Введение. 6
Одноразовые платежи.. 7
1.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 7
1.2 ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ... 8
1.3 СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ... 10
1.3.1 Формула сложных процентов. 10
1.3.2 Определение будущей суммы.. 10
1.3.3 Определение текущей стоимости. Дисконтирование. 11
1.3.4 Определение срока ссуды (вклада) 12
1.3.5 Определение размера процентной ставки. 12
1.3.6 Номинальная и эффективная ставки. 13
1.4 НАЧИСЛЕНИЕ НАЛОГОВ И ПРОЦЕНТЫ... 14
1.5 ПРОЦЕНТЫ И ИНФЛЯЦИЯ.. 15
1.5.1 Основные понятия. 15
1.5.2 Учет инфляции. 16
Задачи. 18
Глава 2. 20
ПОСТОЯННЫЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ.. 20
2.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 20
2.2 БУДУЩАЯ СУММА ПРЕНУМЕРАНДО И ПОСТНУМЕРАНДО БЕЗ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ СУММЫ... 21
2.2.1 Рента пренумерандо. 21
2.2.2 Рента постнумерандо. 21
2.3 УРАВНЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ В ОБЩЕМ ВИДЕ.. 23
2.3.1 Определение будущей суммы.. 23
2.3.2 Определение текущей суммы.. 24
2.3.3 Определение периодических выплат. 24
2.3.4 Расчет срока ренты.. 25
2.3.5 Определение размера процентной ставки. 25
2.4 РЕШЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ФИНАНСОВЫХ ФУНКЦИЙ Excel 26
2.4.2 Вызов финансовых функций. 26
2.4.3 Вычисление будущего значения. 26
2.4.4 Расчет текущей суммы.. 27
2.4.5 Определение периодических выплат. 27
2.4.6 Расчет срока ренты.. 28
2.4.7 Определение размера процентной ставки. 28
2.5 ВЫБОР БАНКА КРЕДИТОВАНИЯ И СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА ПОГАШЕНИЯ КРЕДИТА 29
2.5.1 Постановка задачи. 29
2.5.2 Выбор банка кредитования. 29
2.5.3 План погашения кредита. 30
2.6 ВЫПЛАТЫ p РАЗ В ГОДУ, А НАЧИСЛЕНИЕ процентов m РАЗ В ГОДУ.. 32
2.7 ВЫБОР ИПОТЕЧНОЙ ССУДЫ... 34
Задачи. 36
Глава 3. 39
ОБЩИЙ ПОТОК ПЛАТЕЖЕЙ.. 39
3.1 ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ.. 39
3.2 РЕГУЛЯРНЫЕ НЕ ПОСТОЯННЫЕ ПЛАТЕЖИ.. 39
3.2.1 Постановка задачи. 39
3.2.2 Наращенная сумма не постоянной ренты.. 39
3.2.3 Дисконтированная сумма не постоянной ренты.. 40
3.2.4 Внутренняя норма доходности. 41
3.2.5 Дисконтный срок окупаемости инвестиционного проекта. 42
3.2.7 Сравнение эффективности двух инвестиционных проектов при платежах m раз в году 43
3.3 НЕРАВНОМЕРНЫЕ И НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ПОТОКИ.. 46
Сумма выплат, приведенная к моменту t 0 46
3.4 БУДУЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРИ ПЛАВАЮЩЕЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ.. 47
Задачи. 48
Глава 4. 50
ОПЕРАЦИИ С ВЕКСЕЛЯМИ.. 50
4.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 50
4.2 ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКЕ.. 50
4.3 УЧЕТ ВЕКСЕЛЕЙ ПО СЛОЖНОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКЕ.. 52
4.4 ВЕКСЕЛЯ И ИНФЛЯЦИЯ.. 53
4.4.1 Простая учетная ставка и инфляция. 53
4.4.2 Сложная учетная ставка и инфляция. 54
4.5 ОБЪЕДИНЕНИЕ ВЕКСЕЛЕЙ.. 55
