 1) este un sistem complet de deducere?

133. Faceți sistemul redus de deduceri prin modul m. în cazul în care un) m. \u003d 9; b) m. \u003d 24; în) m. \u003d 7. Câte numere ar trebui să conțină un astfel de sistem?

134. Cuvocul proprietăților de bază ale sistemului complet al deducerilor și al sistemului redus de deduceri în modul m. .

135. Ce elemente sunt sistemele de mai sus și complete ale celor mai mici deduceri non-negative pe modulul simplu diferă?

136. Cu ce \u200b\u200bcondiție este darși - daraparțin unei clase de modul de deducere m.?

137. Ce clase de deduceri în modul 8 aparțin numerele simple r.³ 3?

138. Setul de numere (0, 2 0, 2 1, 2 2, ..., 2 9) formează un sistem complet de deduceri pentru modulul 11?

139. Câte rate de deducere în modul 21 aparțin tuturor deducerilor dintr-o clasă de deduceri în modulul 7?

140. Multe numere întregi Z. Distribuiți prin setări prin modulul 5. Ajustați tabelele de pliere și multiplicarea în setul rezultat de clase de deducere Z. cinci. Este setul Z. 5: a) Grupul cu operarea de adiție de clasă? b) un grup cu multiplicarea claselor?

§ 7. Teorema lui Euler. Teorema fermă mică

Informații de bază din teorie

7. 1. Teorema 1.

În cazul în care un.Î Z., T.Î N, T.>1 și(dar; T.) = 1 - apoi în secvența infinită a gradelor a 1 , dar 2 , dar 3 , ... , dar S, ..., dar T, ... Vor fi cel puțin două grade cu indicatorii S și T(s.< T.) astfel încât . (*)

7. 2. cometariu. Notat t.– s. = k. \u003e 0, de la (*) primim: . Cercerea ambelor părți ale acestei comparații n.Î N. Vom primi: (**). Aceasta înseamnă că există un set infinit de grade de număr. a.satisfăcătoare comparativ (**). Dar la fel degăsiți acești indicatori? Ce cel mai puţin Indicator satisfăcător comparativ (**)? Prima întrebare este responsabilă teorema Euler.(1707 – 1783).

7. 3. Teorema Euler.

În cazul în care un.Î Z., T.Î N, T.>1 și(dar; T.) = 1- acea . (13)

Exemplu. Lasa dar = 2, T. = 21, (dar; t.) \u003d (2; 21) \u003d 1. Apoi . Deoarece J (21) \u003d 12, apoi 2 12 º 1 (MOD 21). De fapt,: 2 12 \u003d 4096 și (4096 - 1) 21. Apoi este evident că 2 24 ° 1 (mod 21), 2 36 ° 1 (mod 21) și așa mai departe. Dar este indicatorul gradului 12 - cel mai micsatisfăcătoare comparativ cu 2 N. º 1 (Mod 21)? Se pare că nu. Cel mai mic indicator va fi p.\u003d 6: 2 6 º 1 (MOD 21), pentru 2 6 - 1 \u003d 63 și 63 21. Rețineți că cel mai puţin Indicatorul trebuie căutat numai printre separatorii numărului J ( t.) (În acest exemplu, printre divizorii numărului J (21) \u003d 12).

7. 4. Teorema fermă mică (1601 - 1665).

Pentru orice număr simplu P și orice număr AÎ Z., nu a fost împărțită în, există o comparație . (14)

Exemplu. Lasa dar = 3, R. \u003d 5, unde 3 nu este 5. Apoi sau .

7. 5. A generalizat teorema fermei.

Pentru orice număr simplu de p și numărul arbitrar aÎ Z deține o comparație (15)

Sarcini tipice

1. Dovediți că 38 73 º 3 (MOD 35).

Decizie.

1) de la (38; 35) \u003d 1, apoi de teorema lui Euler ; J (35) \u003d 24, atunci

(1).

2) de la comparație (1) Prin urmare, 2 Proprietăți 5 0 comparații numerice Avem:

3) de la comparație (2) Prin urmare, 1 Proprietăți 5 0 comparații: 38 72 × 38 ° 1 × 38 (mod 35) þ 38-35 \u003d 3 (mod 35) þ 38 73 º 3 (mod 35) După cum este necesar pentru a dovedi.

2. Danno: dar = 4, t. \u003d 15. Găsiți cel mai mic indicator k.satisfăcătoare în comparație (*)

Decizie.

1) de la ( a.; m.) \u003d (4; 25) \u003d 1, apoi de teorema lui Euler , J (25) \u003d 20, deci .

2) dacă fundația găsită este numărul 20 - cel mai mic Număr natural satisfăcător comparativ (*)? Dacă există un indicator al unui grad mai mic de 20, atunci acesta trebuie să fie un divizor al numărului 20. Deci, indicatorul dorit cel mai puțin k.trebuie să caute multe numere n. \u003d (1, 2, 4, 5, 10, 20) - divizoare ale numărului 20.

3) pentru p. = 1: ;

pentru P. = 2: ;

pentru P. \u003d 3: (nu este necesar să se ia în considerare);

pentru P. = 4: ;

pentru P. = 5: ;

pentru P. \u003d 6, 7, 8, 9: (nu este necesar să se ia în considerare);

pentru P. = 10: .

Asa de, cel mai mic Indicator al gradului k.satisfacerea comparativ (*) este k.= 10.

Răspuns: .

Exerciții pentru muncă independentă

141. Potrivit teoremei lui Euler . Pentru dar = 3, t. \u003d 6 avem: .

Deoarece J (6) \u003d 2, apoi 3 2 ° 1 (mod 6) sau 9º1 (MOD 6), apoi, conform Lemma, (9 - 1) 6 sau 8 6 (Fermă!). Unde este greșeala?

142. dovedește că: a) 23 100 º1 (MOD 101); b) 81 40 º 1 (mod100); c) 2 73 º 2 (MOD 73).

143. să demonstreze că a) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (MOD 10);

b) 5 4 p. + 1 + 7 4p. + 1 este împărțită fără 12 ..

144. Dovediți teorema, teorema inversă Euler: Dacă dar J ( M.) º 1 (mod m.), atunci ( a, M.) =1.

145. Găsiți cel mai mic indicator k.Î N, satisfăcând acest lucru comparativ: a) ; b) ; în) ; d) ;

e) ; e) ; g) ; h) .

și) ; la) ; l) ; m) .

146. Găsiți echilibrul diviziei:

a) 7 100 la 11; b) 9.900 pe 5; c) 5 176 de 7; d) 2 1999 la 5; e) 8 377 pe 5;

e) 26 57 pe 35; g) 35 359 cu 22; h) 5,718 la 103; și) 27 260 până la 40; K) 25 1998 cu 62.

147 *. Dovedește asta dar 561 º dar (Modul 11).

148 *. Dacă descompunerea canonică a unui număr natural p. Nu conține multiplicatori 2 și 5, atunci gradul 12 al acestui număr se încheie cu o cifră 1. Dovedită.

149 *. Demonstrează că 2 64 º 16 (MOD 360).

150 *. Dovedi: dacă ( dar,65) =1 , (b,65) \u003d 1, atunci a. 12 – B. 12 este împărțită fără un reziduu cu 65.

Capitolul 3. Aplicații aritmetice

Teorii ale comparațiilor numerice

§ 8. Numere sistematice

Informații de bază din teorie

1. Numere sistematice întregi

8. 1. Definiție 1.

Sistemul numere se numește orice metodă de înregistrare a numerelor. Semne cu care scriu aceste numere sunt numite numere.

8. 2. Definiția 2.

Un număr sistematic non-negativ non-negativ înregistrat în sistemul de poziționare T-original se numește numărul N din specie

, unde un I.(i. = 0,1, 2,…, k.) – numere non-negative întregi - numere, și0 £ a I. £ t.– 1, t - baza sistemului numeric, tÎ N, t\u003e1.

De exemplu, înregistrarea numărului în sistemul 7-RICHE are forma: (5603) 7 \u003d 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Aici a I.- este de 5, 6, 0, 3 - numere; Toți satisface condiția: 0 £ a I. £ 6. PLY. t.\u003d 10 spun: Număr n. Înregistrate B. sistem de numere zecimale,Și indexul. t \u003d.10 Nu scrieți.

8. 3. Teorema 1.

Fiecare număr întreg non-negativ poate fi reprezentat și singura modalitate sub forma unui număr sistematic pe orice bază T, unde tÎ N, t\u003e1.

Exemplu:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …

8. 4. Rețineți că:

1) atribuirea numărului sistematic de zerouri din stânga nu se schimbadin acest număr:

(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .

2) atribuirea unui număr sistematic s. zerouri pe dreapta sunt echivalente Multiplicareacest număr este t S.: (3 4) 5 \u003d 3 × 5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 \u003d 3 × 5 3 + 4 × 5 2 + 0 × 5 1 + 0 \u003d 5 2 × (3 × 5 1 + 4).

8. 5. Algoritmul pentru transferul numărului înregistrat înt. - sistemul oficial, în zecimal:

Exemplu: (287) 12 \u003d 2 × 12 2 + 8 × 12 1 + 7 × 12 0 \u003d 2 × 144 + 8 × 12 + 7 \u003d 288 + 96 +7 \u003d (391) 10.

8. 6. Algoritmul pentru traducerea numărului înregistrat în zecimal sistem, B.t. - oficial:

Exemplu: (3 9 1) 10 = (h.) 12. A găsi x.

8. 7. Acțiuni pe numerele sistematice

2. Fracțiuni sistematice

8. 8. Definiția 3.

Fracțiunea sistematică finală fumat în sistemul numeric cu baza t numită numărul de specii

unde C. 0 Î Z., c i - numere– numere non-negative întregi, și0 £ cu I.£ t.– 1, t.Î N, t\u003e1, k.Î N. .

Denumire: a \u003d ( c. 0 , din 1 din 2 …cu K.) T.. Pentru t.\u003d 10 fracțiunea este numită zecimal.

8. 9. Corolar 1.

Orice fracțiune sistematică finală este un număr rațional care poate fi reprezentat ca , unde suntÎ Z, B.Î N.

Exemplu. A \u003d (3 1, 2 4) 6 \u003d 3 × 6 + 1 + \u003d 19 + - Numar rational. Declarația inversă, în general, incorect. De exemplu, fracțiunea nu poate fi transformată în fracțiunea finală sistematică (zecimală).

8.10. Definiție 4.

O fracțiune sistematică pozitivă pozitivă Infinită T-Caractere în sistemul de bază, numit numărul de specii

, unde de la 0.Î N., cu I.(i. =1, 2, …, la, …) - numere– numere non-negative întregi, și0 £ cu I.£ t.–1, t.Î N, t\u003e1, k.Î N..

Denumire: a \u003d ( din 0 , din 1 din 2 … cu K.…) T.. Pentru t.\u003d 10 fracțiunea este numită zecimal.

8.11. Definiție 5.

Sunt posibile trei specii de fracțiuni sistematice infinite:

I a \u003d ( din 0 , ) T.= = T. unde \u003d. = = … În acest caz, numărula. numită o fracțiune periodică pură nesfârșită,(din 1 din 2 … cu K.) – perioadă, k - Numărul de numere în perioada - lungimea perioadei.

II A \u003d. .

În acest caz, numărul a numită o fracțiune periodică mixtă fără sfârșit, – contracta, () – perioadă, k este numărul de numere în perioada - lungimea perioadei, L este numărul de numere între integer și prima perioadă - pre-ex.

III A \u003d ( din 0 , din 1 din 2 … cu K. …) T. . În acest caz, numărula. numită o fracțiune nereperioasă infinită.

Sarcini tipice

1. Numărul ( dar) 5 \u003d (2 1 4 3) 5, specificat în sistemul 5-RICHE, se traduce într-un sistem bogat de 7, adică găsirea h.Dacă (2 1 4 3) 5 \u003d ( h.) 7 .

Decizie.

1) Convertiți acest număr (2 1 4 3) 5 la număr ( w.) 10, înregistrate în sistemul zecimal:

2. Efectuați:

1) (7) 8 + (5) 8; 2) (7) 8 × (5) 8; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6;

4) (5 2 3 4) 7 - (2 3 5 1) 7; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5.

Decizie.

1) (7) 8 + (5) 8 \u003d (7) 10 + (5) 10 \u003d (12) 10 \u003d 1 × 8 + 4 \u003d (1 4) 8;

2) (7) 8 × (5) 8 \u003d (7) 10 × (5) 10 \u003d (35) 10 \u003d 4 × 8 + 3 \u003d (4 3) 8;

3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6	Notă:	4 + 5 \u003d 9 \u003d 1 × 6 + 3, 3 Scrieți, 1 intră în următoarea descărcare, 6 + 3 + 1 \u003d 10 \u003d 1 × 6 + 4, 4 Scrieți, 1 merge la următoarea descărcare, 3 + 4 + 1 \u003d 8 \u003d 1 × 6 + 2, 2 Scrieți, 1 merge la următoarea descărcare.
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7	Notă:	"Occim" o unitate de categorie unică, adică "1" \u003d 1 × 7: (3 + 1 × 7) - 5 \u003d 10 - 5 \u003d 5, (1 + 1 × 7) - 3 \u003d 8 - 3 \u003d 5.
5) (4 2 3) 5 ' (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5	Notă:	La multiplicare cu 2: 3 × 2 \u003d 6 \u003d 1 × 5 + 1, 1, scriem, 1 merge la următoarea descărcare, 2 × 2 + 1 \u003d 5 \u003d 1 × 5 +0, 0 Noi scriem, 1 merge la Următoarea descărcare, 2 × 4 + 1 \u003d 9 \u003d 1 × 5 +4, 4 Scrieți, 1 merge la următoarea descărcare, cu o multiplicare de 3: 3 × 3 \u003d 9 \u003d 1 × 5 + 4, 4 Scrieți, 1 intră în categoria următoare, 3 × 2 + 1 \u003d 7 \u003d 1 × 5 +2, 2 Scrieți, 1 merge la următoarea descărcare, 3 × 4 + 1 \u003d 13 \u003d 2 × 5 +3, 3 Scriem, 2 Go în următoarea descărcare.

6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5

2 3 2 4 (3 2) 5

1 4 0 1 Răspuns: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;

(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .

Exerciții pentru muncă independentă

151. Numerele specificate în t.- sistemul oficial, traduce în sistemul zecimal:

a) (2 3 5) 7; b) (2 4 3 1) 5; c) (1 0 0 1 0 1) 2; d) (1 3) 15;

e) (2 7) 11; e) (3 2 5 4) 6; g) (1 5 0 1 3) 8; h) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2;

și) (7 6 2) 8; K) (1 1 1 1) 20.

152. Numere. specificate în sistemul zecimal, traduceți t.- Sistem oficial. Verifica.

a) (1 3 2) 10 \u003d ( h.) 7; b) (2 9 8) 10 \u003d ( h.) cinci; c) (3 7) 10 \u003d ( h.) 2; d) (3 2 4 5) 10 \u003d ( h.) 6 ;

e) (4 4 4 4) 10 \u003d ( h.) 3; e) (5 6 3) 10 \u003d ( h.) 12; g) (5 0 0) 10 \u003d ( h.) opt; h) (6 0 0) 10 \u003d ( h.) 2 ;

și) (1 0 0 1 5) 10 \u003d ( h.) douăzeci; k) (9 2 5) 10 \u003d ( h.) opt; l) (6 3 3) 10 \u003d ( h.) cincisprezece; m) (1 4 3) 10 \u003d ( h.) 2 .

153. Numerele specificate în t.- sistemul oficial, traduce q.- sistemul oficial (prin tranziție printr-un sistem zecimal).

a) (3 7) 8 \u003d ( h.) 3; b) (1 1 0 1 1 0) 2 \u003d ( h.) cinci; c) (6 2) 11 \u003d ( h.) 4 ;

d) (4) 12 \u003d ( h.) nouă. e) (3 3 1 3 1) 5 \u003d ( h.) 12 .

154. (a) Cum va schimba numărul (1 2 3) 5, dacă să atribuiți zero-o?

b) Cum să modificați numărul (5 7 6) 8, dacă aveți două zero la acesta la el?