4.5.1 Определение стоимости объединенного векселя. 55
4.5.2 Определение срока погашения объединенного вектора. 56
4.5.3 Объединение векселей с учетом инфляции. 57
4.6 ЭФФЕКТИВНОСТЬ СДЕЛОК С ВЕКСЕЛЯМИ.. 58
4.6.1 Эффективность сделок по простым процентам.. 58
4.6.2 Эффективность сделок по сложным процентам.. 59
Задачи. 60
Глава 5. 62
АМОРТИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ СРЕДСТВ И НЕМАТЕРИАЛЬНЫХ АКТИВОВ.. 62
5.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 62
5.2 ЛИНЕЙНЫЙ МЕТОД УЧЕТА АМОРТИЗАЦИИ.. 62
5.3 НЕЛИНЕЙНЫЙ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИ-ДЕГРЕССИВНЫЙ МЕТОД УЧЕТА АМОРТИЗАЦИИ 64
5.4 ФУНКЦИИ Excel ДЛЯ РАСЧЕТА АМОРТИЗАЦИИ.. 65
5.4.1 Линейный метод учета амортизации. Функции АМР. 65
5.4.2 Метод уменьшаемого остатка (геометрически - дегрессивный метод). Функция ДДОБ 66
5.5 СРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО МЕТОДА УЧЕТА АМОРТИЗАЦИИ С МЕТОДОМ УМЕНЬШАЕМОГО ОСТАТКА (Расчет в Excel) 66
Задачи. 68
Глава 6. 69
ЛИЗИНГ. 69
6.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 69
6.1.1 Финансовый (капитальный) лизинг. 70
6.1.2 Оперативный лизинг. 70
6.2 СХЕМА ПОГАШЕНИЯ ЗАДОЛЖЕННОСТИ ПО ЛИЗИНГОВОМУ КОНТРАКТУ.. 70
6.3 РАСЧЕТ ЛИЗИНГОВЫХ ПЛАТЕЖЕЙ ПО ПЕРВОЙ СХЕМЕ.. 71
6.3.1 Лизинговые платежи при линейном законе амортизации. 71
6.3.2 Лизинговые платежи с ускоренной амортизацией (метод уменьшаемого остатка) 73
6.4 РАСЧЕТ ЛИЗИНГОВЫХ ПЛАТЕЖЕЙ ПО ВТОРОЙ СХЕМЕ. 74
Следовательно, доход лизинговой компании. 75
6.5 РАСЧЕТ ЛИЗИНГОВЫХ ПЛАТЕЖЕЙ ПО ВТОРОЙ СХЕМЕ С ПОМОЩЬЮ Excel 76
6.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИНАНСОВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЛИЗИНГОВЫХ ОПЕРАЦИЙ.. 77
Задачи. 77
Список литературы.. 79
Введение
Финансовая математика является основой для банковских операций и коммерческих сделок. В предлагаемом пособии рассматривается начисление простых и сложных процентов при одноразовых платежах и потоках платежей, при постоянных и переменных рентах и ставках. Здесь излагается единый подход к решению широкого круга задач определения различных финансовых величин: будущей суммы сделки, текущей (дисконтированной) суммы, процентной ставки, выплат, срока сделки, ее эффективности и т. п. Учтено влияние инфляции на параметры финансовых операций. Формулы финансовой математики применяются в пособии для расчетов кредитных, депозитных, ипотечных операций, учетов векселей, для сравнения эффективности финансовых сделок. Чтобы были понятны операции по лизингу, в пособии излагаются различные методы учета амортизации.
Для изучения пособия достаточно знания школьной математики. Дан вывод всех формул.
По своей природе финансовые формулы, особенно для не постоянных и не равномерных платежей являются громоздкими, что затрудняет прямые расчеты по ним. Такие величины как процентная ставка или срок финансовой операции в общем случае не выражаются в явном виде. Для их определения необходимо решение нелинейного уравнения, например, методом итераций.
В Excel имеются встроенные финансовые функции, позволяющие легко вычислить все финансовые величины во многих практических случаях с помощью персонального компьютера. Поэтому в пособии подробно излагаются методы использования Excel для решения финансовых задач. Автор настоятельно рекомендует учащимся овладеть этими методами, чтобы в дальнейшем применять их в своей практической деятельности для анализа эффективности финансовых операций и работы своей фирмы.
В пособии приведено большое количество примеров, многие из которых представляют самостоятельную познавательную ценность. С целью закрепления теоретических знаний в конце каждой главы даны задачи для самостоятельной проработки.
Пособие "Финансовая математика" предназначено для заочников дистанционной формы образования, но может быть рекомендовано и студентам очной формы обучения по финансовым и экономическим специальностям. Пособие представляет практический интерес для работников банков, финансовых компаний, промышленных предприятий и коммерческих структур.
Принятая в пособии терминология может показаться непривычной для экономистов, воспитанных на книгах Е. М. Четыркина и его последователей. Например, процентная ставка обозначается у него буквой i (interest). Однако в математике буквой i принято обозначать целые величины (integer). Поэтому в пособии "Финансовая математика" введены обозначения, употребляемые в Excel и в .
Глава 1
Одноразовые платежи
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В основе всех финансовых расчетов лежит принцип временной ценности денег . Деньги - это мера стоимости товаров и услуг. Покупательная способность денег падает по мере роста инфляции. Это означает, что денежные суммы, полученные сегодня (обозначим их PV -present value- настоящее, текущее значение), больше, ценнее тех же сумм, полученных в будущем. Для того чтобы деньги сохраняли или даже наращивали свою ценность, нужно обеспечить вложение денег, приносящее определенный доход. Принято обозначать доход буквой I (interest), на финансовом и бытовом жаргоне его называют процентом.
Существует много способов вложения (инвестиции ) денег.
Можно открыть счет в сберегательном банке, но процент должен превышать темп инфляции. Можно одолжить деньги в виде кредита с целью получения в будущем, так называемой, наращенной суммы FV (future value - будущее значение). А можно инвестировать денежные средства в производство.
Простейшей финансовой операцией является однократное предоставление или получение суммы PV с условием возврата через время t наращенной (будущей) суммы FV. Сумму, которую получает дебитор (например, мы с Вами или фирма), будем считать положительной, а ту, которую отдает кредитор (опять же мы с Вами или банк) - отрицательной.
|
Эффективность такой операции характеризуется темпом прироста денежных средств, отношением r (rate-отношение) дохода I к базовой величине PV, взятыми по абсолютной величине.
. (1.1)
Темп роста капитала r за время t выражают десятичной дробью или в процентах и называют процентной ставкой , нормой доходности или скоростью оборота денежныхсредств за это время.
Поскольку PV и FV имеют противоположные знаки, то настоящее и будущее значения связаны соотношением (назовем его уравнением эквивалентности)
FV+ PV (1+r)= 0, (1.2)
где r - процентная ставка за время t.
Величину К, показывающую, во сколько раз будущая сумма возросла по абсолютному значению по отношению к текущей
К= FV/ PV=(1+r), (1.3)
называют коэффициентом наращения капитала .
В расчетах, как правило, за r принимают годовую процентную ставку , ее называют номинальной ставкой.
Существуют две схемы наращения капитала:
· схема простых процентов;
· схема сложных процентов.
ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ
Схема простых процентов предполагает неизменность суммы, на которую происходит начисление процентов . Простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях (со сроком менее периода начисления процентов) или когда проценты периодически выплачиваются и не присоединяются к основному капиталу.
Рассмотрим два вида вклада: постой и срочный.