155. Efectuați acțiuni:

a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4; b) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8; c) (1 0 1 1 0 1) 2 + (1 1 0 1 10) 2;

d) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9; e) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; e) (2 4 5 3) 7 - (1 6 4 5) 7;

g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; h) (1 7 5) 11 - (6) 11; și) (3 6 4 0 1) 7 - (2 6 6 6 3) 7;

k) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2; l) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;

h) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4; o) (1 0 2 2 2) 3: (1 2 2) 3; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4;

p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8; c) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5; T) (1 1 0 1 0 0 1 0) 2: (1 0 1 0 1) 2

y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6; X) (3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9: (7 6 4 2) 9.

c) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; W) (1 2 7) 12 + (9 1 3 5) 12b "× b. 1 Apoi:

I în cazul în care numitorul b. = b "(conține numai "2" și / sau "5"), atunci fracțiunea este convertită la finit fracție zecimală. Numărul semnelor zecimale este egal cu cel mai mic număr natural l. L.º 0( mod B.").

II În cazul în care numitorul b. = b 1.(nu conține "2" și "5"), atunci fracțiunea este transformată în infinit pur periodic egală cu cel mai mic număr natural k.satisfăcătoare comparativ cu 10. K.º 1 ( mod B. 1).

III În cazul în care numitorul b. = b "× b. 1 (conține "2" și / sau "5", precum și alți multiplicatori simpli), atunci fracțiunea este convertită la periodic mixt infinit.zece

fracția Tichty.

Durata perioadei este egală cu cel mai mic număr natural k.satisfăcătoare comparativ cu 10. K.º 1 ( mOD B 1.).

Lungimea cuvântului prealabil este egală cu cel mai mic număr natural l.satisfăcătoare comparativ cu 10. L.º 0( mod B.").

9. 2. Concluzii.

9. 3. Rețineți că:

numărul rațional este fiecare fracțiune zecimală finită sau o fracțiune zecimală periodică infinită;

numărul irațional este fiecare fracțiune zecimală ne-periodică infinită.

Sarcini tipice

1. Fracțiunile obișnuite de date înregistrate în sistemul zecimal, convertiți la

zecimal preliminar Determinând forma fracției dorite (finale sau infinite, periodice sau nerependate; dacă este periodică, apoi pur periodică sau amestecată periodică); În ultimele cazuri - pre-găsit număr k. - lungimea și numărul perioadei l.- Durata dispoziției. unu) ; 2); 3).

Decizie.

1) În fracțiune \u003d denominator - numărul b. \u003d 80 \u003d 2 4 × 5 conține numai "2" și "5". Prin urmare, această fracțiune este convertită la finit fracție zecimală. Numărul de semne zecimale l Nim. Determinată din starea: 10 L.º0 (mod80):

2) În fracțiune \u003d denominator - numărul b. \u003d 27 \u003d 3 3 nu conține "2" și "5". Prin urmare, această fracțiune este transformată în infinit periodic pur fracție zecimală. Perioada de lungime k Naim. Determinată din starea: 10 K.º1 (MOD27):

3) În fracțiune \u003d denominator - numărul b. \u003d 24 \u003d 2 3 × 3, adică pare: b. = b "× b. 1 (cu excepția "2" sau "5" conține alți factori, în acest caz, numărul 3). Prin urmare, această fracțiune este transformată în infinit periodic mixt fracție zecimală. Perioada de lungime k Naim. Determinată din starea: 10 K.º1 (mod3), de unde k Naim. \u003d 1, adică lungimea perioadei k. \u003d 1. Lungimea preformei l Nim. Determinată din starea: 10 L.º0 (mod8), de unde l Nim. \u003d 3, adică lungimea cuvântului înainte l. = 3.

Verificați: Am împărțit "colțul" 5 până la 24 și obținem: \u003d 0, 208 (3).

Răspuns:1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).

Exerciții pentru muncă independentă

156. Fracțiunile obișnuite de date înregistrate în sistemul zecimal, convertiți la fracțiuni zecimale. Dacă fracțiunea zecimală este periodică, atunci preliminar Găsiți numărul k. - lungimea și numărul perioadei L.- Durata dispoziției.

157. Fracțiunile obișnuite de date înregistrate în sistemul zecimal, convertiți la t.- fracțiuni sistematice oficiale. Găsiți numere k. - durata perioadei și l.- Durata dispoziției.

158 *. În ce număr de sistem (4 6) 10 este scris de aceleași numere, dar în

ordine inversă?

159 *. Ce este mai mult: unitatea din a 8-a categorie din sistemul binar sau unitatea din a 4-a categorie în sistemul 8-RICHE?

§ 10. Teorema Pascal. Semne de divizibilitate

Informații de bază din teorie

10. 1. Teorema Pascal. (1623 – 1662).

Numerele naturale sunt date: t\u003e1 și n înregistrat în sistemul t - fum:

, unde un i - - numere: A iÎ N,0 £ a I. £ t.–1 (i. = 0,1, 2,…, k.), t.Î N, t\u003e1.

Lasa n.= (un k un k - 1 … a. 1 a. 0) 10 = un k.× 10. K. +un k - 1 × 10. k - 1 +…+a. 1 × 10 + a. 0 , m.\u003d 3 I. m. = 9.

1) găsiți b I.: după modululm \u003d. 3 Modululm \u003d. 9

10 0 º1 (mod3), adică b. 0 \u003d 1, 10 0 0 º1 (MOD9), adică b. 0 =1,

10 1 º1 (mod3), adică b. 1 \u003d 1, 10 1 º1 (mod9), adică b. 1 =1,

10 2 º1 (mod3), adică b. 2 \u003d 1, 10 2 º1 (mod9), adică b.

De obicei, ca un sistem complet de deduceri prin modulul m. Au nevoie de deducerile cel mai puțin negative

0,1,...,m. − 1

sau cele mai mici deduceri constând din numere

,

În caz de ciudat m. și numerele

în caz de m. .

Vezi si

Literatură

• I. M. Vinogradov Fundamente ale teoriei numerelor. - M.-L.: STAT ed. Literatură tehnică și teoretică, 1952. - 180 p.

Fundația Wikimedia. 2010.

Urmăriți ce este un "sistem complet de deducere" în alte dicționare:

Prin modul M, orice combinație de numere întregi care conține într-un număr din fiecare clasă de numere de către modulul M (două numere întregi A și B aparțin unei clase de către modulul M, dacă un B este împărțit în m; vezi deducerea). Ca P. p. în. cel mai adesea… …

Prin modulul T, orice set de numere tantiamatice cu un modul. De obicei ca P. p. în. Cele mai mici deduceri non-negative 0, 1 sunt avantajoase în modul. . ., T 1 sau absolut mai mici deduceri constând din numere 0, +1 ,. . ., în ... ... ... Enciclopedia matematică

O parte din sistemul total de deducere (vezi sistemul complet de deducere), constând din numerele simple cu modulul M. P. s. în. Conține numere φ (m) [φ (m) numărul de numere, simple simple cu m și mai mici m]. Toate numerele φ (m), nu comparabile în modulul M și ... ... Enciclopedia sovietică mare

Compararea modulului numărului natural N în teoria numărului de echivalență pe inelul numerelor întregi asociate cu divizia pe N. Factorii acestei relații se numesc un inel de deduceri. O combinație de identități relevante și ... ... wikipedia

În teoria numerelor, comparația [clarifică] în modulul numărului natural al Nrului N specificat de un raport de echivalență pe o multitudine de numere întregi asociate cu o diviziune pe ea. Factorii spațiului din această relație se numește "inel ... ... Wikipedia

Sistemele de zăpadă simetrie sunt asociate cu un colț al colțului, grupul algebric de grup final de 60 ° conținând un număr finit de elemente (acest număr se numește comanda). Apoi, grupul se presupune că este multiplicativ, adică o operațiune în ... ... Wikipedia

Funcția, la Paradis poate fi reprezentată de o bară de putere. Exclude, importanța clasei A. F. Determinată de următoarele. În primul rând, această clasă este suficientă SH și R pe punctul de a: acoperă majoritatea funcțiilor găsite în principalele probleme matematice și ... ... Enciclopedia matematică

Conținutul: I. Educația publică primară deloc. II. Educația populară primară în străinătate: Austro Ungaria, Anglia, Belgia, Bulgaria, Germania, Olanda, Danemarca, Spania, Italia, Norvegia, Portugalia, România, Serbia, ... ... Dicționar enciclopedică f.a. Brockhaus și i.a. Efron.

- - Născut la 26 mai 1799 la Moscova, pe strada germană din Casa Skvortsova; A murit pe 29 ianuarie 1837 în St. Petersburg. Din partea părintelui Pușkin a aparținut vechii familii nobili, care se întâmpla, luând pedigrees, din stânga ... ... Enciclopedia biografică mare

O combinație de formule închise ale logicii predicatelor din prima etapă. E. T. T. (K) Clasa la sistemele de semnătură algebrică NAZ. O combinație a tuturor formulelor închise ale predicatelor din prima etapă a semnăturii adevărate pe toate sistemele din clasa K. Dacă clasa ... ... Enciclopedia matematică

Punctul 17. Sisteme de deducere complete și reduse.

În paragraful anterior sa remarcat faptul că atitudinea є M. comparabilitate pe un modul arbitrar m. Există un raport de echivalență pe o multitudine de numere întregi. Acest raport de echivalență induce împărțirea setului de numere întregi la clasele de elemente echivalente între ei, adică. Într-o clasă, numerele dând atunci când se împarte m. Aceleași rămășițe. Numărul clasei de echivalență є M. (Semnele vor spune - "Indicele de echivalență є M. ") Exact egal m. .

Definiție. Orice număr de clasă de echivalență є M. Să numim o deducere prin modul m. . O combinație de deduceri luate în funcție de una dintre fiecare clasă de echivalență є M. , numit sistemul complet de deduceri în modul m. (în întregul sistem de deduceri, deci toate m. bucăți de numere). Direct, rămâne înșiși atunci când se împart pe m. se numesc cele mai mici deduceri non-negative și, desigur, formează un sistem complet de deduceri prin modulul m. . Deducerea R este numită absolut cea mai mică dacă PRP este cea mai mică dintre e-mailurile de deduceri ale acestei clase.

Exemplu : Lasa m. \u003d 5. Atunci:

0, 1, 2, 3, 4 - cele mai mici deduceri non-negative;

2, -1, 0, 1, 2 - cele mai mici deduceri absolut mai mici.

Ambele seturi de numere date formează sisteme complete de deduceri în modul 5 .

Lemma 1. 1) m. bucăți în pereche nu este un modul comparabil m. Numerele formează un sistem complet de deducere după modulul m. .

2) Dacă dar și m. Reciproc simple și x. m. Apoi valorile formei liniare aX + B. Unde b. - orice număr întreg, de asemenea, rulați un sistem complet de deduceri în modul m. .

Dovezi. Approval 1) - Evident. Să dovedim afirmația 2). Numere aX + B. neted m. Piese Arătăm că nu sunt comparabile cu modulul m. . Bine, lăsați ceva diferit x 1. și x 2. Din sistemul complet de deduceri sa dovedit a fi aX 1 + B є AX 2 + B (MOD M) . Apoi, în funcție de proprietățile comparațiilor din elementul anterior, obținem:

aX 1 є AX 2 (MOD M)

x 1 є x 2 (mod m)

- contradicția cu faptul că x 1. și x 2. Diferite și luate din sistemul complet de deduceri.

Deoarece toate numerele din această clasă de echivalență sunt obținute de la un număr din această clasă adăugând numărul, mai multe m. apoi toate numerele din această clasă au cu un modul m. Același divizor cel mai mare comun. Pentru unele considerații, interesul crescut sunt acele deduceri care au un modul m. Cel mai mare divizor comun, egal cu unul, adică. Delecții care sunt simplu simple cu modulul.

Definiție. Sistemul redus de deduceri prin modulul m. Numit un set de toate deducerile din sistemul complet, simplu simplu cu modulul m. .

Sistemul redus este de obicei ales dintre cele mai mici deduceri ne-negative. Este clar că sistemul redus de deduceri în modul m. Conține j ( m.) bucăți de deduceri, unde j ( m.) - Funcția Euler este numărul de numere mai mici m. și reciproc simple cu m. . Dacă în acest moment ați uitat deja funcția lui Euler, uitați-vă la punctul 14 și asigurați-vă că a fost spus ceva acolo.

Exemplu. Lasa m. \u003d 42. Apoi, sistemul redus de deduceri este:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Lemma 2. 1) Orice j ( m.) numere, în perechi care nu sunt comparabile cu modulul m. și reciproc simple cu modulul formează sistemul redus de deduceri prin modulul m. .

2) Dacă (A, m) \u003d 1 și x. Rulează sistemul redus de deducere după modulul m. T. tOPOR. Sistemul redus de deduceri în modul m. .

Dovezi. Approval 1) - Evident. Să dovedim afirmația 2). Numere tOPOR. Parțial incomparabil (acest lucru se dovedește în același mod ca în Lema 1 din prezentul alineat), exact J ( m.) bucăți. De asemenea, este clar că toate acestea sunt reciproc simple cu modulul, pentru (a, m) \u003d 1, (x, m) \u003d 1 y (ax.m) \u003d 1 . Deci numerele tOPOR. Formează sistemul redus de deduceri.

Acestea sunt definițiile și proprietățile de bază ale sistemelor de deducere complete și reduse, totuși, există încă o serie de lucruri foarte interesante în bagajele cunoștințelor matematice. fapte utileprivind sistemele de deducere. Dacă aveți tendința de la ei în acest moment, este frică, va fi o încălcare directă a legii Federația Rusă Pe baza informației, a cărui lege, administrativ și, chiar, actul penal. În plus, fără a familiariza cu alte proprietăți importante ale sistemelor de deducere, paragraful 17 va fi foarte curat. Vom continua.

Lemma 3. Lasa m 1, M 2, ..., M K - parțial reciproc simple și m 1 m 2 ... m k \u003d m 1 m 1 \u003d m 2 m 2 \u003d ... \u003d m k k k Unde

1) Dacă x 1, x 2, ..., x k Rulați sisteme complete de deduceri după module m 1, M 2, ..., M K În consecință, valorile formei liniare M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m K x K Rulați deducerea completă a sistemului pe modul m \u003d m 1 m 2 ... m k .

2) Dacă x 1, x 2, ..., x k Sisteme de deducere în funcțiune pe module rulează m 1, M 2, ..., M K În consecință, valorile formei liniare M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m K x K Sistemul redus de deduceri din modulul funcționează m \u003d m 1 m 2 ... m k .

Dovezi.

1) Forma M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m K x K ia evident m 1 m 2 ... m k \u003d m Valori. Arătăm că aceste valori sunt incomparabile. Bine, să fie

M 1 x 1 + m2 x 2 + ... + M K x K є M 1 x 1 C + M 2 x 2 S + ... + M K x K S (MOD M)

Toate M J. , excelent DOMNIȘOARĂ. , Mai mult dOMNIȘOARĂ. . Scoaterea stânga și a dreptului în ultima comparație a componentelor, multiple dOMNIȘOARĂ. Vom primi:

M s x s є m s x s С (mod m s) y x s є x s s (mod m s)

- contradicția cu faptul că x S. Rulează un sistem complet de deducere după modulul dOMNIȘOARĂ. .

2). Forma M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m K x K acceptă, evident, J ( m 1.) j ( m 2.) H ... h j ( m k.) \u003d J ( m 1 m 2 h ... h m k) \u003d J ( m.) (Funcția umplativă multiplicativă!) Valori diferite care sunt între ele cu modulul m \u003d m 1 m 2 ... m k Parțial incomparabil. Acesta din urmă este ușor dovedit de raționament, similar cu argumentele realizate în dovada aprobării 1) a acestei lemma. La fel de ( M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + M K x K, M S) \u003d (M S X S, M S) \u003d 1 pentru fiecare 1 ј s ј k , atunci ( M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k, m s) \u003d 1 , prin urmare, o mulțime de valori de formă M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m K x K Formează sistemul redus de deduceri în modul m. .

Lemma 4. Lasa x 1, x 2, ..., x k, x rulați plin și x 1, x 2, ..., x k, x - Rulați deducerile reduse ale sistemului în module m 1, M 2, ..., M K și m \u003d m 1 m 2 ... m k În consecință, unde (M i m j) \u003d 1 pentru i № J. . Apoi Fracius. (x 1 / m 1 + x 2 / m 2 + ... + x k / m k) Coincid cu fracțiunile (X / m) , și Fraci. (x 1 / m 1 + x 2 / m 2 + ... + x k / m k) Coincid cu fracțiunile (X / m) .