1) По простому вкладу (деньги по такому вкладу можно снять в любой момент) за t дней будет начислено
| |
FV+ PV (1+ r)= 0 (1.4)
где Т - число дней в году. Коэффициент наращения при этом
В зависимости от определения Т и t применяют следующие методики.
1. Точные проценты . В России, США, Великобритании и во многих других странах принято считать Т =365 в обычном году и Т =366 - в високосном, а t -число дней между датой выдачи (получения) ссуды и датой ее погашения. Дата выдачи и дата погашения считаются за один день.
2. Банковский метод . В этом методе t определяется как точное число дней, а число дней в году принимается за 360. Метод дает преимущества банкам особенно при выдаче кредита на срок более 360 дней и широко используется коммерческими банками.
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней . В некоторых странах, например во Франции, Бельгии, Швейцарии принимают Т =360, а t -приближенным, так как считается, что в месяце 30 дней.
|
||
2) По срочному вкладу
(деньги кладутся в банк на определенный срок: полгода, год или другой) проценты начисляются через определенные периоды. Обозначим
m -число периодов в году.
m =12 - при ежемесячном начислении процентов;
m =4 - при ежеквартальном начислении;
m =2 - при начислении раз в полугодие;
m =1 - при начислении раз в год.
| |
FV + PV (1+ )= 0 (1.5)
Коэффициент наращения
Определим наращенную сумму
По формулам (1.2)-(1.5) можно решить обратную задачу : какую первоначальную сумму PV нужно дать в долг или положить в банк, чтобы по истечении срока получить сумму FV при заданной годовой процентной ставке r.
Получатели поступлений оценивают свой доход суммарной величиной за полный срок действия платежа, разумеется, с учетом временной неравноценности денег.
Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п.
Логика финансовой операции наращения финансовой ренты
Наращенные отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным (1 + i ).
Рассмотрим определение наращенной суммы на примере наиболее простого случая, – годовой постоянной обычной ренты:
где FVA – наращенная сумма ренты;
R – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа;
i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;
n – срок ренты в годах,
s n;i – коэффициент наращения ренты.
Пример. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.
Решение:
Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.
Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:
Расчет современной стоимости постоянной годовой ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % один раз в год.
Помимо наращенной суммы обобщающей характеристикой потока платежей является современная величина. Современная (текущая) величина потока платежей (капитализированная или приведенная величина) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов. Это важнейшая характеристика финансового анализа, т.к. является основой для измерения эффективности различных финансово-кредитных операций, сравнения условий контрактов и т.п. Данная характеристика показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было бы получить указанную наращенную сумму.
Логика финансовой операции определения современной величины потока платежей
В этом случае реализуется схема дисконтирования: все элементы с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, что позволяет их суммировать.
В простейшем случае, для годовой обычной ренты с выплатами в конце каждого года, когда момент оценки совпадает с началом ренты, современная величина финансовой ренты равна:
Дробь в формуле – коэффициент приведения ренты (a n;i ), значения которого табулированы для широкого круга значений, поскольку зависят от ставки процентов (i ) и от числа лет (n ) (Приложение 5).
Пример. Определить по данным примера современную величину ренты.
Решение:
Современная величина ренты составит:
Таким образом, все производимые в будущем платежи оцениваются в настоящий момент в размере 1"217,78 руб.
16. Расчет наращенной суммы постоянной p -срочной ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % m раз в год (p = m )
Бывают случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в год равными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году. Тогда наращенная величина ренты будет определяться по формуле:
Также нередки случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в году и начисление процентов также происходит несколько раз в год, но число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов, т.е. p ≠ m . Тогда формула по которой можно определить наращенную величину финансовой ренты примет вид:
На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учета принято подводить итоги и оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что же касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравномерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки.
Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.
Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i ) раз.
Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентом один раз в год формула примет вид:
Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов несколько раз в год:
Расчет современной стоимости постоянной p-срочной ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % m раз в год (p=m).
Рассмотрим расчет современной величины ренты для различных ее видов:
годовая рента с начислением процентов несколько раз в год:
срочная рента при начислении процентов один раз в год:
срочная рента с неоднократным начислением процентов в течение года, при условии, что число выплат не равно числе начислений, т.е. p ≠ m :
17. Определение размера очередного платежа постоянной финансовой ренты ПОСТНУМЕРАНДО (p = m =1)
Последовательные платежи в виде постоянной обычной годовой ренты определяются основными параметрами:
R – размер платежа;
n – срок ренты в годах;
i – годовая ставка процентов.
Однако при разработке условий финансовой операции могут возникать ситуации, когда заданной величиной является одна из двух обобщающих характеристик и неполный набор параметров ренты. В таких случаях находят недостающий параметр.
При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от того, какая величина является исходной:
а) наращенная сумма . Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем (FVA ), тогда величину последующих взносов в течение n лет при начислении на них процентов по ставке i можно определить по формуле:
Пример. Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 50 тыс. руб. Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 40%.
Решение:
В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому размер ежегодных взносов будет равен:
Таким образом, чтобы накопить на счете необходимую сумму для покупки автомобиля следует в конце каждого года в течении пяти лет откладывать 4"568 руб.
б) современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле:
Пример. Сумма 10 тыс. долларов предоставлена в долг на 5 лет под 8% годовых. Определить ежегодную сумму погашения долга.
Решение:
Известна современная величина долга, отсюда:
Таким образом, ежегодно необходимо будет возвращать сумму 2"504,56 руб.
Можно произвести проверку: сумма долга с начисленными на нее процентами к концу пятого года будет составлять:
FV = 10"000 (1 + 0,08) 5 = 14"693,28 руб.
Наращенная сумма для потока платежей размером 2"504,56 руб. составит:
Следовательно, величина члена финансовой ренты определена верно. Незначительное расхождение вызвано округлением расчетов.
Современная величина ренты пренумерандо рассчитывается путем умножения современной величины обычной ренты на соответствующий множитель наращения.
Формулы наращенной суммы
Рассмотрим наращение для различных случаев начисления рент.
1. Обычная годовая рента.
Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в год по ставке i . В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины так как на сумму R проценты начислялись в течение(п - 1) года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются.
Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии
в которой первый член равен R , знаменатель (1+ i ), число членов п. Эта сумма равна
(1)
где
(2)
называетсякоэффициентом наращения ренты . Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки i .
Наращенная сумма ренты пренумерандо в (1 + i ) раз больше постнумерандо и при m = p =1
(3)
Пример 1.
Для создания пенсионного фонда в банк ежегодно выплачивается рента постнумерандо в размере 10 млн. р.. На поступающие платежи начисляются проценты по сложной годовой ставке 18%. Определить размер фонда через 6 лет.
Решение.
По формуле (1) имеем:
млн. р.
Ответ. Пенсионный фонд через 6 лет будет составлять 99,42 млн. р.
2. Годовая рента, начисление процентов m раз в году.
Пусть платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют т раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j / m , где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид
Если прочитать предыдущую строку справа налево, то получимгеометрическую прогрессию, первый членом которой R, знаменатель (1+ j / m ) m , число членов п. Сумма членов этой прогрессии будет наращенной суммой ренты. Она равна
(4)
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле
(5)
Пример 2.
В условиях примера 1 принять, что проценты банком начисляются ежеквартально по номинальной ставке 18% годовых. Сделать вывод, какой вариант начисления процентов выгоден кредитору.
Решение.
По формуле (4) имеем
= 97, 45 млн. р.
Ответ. Кредитору выгоден вариант примера 2.2., чтобы на ренту начислялись проценты ежеквартально, при этом размер фонда будет составлять 97,45 млн. р.
3. Рента p -срочная, m = 1.
Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года.