Dovezi. Dovada ambelor afirmații ale LEMMA 4 se dovedește cu ușurință a fi aplicată prin Lemma anterioară 3 după ce dați fiecare sumă (x 1 / m 1 + x 2 / m 2 + ... + x k / m k) și (x 1 / m 1 + x 2 / m 2 + ... + x k / m k) La denominatorul general:

(x 1 / m 1 + x 2 / m 2 + ... + x k / m k) \u003d ((m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k) / m) ;

(x 1 / m 1 + x 2 / m 2 + ... + x k / m k) \u003d ((m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k) / m) ,

unde M J \u003d M 1 ... M J-1 M J + 1 ... M K .

Dacă acum iau în considerare acele părți fracționate ale numerelor obținute la împărțirea modulului m. Orice două numere comparabile cu modulul m. , la fel (sunt egale r / m. Unde r. - cea mai mică deducere non-negativă din această clasă), apoi aprobarea prezentului Lemma devine evidentă.

Restul acestui articol se va întâmpla cel mai interesant lucru - vom rezuma rădăcini complexe m. Gradul de la unitate, cu legăturile izbitoare dintre rădăcini, sistemele de deducere și funcția multiplicativă familiară a MBIus M ( m.) .

Denotă de e k k. rădăcină m- Oh grad de la unul:

Aceste forme de înregistrare a numerelor integrate ne amintim bine de la primul an. Aici k \u003d 0,1, ..., M-1 - rulează sistemul complet de deduceri din modul m. .

Permiteți-mi să vă reamintesc că suma e 0 + E 1 + ... + E M-1 Toate rădăcinile m. gradul de la unitatea egală cu zero pentru oricare m. . Într-adevăr, lasa e 0 + E 1 + ... + E M-1 \u003d A . Înmulțiți această sumă pe numărul non-zero E 1. O astfel de multiplicare este geometrică în planul complex înseamnă rotirea corectă m. "Ouăle, în vârfurile ale căror rădăcini sunt rădăcinile e 0, E 1, ..., E M-1 pe unghiul nonzero. 2 p / m . Este clar că, în același timp, rădăcina e 0. va merge la rădăcină e 1. , rădăcină e 1. va merge la rădăcină e 2. etc., și rădăcină e m-1 va merge la rădăcină e 0. . sumă e 0 + E 1 + ... + E M-1 Nu se va schimba. Avea e 1 A \u003d a Din! a \u003d 0. .

Teorema 1. Lasa m\u003e 0. - Integer. un O. Z. , x. Rulează un sistem complet de deducere după modulul m. . Apoi, dacă dar margine m. T.

altfel, când dar Nu multiplu m. ,

.

Dovezi. Pentru dar multist m. Avem: a \u003d MD. și

Pentru dar nu a fost împărțită de către m. , împărțiți numitorul și numitorul a / M. pe d. - cel mai mare divizor comun dar și m. , Primesc o fracție incomprehensibilă un 1 / m 1 . Apoi, în Lemma 1, a 1 X. va rula un sistem complet de deduceri prin modul m. . Avem:

pentru suma tuturor rădăcinilor gradului m 1. Din unitate este zero.

Să vă reamintim că rădăcina e k. m. gradul de la unul numit primitiv dacă indexul său k. Mutual simplu m. . În acest caz, așa cum sa dovedit în primul an, grade consistente e K 1, E K 2, ..., E K M-1 rădăcină e k. formează întreaga totalitate a rădăcinilor m. gradul de la unul sau, cu alte cuvinte, e k. este un element generat al grupului ciclic al tuturor rădăcinilor m. Gradul de la unul.

Evident, numărul de rădăcini primitive diferite m. gradul de la unul egal cu J ( m.), unde J este funcția Euler, deoarece indicele din rădăcinile primitive formează un anumit sistem de deducere prin modul m. .

Teorema 2. Lasa m\u003e 0. - Un număr întreg, X execută sistemul redus de deduceri în modul m. . Apoi (suma rădăcinilor primordiale ale gradului m.):

unde m ( m.) - funcția Mebius.

Dovezi. Lasa m \u003d P 1 A 1 P 2 A 2 ... P K A K - descompunerea canonică a numărului m. ; m 1 \u003d P 1 A 1 , m 2 \u003d P 2 A 2 , m 3 \u003d P 3 A 3 ; X I Rulează sistemul de deducere redus pe modul m I. . Avem:

Pentru a s \u003d 1 Se pare că numai rădăcina e 0 \u003d 1 Nu este primitiv, astfel încât suma tuturor rădăcinilor primitive este suma tuturor rădăcinilor minus una:

a devenit dacă m. fără pătrate (adică nu a fost împărțită în r2. , P. r\u003e 1.), T.

Dacă există vreun indicator la fel de. Mai multe unități (adică m. impartit de r2. , P. r\u003e 1.), apoi suma tuturor rădăcinilor de gradul original dOMNIȘOARĂ. Există suma tuturor rădăcinilor gradului dOMNIȘOARĂ. Minus suma tuturor rădăcinilor primitive, adică. toate rădăcinile unui anumit grad mai mic dOMNIȘOARĂ. . Este dacă m s \u003d p s m s * , atunci:

Acum, dragi cititori când am prezentat un număr destul de semnificativ de informații despre sistemele de deducere complete și reduse, nimeni nu ar fi capabil să mă învinovățească într-o încălcare rău intenționată a legii Federației Ruse pe informație prin intermediul acestuia, așa că am terminat acest lucru element cu satisfacție.

Etichetă

1 . Scrieți pe frunze toate cele mai mici deduceri non-negative și toate deducerile absolut mai mici a) modulo 6, b) Modulul 8. Mai jos, notați sistemele de deducere pentru aceste module. Desenați separat pe planul integrat al rădăcinilor a șasea și rădăcinilor din a opta grad de la unitate, pe ambele desene, să cedeze primele rădăcini și să-și găsească suma în fiecare caz. 2 . Lasa e. - gradul rădăcină pretențioasă 2N. De la unul. Găsiți suma: 1+ E + E 2 + ... + E N-1 . 3 . Găsiți suma tuturor rădăcinilor primitive: a) 15; b) 24; c) gradul 30 de la unul. 4 . Găsiți cantitatea de toate tipurile de lucrări de rădăcini primitive n. Diplomă de la unitatea a fost luată două. 5 . Găsiți suma k. grade de toate rădăcinile n. Gradul de la unul. 6 . Lasa m\u003e 1. , (A, m) \u003d 1 , b. - Integer. h. rulează plin și x este sistemul redus de deducere prin modul m. . Dovedește că: dar) b) 7 . Dovedește că: , unde r. Ea rulează toate dispozitivele simple ale numărului dar .

Definiție. Numerele formează un sistem complet de deduceri în modul, dacă orice număr întreg este comparabil cu modulul cu unul și numai unul dintre aceste numere.

Orice sistem complet de deducere în modul constă din numere care sunt în perechi nu sunt comparabile cu modulul.

Teorema. Lăsați - sistemul complet de deduceri din modul. Să fie un număr întreg, ușor de simplu. Apoi - și sistemul complet de deduceri din modulul.

Dovezi. Este necesar să se demonstreze că aceste numere sunt în perechi nu sunt comparabile cu modulul. Să presupunem urât. Lasa

Deoarece nodul, ceea ce este contrar stării.

Teorema. Lăsați - sistemul complet de deduceri din modul. Să fie un număr întreg. Apoi - și sistemul complet de deduceri din modulul.

Lemma. Dacă, atunci codul nodului.

Dovezi.

- Integer.

De aici. Orice divizor comun este un divizor. Prin urmare, codul nodului.

Definiție. Numerele formează un anumit sistem de deducere în modul, dacă acestea sunt simple reciproce cu și orice număr întreg, reciproc simple C, comparabil cu unul și numai unul dintre aceste numere de către modulul.

Exemplu. Sistemul redus de deducere Modulo 10: 1,3,7,9.

Lemma. Toate deducerile reduse ale sistemului din modul constau din același număr de numere care sunt indicate - funcția Euler.