Если R - годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R / p . Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,
у которой первый член R / p , знаменатель (1+ i ) 1/ p , общее число членов пр. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии
(6)
где
(7)
коэффициент наращения р-срочной ренты при m = 1.
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:
(8)
Пример 3.
Господин Иванов вносит в банк в конце каждого месяца по 500 р.. На поступающие суммы платежей начисляются сложные проценты по годовой процентной ставке22%. Определить размер начисленной суммы через 8 лет.
Решение.
По форомуле (6) найдем размер начисленной суммы:
S = 500 [ (1 + 0,22) 8 - 1 ] / [ (1 + 0,22) 1/8 - 1 ] = 52,806 тыс. р.
Ответ. Размер начисленной банком суммы господину Иванову через 8 лет составит 52,806 тыс. р.
4. Рента p -срочная, р = т.
В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей р в году и число начислений процентов т совпадают, т.е. р = т . Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы воспользуемся аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой
Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом, получаем
(9)
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:
(10)
Пример 4.
Господин Петров должен отдать долг в размере 200 тыс. р. Для того, чтобы собрать эту сумму он планирует в течение 3-х лет в конце каждого полгода вносить в банк одну и ту же сумму и на нее каждые полгода начисляются сложные проценты по годовой ставке 15%. Какова должна быть величина вносимых господином Петровым полугодовых вкладов при полугодовом начислении процентов?Рассмотреть случай, когда в банк вносится сумма один раз в конце каждого года и начисление процентов производится по той же сложной процентной ставке.
Решение.
Из(9) найдем сумму (R ), которую необходимо вносить в банк каждые полгодапри полугодовом начислении сложных процентов:
R = S j / [ (1 + j/m ) mn - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15/ 2) 2 × 3 - 1 ] = 55,228 тыс. р.
Из формулы (1) найдем сумму, которую необходимо вносить в банк каждый год при годовом начислении сложных процентов:
R = S j / [ (1 + j ) n - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15) 3 - 1 ] = 57,692 тыс. р.
Ответ. Господину Петрову необходимо вносить в банк каждые полгода иполугодовом начислении сложных процентов сумму, равную 55,228 тыс. р. и сумму в 57,692 тыс. р. при ежегодном вкладе и годовом начислении сложных процентов. Первый вариант вклада для него более выгоден.
5. Рента р -срочная, p ³ 1 , m ³ 1.
Это самый общий случай р -срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем, возможно р ¹ т.
Первый член ренты R / p , уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами
Число членов п p . В результате получаем наращенную сумму
(11)
Наращенная сумма ренты пренумерандо определяется по формуле:
(12)
Пример 5.
Предприятие создает страховой фонд, для чего направляет в банк платежи в размере 100 тыс. р. в конце каждых 4-х месяцев, начислениесложных процентов банк производит 1 раз в полгода по годовой ставке 18%. Определить размер страхового фонда через 10 лет.
Решение.
По формуле (11) найдем:
тыс.руб.
Ответ. Размер страхового фонда предприятия через 10 лет составит 7790,86тыс.р.
. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые про центы на один период начисления ( running period ). Присоедине ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.
Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про центам:
P - первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита ла и т.д.),
S - наращенная сумма на конец срока ссуды,
п - срок, число лет наращения,
i - уровень годовой ставки процентов, представленный де сятичной дробью.
Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Р i , а наращенная сумма составит. К конц у второго года она достигнет величины В конце n -го года наращенная сумма будет равна
(4.1)
Процентыза этот же срокв целом таковы:
(4.2)
Часть из них поучена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет
(4.3)
Как показано выше, рост по сложным процентам представ ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р , а знаменатель – . Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.
Величину называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).
Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет ся как АСТ/ A СТ.
Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров - i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.
Формула наращения по сложным процентам получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле ния. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), а n – число таких периодов. На пример, если i –ставка за полугодие, то п – число полугодий и т.д.