Dovezi. Într-adevăr, lăsați să existe două deduceri reduse ale sistemului în modul constând dintr-un număr diferit de numere:

Apoi, deoarece numerele formează un anumit sistem de deducere în modul, fiecare dintre numere este comparabilă cu unul și unul dintre aceste numere. Deoarece, pe principiul Dirichlet, cel puțin două numere din partea vor fi comparabile cu un număr și, prin urmare, vor fi comparabile cu modulul. Și acest lucru contrazice care este sistemul redus de deduceri în modul. Asa de.

Acum dovedim asta. De fapt, numerele mai mici și simple C formează un anumit sistem de deducere după modulul. Aceasta rezultă din Lemma.

Definiție. Funcția Euler (sau Tootient) denotă numărul de numere mai mici și reciproc simple.

Teorema. Dacă acesta este sistemul redus de deduceri pentru modul și numărul, simplu simplu C, apoi și sistemul redus de deduceri în modul.

Dacă este simplu, atunci.

Lemma.Dacă este simplu, atunci.

Dovezi.Într-adevăr, numere mai mici decât simplu și având un divizor comun cu el, totul.

Lemma. Lăsați capul Atunci. Funcția lui Euler este multiplicativă.

Dovezi. Scriem toate numerele de la 1 la după cum urmează:

Numerele din fiecare rând formează un sistem complet de deducere după modulul. Deci, ușor de simplu, printre ei. În același timp, aceste numere sunt situate pe coloane - reciproc, deoarece în fiecare coloană există numere comparabile cu modulul.

Numerele din fiecare coloană formează un sistem complet de deducere după modulul. Într-adevăr, coloana se dovedește dacă luați numere care formează un sistem complet de deduceri în modul, înmulțiți-le cu numărul, reciproc simple C și adăugați la fiecare dintre ele.

Astfel, în fiecare coloană, numerele fără probleme, reciproc simple.

Deoarece numărul va fi simplu simplu de atunci și numai atunci când este reciproc pur și simplu c și reciproc pur și simplu C, atunci numărul de numere, reciproc simple C, egal.

Teorema. Lasa

Descompunerea canonică a numărului. Atunci

Dovezi. De Lemma despre animația funcției Euler

Exemplu.

Teorema (Euler). Dacă și - numere simple reciproc, atunci

Lăsați unii să-i dea un sistem de deducere al modulului. . Apoi - și sistemul redus de deduceri din modul. În consecință, fiecare dintre numerele primei secvențe este comparat cu unul dintre numerele celei de-a doua secvențe ale modulului, iar fiecare dintre numerele celei de-a doua secvențe este comparat cu unul dintre primele numere de secvență. Atunci

Deoarece fiecare dintre numere este pur și simplu cu, atunci pe ele o comparație poate fi tăiată:

Corolar. Lăsați - numeroasele - naturale. Dacă "nod, atunci.

Dovezi. Lasa . De atunci - un număr natural. Atunci

Inseamna .

88VOPROS.
Homotetic și aparență de spațiu

Homotetic cu centrul O. și coeficientul k. denota H K 0.

Proprietățile transformărilor homotelui și similitudinea spațiului sunt similare cu proprietățile homotelui și similitudinii planului, astfel încât studiul primului ar trebui să fie început cu repetarea celei de-a doua. Similitudinea spațiului cu un coeficient k. Este posibil să se descompună în compoziția mișcării și homotezului cu un anumit centru și același coeficient.

Elevii ar trebui să știe că, cu o astfel de conversie a spațiului, amploarea unghiului (plat și durban), paralel (perpendicular), ilospsurile directe sunt afișate în paralel (perpendicular) drept și plan. Aceasta înseamnă că, cu o astfel de conversie a spațiului, orice figură este o figură care are aceeași formă ca această figură, dar diferă de numai "în dimensiunile sale".

Sarcina 12. Dan corect tetraedru Ravox; Puncte R. 1 , DAR 1 , ÎN 1 , DIN 1 - Centrele fețelor sale (Fig.14). Dovedește că tetraedru R. 1 DAR 1 ÎN 1 DIN 1 similar cu tetraedra Ravox; Găsiți coeficientul acestei asemănări.

Decizie. Lăsați punctul N. și K. - marginile medii, respectiv Au. și Soare Tetrahedra. Ravox, punctul DAR 1 - margine centrală RV-uri., punctul R. 1 - margine centrală Abc. (Fig.14). Înseamnă că

R. 1: DAR 1 K. = AR. 1: R. 1 K. = 2: 1,

DAR 1 K. : Rk. = R. 1 K. : Ak. = 1: 3,

În mod similar, puteți dovedi acest lucru
1 în 1: Au. \u003d 1: 3 și 1 în 1 Au.,
A 1 C 1 : AC. \u003d 1: 3 și A 1 C 1 AC.,
În 1 s 1 : Soare \u003d 1: 3 și În 1 s 1 Soare,
În 1 p 1 : Bp. \u003d 1: 3 și În 1 p 1 Bp.,
C 1 P 1 : Cf. \u003d 1: 3 și C 1 P 1 Cf..
Din aceste relații între coastele tetraedrei Ravox și P 1 A 1 din 1 s 1 Rezultă că tetraedrul P 1 A 1 din 1 s 1 - Corect, astfel încât aceste tetraedre sunt similare; Raportul asemănător este de 1/3. (În clasele de profil, merită să dovedească faptul că aceste tetraedra sunt homotetice.)
Puteți introduce definiția: "Figura F 1. numită o figură similară F.Dacă există o conversie a asemănării spațiului care afișează figura F. pe figura F 1." Apoi, pentru dovezile similitudinii figurii F 1. FIGURA F. Este suficient să găsiți cel puțin o conversie Likea care este o figură F. Afișează pe figura F 1...

Definiție. Transferul paralel, sau, pe scurt, transferul cifrei se numește afișarea acestuia, în care toate punctele sale sunt deplasate în aceeași direcție la distanțe egale, adică Când transferați fiecare două puncte X și Y, astfel de puncte x "și y" sunt comparate, că xx "\u003d yy"

Proprietatea de transfer de bază:

Transferul paralel păstrează distanțele și instrucțiunile, adică X "y" \u003d xy

De aici se dovedește că transferul paralel este o mișcare care menține direcția și, dimpotrivă, mișcarea, care păstrează direcția, există un transfer paralel

Din aceste afirmații implică, de asemenea, că compoziția transferurilor paralele este un transfer paralel

Transferul paralel al cifrei este setat prin specificarea unei perechi de puncte adecvate. De exemplu, dacă este specificat, la ce punct a "acest punct a trecut, atunci acest transfer este setat de vectorul AA, ceea ce înseamnă că toate punctele sunt deplasate la același vector, adică. Xx "\u003d aa" pentru toate punctele x

Simetria centrală

Definiție

Punctele A și A sunt numite simetrice față de punctul o Dacă punctele A, a, o se află pe o linie dreaptă și ox \u003d boul. "Punctul O este considerat simetric cu el însuși (cu privire la O)

Două figuri se numesc simetrice față de punctul O, dacă pentru fiecare punct al unei singure figuri există o simetrică față de ea față de punctul din punct într-o altă figură și spate

Ca un caz special, cifra poate fi simetrică față de ea însăși la un punct O. Apoi acest punct o se numește centrul de simetrie al figurii, iar cifra este central simetrică

Definiție

Simetria centrală a figurii privind O se numește o astfel de mapare a acestei figuri, care compară fiecare punct al punctului său, simetric

Proprietatea de bază: Simetria centrală reține distanța, iar direcția se schimbă la opusul. Cu alte cuvinte, orice două puncte x și y Figurile F corespund unor astfel de puncte x "și y", că x "Y" \u003d -XI

Dovezi. Lăsați-o cu simetria centrală cu centrul în punctul de vedere al punctului X și Y au fost afișate pe X "și Y". Apoi, ca în mod clar de la definiția simetriei centrale, Ox "\u003d -Ox, Oy" \u003d -Oy

Cu toate acestea, XY \u003d Oy - Ox, X "Y" \u003d Oy "- Ox"

Prin urmare, avem: X "Y" \u003d -OO + OX \u003d -XI

De aici se dovedește că simetria centrală este o mișcare care schimbă direcția la opus și invers, mișcarea, schimbarea direcției la opusul, este simetria centrală

Simetria centrală a figurii este setată prin specificarea unei perechi de puncte existente: dacă punctul A este afișat pe un ", atunci centrul de simetrie este mijlocul segmentului AA"

Rotiți în jurul valorii de direct

Pentru o viziune mai clară a rotației din jurul direcției, ar trebui să vă amintiți pornirea planului în apropierea acestui punct. Prin întoarcerea planului în apropierea acestui punct, se cheamă o astfel de mișcare, în care fiecare fascicul care iese din acest punct este rotit de același unghi în aceeași direcție. Acum ne întoarcem la rândul său în spațiu

Definiție. O întoarcere a figurii din jurul liniei drepte A la un unghi (numit o astfel de cartografiere, în care în fiecare plan perpendicular pe direct A, există o întoarcere în jurul valorii de intersecția cu Direct A în același unghi (în același unghi aceeași direcție. Direct A se numește axa de rotație și un unghi - un unghi de rotație)

De aici vedem că rândul este întotdeauna așezat de axa, unghiul și direcția de rotație

Teorema 1. O rotație în jurul liniei drepte păstrează distanțele, adică. este motioning

Teorema 2. Dacă mișcarea spațiului are o multitudine de puncte fixe, este o întoarcere în jurul acestui drept

Planul de transformare

Clase de deduceri. Sisteme de deducere

Informații scurte din teorie

Prin aplicarea teoremei divizii cu reziduul, multe numere întregi pot fi împărțite într-un număr de clase. Luați în considerare un exemplu. Lasa m. \u003d 6. Apoi avem șase clase de divizare a multitudinii de numere întregi 6:

r. = 1;

r. = 2;

r. = 3;

r. = 4;

r. = 5;

unde prin r. a marcat echilibrul diviziunii unui număr întreg cu 6.

{!LANG-b8eb8d3ce3785b59a369f798529bcfc5!}

{!LANG-dbe8cecfc9336b53a2d2ff4face87920!}{!LANG-e345d9d36cbf2ab547e678070e88f0ad!} q. și r.{!LANG-4f0206a86f26601a6f77573a4399a00e!} {!LANG-aeda8554bb8fd1cc4327ca0bcfbbd746!}: .

{!LANG-99626e3e139fde47554fb246c9943f0c!} dar {!LANG-102b0b12591745990491f0f3b042a615!} q. și r. {!LANG-8190a8f80bc681a370e77835037b2a01!}

{!LANG-9add4908ab2e8412faa343d735cfbb07!} .

{!LANG-e913d6b016a0c50ab44c59fbf3c479de!} {!LANG-c7243bff2064bbeff92e1ce5dc7f969c!}

Lasa …, .

{!LANG-dda048fbea5c240d2d9550846581a034!} Z.{!LANG-7e43c228030dc6dc098707cf725b1780!}

{!LANG-1dad2d48a9d38996951ab758447cfdfe!} DAR pe {!LANG-44cdee98539fc743634de224dede1b50!}{!LANG-40f66ac76d1cd3b7b8902ad38e83764b!}

{!LANG-0c9c3ab73a238a109b8e400fe5f17c86!} {!LANG-3dbec1124b2e69d10461c719bef8cda2!}{!LANG-f075079515ecbbc06e59175c90cfb650!} n.{!LANG-02662b0cd9f77e00c8fdc59285a12e13!} n.{!LANG-7de765adb0a3471b3b4f5c0bee4c35ba!} n.{!LANG-66b8fcd6f3b91d4a51ab65191434fd33!} n.{!LANG-259375f89201b53abb44021971b29f79!}

{!LANG-2248b07e8f2e579f9b5428504f31831a!} a. și M. {!LANG-a9b40f22d70b8557991a342e0b776fb1!} q. {!LANG-59ded54bff7a5623e40bb99a8d3a9a02!} r. {!LANG-c8c1f9ed3f94ca390c2b57e034551d18!}

{!LANG-43ea98472114032431a1a37f0f8bb703!} {!LANG-f6bfff0ecc2a54d8772e667cb5526662!} r. {!LANG-d0e2cbfc0f5d27a1b91aa11930437dfb!} {!LANG-1fd355b9d99746c53fd08ce8b4c99282!} r. {!LANG-7e8da399049dc02cefa907f9d7db1a99!} {!LANG-b05c019c99217f597734611f32651e3d!}{!LANG-05b3d27d40be5e02fc63d4b308aa20dc!} m..

{!LANG-2d6db13ac6bd51a4f177692506c099e9!} m. {!LANG-1d61b03f8e938e44d520227e6fb5097a!} m. {!LANG-b259f45ab14338302cdbb72974ee81da!}

{!LANG-e4c29a4eb9e86dfaea63d94eaa29e8e3!} {!LANG-3b2902767ee8a5e40d5af10ef813b79c!} = 3	{!LANG-e4c29a4eb9e86dfaea63d94eaa29e8e3!} {!LANG-3b2902767ee8a5e40d5af10ef813b79c!} = 5
0 = 3 + 0	0 = 5 + 0
1 = 3 + 1	1 = 5 + 1
2 = 3 + 2	2 = 5 + 2
3 = 3 + 0	3 = 5 + 3
4 = 3 + 1	4 = 5 + 4
5 = 3 + 2	5 = 5 + 0
6 = 3 + 0	6 = 5 + 1
7 = 3 + 1	7 = 5 + 2

{!LANG-b43b555e6318e294645780d6aeb2506e!} r.=0 {!LANG-a45f4ceedc7e12ce7e0d67381660c00d!} m.{!LANG-43a6e655737f3584a9720e5ba4014f83!} {!LANG-d39faa470e39545b47c45d01c61c6528!} {!LANG-57f292c8771da4c7af5d246ab7a1020c!} m.{!LANG-ac256bfe87ea74fba2c44a87d5680c47!} {!LANG-d39faa470e39545b47c45d01c61c6528!} {!LANG-49e72be14da7c429c02b8e25526dafde!} m. a. {!LANG-244db6a33feb80b1450ae123a4d6ed0d!} q. și M. {!LANG-8cea76712af4f385453a1b9714dc9733!} {!LANG-d39faa470e39545b47c45d01c61c6528!} {!LANG-5156492bd27988c23a968c4eb854885f!} 1 a. și a. a. {!LANG-b06bf0e5b33076cdac69f6411b73a68b!} a. {!LANG-8cb51d8465254b140b5a6c8b72634978!} 1 și dar {!LANG-9c9e8d7c3d899cf4a4d629f8069f29e9!} {!LANG-4f9ad658d578bad5c44c6408e69e5ab0!} {!LANG-6301476de231d8d8dbfbef6f5ed07802!} dar {!LANG-ac982cd7a9587f2ab30fecc335b4ade2!} d. {!LANG-6f1c15ea5c783cd12aa37e9267212c5e!} a. și m. {!LANG-324c6ceb60082765e223b2fb05955fee!} {!LANG-192bf7bd1f256ae699e91223f990d1a5!} {!LANG-d4d680c9cadefeac57b2ee9df261c561!} {!LANG-8edde14964a10021fabb80e2d0eae5a2!} T. a. și m. {!LANG-f117184a6c4166be044f2d29f1e436ce!} 1 {!LANG-3a69761c0a1f1d1b0c5f2c0a0747690f!}

{!LANG-ae7b0e5ff62e6e8ef07468bec1d0d446!} {!LANG-b05c019c99217f597734611f32651e3d!}{!LANG-6931125d8ee1a88d2f29d967bea113d0!} {!LANG-9c951bc2731254f6944fa08ccdbdc84f!} {!LANG-c848f2f4ada30db10e3337a80e40513d!} {!LANG-4c5e08dc6b34db7d3037cc16dffd36ea!} {!LANG-e06c6eb499410761ee0b5e091ee06fc4!} {!LANG-b05c019c99217f597734611f32651e3d!}{!LANG-db8a33cb352211aa46d0b79853b9168e!}

{!LANG-51284bcff6de06f2c241399974d4cec8!} {!LANG-0c4d1fb326eda33c46462da224fb6bb5!} :

{!LANG-51284bcff6de06f2c241399974d4cec8!} {!LANG-0494888093ad0c0133bfab7aa9beaf71!} :