Формулы (4.1) - (4.3) предполагают, что проценты на про центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i а проценты на проценты – по ставке В этом случае
Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем. В итоге имеем
(4.4)
· Пример 4.1
2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз никает задача распределения начисленных процентов по периодам.
Общий срок ссуды делится на два периода n 1 и n 2 . Соответственно ,
где
· Пример 4.2
3. Переменные ставки. Формула предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать “классическую” схему, например, с помощью применения плавающих ставок ( floating rate ). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело - расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.
(4.5)
где - последовательные значения ставок; - периоды, в течение которых “работают” соответствующие ставки.
· Пример 4.3
4. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется по формуле:
(4.6)
Второй, сме шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:
,(4.7)
где – срок ссуды, а - целое число лет, b - дробная часть года.
Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио дом начисления является полугодие, квартал или месяц.
При выборе
метода расчета следует иметь в виду, что мно
житель наращения по смешанному методу
оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п
<
1 справедли
во соотношение 
Наибольшая разница наблю дается при b = 1/2.
· Пример 4.4
5. Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная база для начисленияодна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:
1) для срока меньше года простые проценты больше сложных
2) для срока больше года
3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу
Используя коэффициент наращения по простыми сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличенияпервоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что быкоэффициенты наращениябыли равны величине n :
1) для простых процентов
2) для сложных процентов
Формулы дляудвоениякапитала имеют вид:
Под наращенной суммой долга (ссуды, депозита и т.д.) понимают первоначальную сумму с начисленными процентами к концу срока. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной:
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки - «плавающие» ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется из выражения
Пример. Кредитный договор предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года:
В практических задачах иногда возникает необходимость в решении вторичных задач - определении срока наращения или размера процентной ставки в том или ином ее виде при всех прочих заданных условиях.
Продолжительность срока наращения в годах или днях может быть определена из решения уравнения:
Пример. Определим продолжительность займа в днях, для того чтобы долг, равный 1 млн руб., вырос до 1,2 млн руб., при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (К = 365 дней).
Аналогично может быть определена величина процентной ставки. Такая необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении доходности заемной операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны. Аналогично первому случаю получаем
Пример. В договоре займа предусматривается погашение обя-зательства в сумме 110 млн руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга - 90 млн руб. Необходимо определить доходность заемной операции для заимодавца в виде годовой ставки процента. Получаем
В случае использования «плавающих» ставок сложных процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле
Поскольку множитель наращения при простых и сложных ставках различен, то наблюдается следующая закономерность.
Если срок наращения меньше года, то
Проценты могут начисляться (капитализироваться) не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, месяцам и
Графически такая ситуация показана на рис.
т.д. Поскольку в контрактах, как правило, оговаривается годовая ставка, то формула наращения по сложным процентам имеет вид:
Пример. Первоначальная сумма в 1 млн руб. помещается на депозит на 5 лет под сложные проценты при годовой ставке 20%. Проценты начисляются поквартально. Рассчитаем наращенную сумму:
Очевидно, чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.
При разработке условий кредитных операций с использованием сложных процентов часто приходится решать обратные задачи - расчета продолжительности займа или кредита (срока наращения) либо процентной ставки.
При наращении по сложной годовой ставке и по номинальной ставке получаем
Пример. Определим, за какой срок (в годах) сумма, равная 75 млн руб., достигнет 200 млн при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в год и поквартально:
Величина процентной ставки при наращении по сложным процентам будет определяться по уравнениям
Пример. Вексель куплен за 100 тыс. руб., выкупная сумма - 300 тыс. руб., срок 2,5 года. Определить уровень доходности. Получаем
Пример. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15% годовых: для простых процентов получаем
Еще по теме 4.3. Наращенная сумма:
- Раздел 1 "Сумма налога (сумма авансового платежа по налогу), подлежащая уплате в бюджет по данным налогоплательщика"