{!LANG-5333c7cc04c41bf426956e6c35edb4ff!} dar {!LANG-bb0fadeaa8c5fedfb62f73858049fe36!} m. {!LANG-9eac2e957d1d66f4409b6563f4b47726!} {!LANG-d51fdcc5f8ad3786f4ce79d3e24f143c!} r. {!LANG-9eb4d1cd083b242d04ba65ff32f8adab!} {!LANG-43ea98472114032431a1a37f0f8bb703!} {!LANG-1577cd51d0b329cbeee7947c0e01b05e!}

{!LANG-5333c7cc04c41bf426956e6c35edb4ff!} dar {!LANG-218e7f78a6bf90006cd5609fa1dcda24!} {!LANG-b54105b20f94819c704015653a2a70e2!}{!LANG-d7461c55e5d41eb15f3eaa7089ae4d2f!} M. {!LANG-9ed1f2045460a9e6b53166c7c801317d!} {!LANG-de5889ee8a7a883751ca12d2d03dcfb0!} {!LANG-ad645e8d0fbef9b381c249e0b4bbf743!} {!LANG-53873e7e957b80e70e6546d716328202!} {!LANG-59541b036fd7e553f653d821721a1b42!} {!LANG-0fb80a812346e6040f58250697729eef!} {!LANG-1dcf8c316aa6516b421c60e65b637d78!} {!LANG-4b138cc591c8fa56c371caf57749e603!}

{!LANG-de5889ee8a7a883751ca12d2d03dcfb0!} dar {!LANG-ddc7b5d698bb271d4963df5ebb4703e4!} [-( ,…,( ] {!LANG-6ac953f4e84f35da89c4b3eac2707631!} {!LANG-964296e3f7069e6199740d74aeb50351!} m. {!LANG-a80c0d7a6e2112266418e030ade681b9!} [- pentru {!LANG-34801c5e045f8c1b446ac529c0f89c37!} M. {!LANG-9b689b47cc102aa9e87a20acd02283d2!} {!LANG-b05c019c99217f597734611f32651e3d!}{!LANG-fa6c8de29c9ab0d38ed4ccd9ca39804f!} {!LANG-4b138cc591c8fa56c371caf57749e603!}

{!LANG-51284bcff6de06f2c241399974d4cec8!} m. {!LANG-90fdc8b26d2d3d18b42b41346a57bdb9!}

{!LANG-766abcad5a1bde091c07aecee5571be8!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-6cb71194ab09226c367e4985711fdad8!} 5 .

{!LANG-3b2a5ddeaf2dc58bf88c81eaafee0c2a!} {!LANG-d74d8525b278f7c51e9f3b29af27af53!}{!LANG-27b60f24e9eeee0a5d6d5a5465b30e5c!} m.

{!LANG-5d5182eda3e58da3c11d11bf4c9576b6!} {!LANG-d74d8525b278f7c51e9f3b29af27af53!}{!LANG-8cb0b7fbeb46523a14c84296b1c46d43!} M. {!LANG-b3c947b605b72d6b34373ea2051b1dcc!} m. {!LANG-1f1dfece67feb6949aefd45671c48478!} {!LANG-8276cb4af19b30d9928739527044d46c!} {!LANG-ace0c3885d7d7bfea2e833f073af0cc0!} {!LANG-11b9d4e8ca457c2f003ba3d787be32c1!}

{!LANG-ceac657d9ba17dfe6044b7e0c95bb3b8!}{!LANG-2328d12c18d8754daa0f4eb238549e30!} m. {!LANG-9994cb8b75b9ef8227e6253d854e7634!} m. {!LANG-b7bc008243110d982cd3dc7c462d98f5!} {!LANG-fa97683765f925bc49a0affd67891b8c!}{!LANG-f075079515ecbbc06e59175c90cfb650!} m.{!LANG-9dc767d6672b66646c70f0a998bed33d!} m.{!LANG-dbe9f20b91d1ee51f18ddc8d957eba34!}

Definiție.{!LANG-6be6fede3c70bf8e3761a714f94c8546!} {!LANG-f138b7ae6f3abce504235d6145bee962!}{!LANG-2c82819d836ffcb7511d77eb3d3c07c0!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-05b3d27d40be5e02fc63d4b308aa20dc!} m.{!LANG-8785fb1fd70f499539485446005c30d0!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-502f2a29fcb2bb9248a5bf9f5baaa2b1!} {!LANG-f138b7ae6f3abce504235d6145bee962!}{!LANG-6882a62308df34e37dcd0d65056a5ac7!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-6cb71194ab09226c367e4985711fdad8!} m.{!LANG-5a6c2f50d732c4162d9a51d0e0575cbb!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-9d9b58c2aa0fb11dc6658edbb4e59e3d!} m.{!LANG-6ec2baf5f2f0b1aab059020c91e0fcc0!} m.{!LANG-6db769f61d86bbcaec8fd7d1408770dc!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-b4304b6d574a2d3d9c8cf275e2f3a3b8!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-6cb71194ab09226c367e4985711fdad8!} m.. {!LANG-ccd5fe45652223f1f116760813787f32!}{!LANG-ba2c1c339800a976758aba7cbf4d5622!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-768e936935b88d954870cb6394698569!}

Exemplu{!LANG-fd63709180f65fb6f62bf0d9b6ea9d48!}

Decizie{!LANG-29f8df81909ac7891b35da5e6180dc90!} m.{!LANG-d990b09563685bc1134e324c75a1aa4f!} m..

{!LANG-e9eddbd811df6855ac689780df22dca5!}

{!LANG-50068b95c760008229ccc5317bee19b4!} {!LANG-43ea98472114032431a1a37f0f8bb703!} {!LANG-1577cd51d0b329cbeee7947c0e01b05e!}

{!LANG-bd147b70a71b0c0a85ac6873e2d3448a!}

{!LANG-b92177c97fb69a34c4c6fe33744f1ba7!}

{!LANG-15b1472707e354b4fbc5b215e2af3c0a!}

{!LANG-4d4ad24b9500f0a6f1a02191bb016f37!}

Exemplu{!LANG-e0cd7691f3fd437b891828575d1f4000!}

{!LANG-a9d9a7a66c194a0d039732c7511af318!}

{!LANG-3f4c5bdaf81af00e286fa5b11c45ca95!}

Exemplu.{!LANG-9e74ad48ee50473c16acb2b87f20295c!} (13, -13, 29, -9) {!LANG-bacc1b289e5614e4d6eef26a4b1d890e!}

{!LANG-9ba8450292f2118e7b8cdef339f7c99e!} m.{!LANG-10c5a20623a26719a25d537d1959678b!} {!LANG-0e29b182201d7e94588fd3bd3c59aefa!}{!LANG-a555dcc371942f046f525b445c3f3d54!}

{!LANG-bdc65a635a4fa8faa053299fb08e5a62!} a.{!LANG-b33e96c82af6870de54f842d75ddf16e!}

{!LANG-954433955be6267e3f55a498956169d2!} a.{!LANG-5f0a070f1106772a4d4d7542932d7aa3!}

{!LANG-c861287574c2c03825dd2ef25dc9487b!} a.{!LANG-f01bd1c5d7703c7cc32c17cea69e82d8!}

{!LANG-76cbb249b04d9f9c099e91dcd3fa72d2!} a.{!LANG-579170b7920fe6e6f35b6e7286883055!}

{!LANG-af1ad661f1cf1069161265fed5ac86a4!} a.{!LANG-60d41dd78a77358a56e251aa78c72399!}

{!LANG-dbc4815b17d48bea6e68160dd73d70ae!} a.{!LANG-a392b5908369368f6ea45d2836520755!}

{!LANG-f442bbbdbf872096d87aa16e5abef034!} a.{!LANG-25f4c563fbdb7dc197d4a7afdc4d32d8!}

{!LANG-a1453e039be901f34a0a710df27ae66e!} a.{!LANG-fe1bc2e13680a7323d4348f761e79ece!}

{!LANG-9a3d1863b9aaf6a0667bed5fdc40eeed!} a.{!LANG-bc406e331b713a25a23dbcf2857955aa!}

{!LANG-71ac29580a272df5a8e99910e1abab8e!} a.{!LANG-f2a36dc7dc29b57912d5a4b65e359e81!}

{!LANG-5c84f9d50edb1bd3288ebcf1a594befe!}