Формулы пренумерандо и постнумерандо. Анализ денежных потоков: постнумерандо, пренумерандо. Оценка аннуитетов. Где применяются срочные аннуитеты

Различие между потоками пост и пренумерандо заключается в том что финансовые расчеты сдвинуты на один цикл и это приводит к дополнительному однократному начислению процентов (1+r) иными словами схема потока пренумерандо более выгодно для накопления денежных средств, логика оценки денежного потока пренумерандо аналогично логике оценки потока постнумерандо, прямая задача формула расчета будущей стоимости пред потока пренумерандо будет иметь вид FV = PV pre *(1+r)

Обратная задача формула расчета приведенной стоимость пренумерандо будет иметь вид PV pre = FV pst *(1+r) так если в предыдущем примере предположить исходный поток представляет собой поток пренумерандо т.е. регулярные доходы по ц.б. будут выплачиваться не в конце а в начале периода то его дисконтированная стоимость будет равна PV pre = 44,97* 1,12=50,37

=6= оценка аннуитетов

Аннуитет это частный случай денежного потока в котором денежные поступления в каждом периоде одинаковы по величине (А). аннуитеты могут быть срочными и бессрочными если число равных временных интервалов ограничено то такой аннуитет называется срочным, если не ограничено то бессрочным. Согласно видам денежных потоков выделяют два типа аннуитетов и постнумерандо и пренумерандо. Примеров срочного аннуитета постнумерандо может служить регулярное поступления арендой платы в одинаковом размере если договором аренды предусмотрена оплата по истечении каждого периода. Примером срочного аннуитета пренумерандо могут быть периодические денежные вклады на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления средств для крупной покупки

Т.к. в формулах оценки денежных потоков рассмотренных ранее одинаковые денежные поступления А могут быть вынесены за знак суммы формулы оценки аннуитетов значительно упрощаются

формула 1 FV apst = k (A)*(1+r) t-k =A* t-k

т.к. аннуитет как вид денежного потока характеризуется одинаковыми временными интервалами и одинаковой величиной элементов денежного потока целесообразно математически преобразовать второй множитель данной формулы без выделения периодов (К)

будущая стоимость аннуитета постнумерандо определяется по

формуле 2 FA apst =

второй множитель можно определить расчетным путем, а можно воспользоваться финансовыми таблицами. В таблицах данный множитель носит название мультиплицирующего множителя для аннуитета FM3(r:t) формула 3 FA apst = A*FM3 (r;t)

будущая стоимость аннуитета пренумерандо определяется по

формуле 4 FV apre = A*FM3 (r;t)*(1+r)

пример организации предложили сдать в аренду оборудование на 5 лет и выбрать один из вариантов оплаты

а) 12 т.р. ежегодно

б) 85 т.р. в конце 5го срока

какой вариант выгоднее если банк предлагает 20% годовых по вкладам

условие А=12 t =5 r=0,2

А)решение FV apst =F*FV apst (0,2;5)

FV apst = 12*7,442=89,3

2. Обратная задача (с позиции дисконтирования)

Путем аналогичного преобразования формула оценки дисконтированного денежного потока упрощается в формулы оценки дисконтированного аннуитета в постнумерандо и пренумерандо.

формула 5 PV apst = A* или PV apst =A*FM4 (r:t)

Второй множитель данной формулы можно определить расчетным путем а можно воспользоваться финансовыми таблицами. В таблицах данный множитель носит название дисконтированного множителя аннуитета FM4(r;t)

Дисконтированная стоимость аннуитета пренумерандо определяется по формуле 6 PV apre = PV apst *(1+r) на практическом примере дать оценку дисконтированной стоимости аннуитета можно с помощью метода депозитной книжки

=7= метод депозитной книжки

Расчет текущей стоимости аннуитета с помощью метода депозитной книжки заключается в том что сумма положенная на депозит приносит доход в виде процента и при снятии с депозита некоторой суммы базовая величина с которой начисляются проценты уменьшается. Текущая стоимость аннуитета это величина депозита с общей суммой причитающихся процентов ежегодно уменьшающаяся на равные суммы величина годового платежа остается неизменной (а аннуитет) его структура постоянно меняется. Если в начальные в нем преобладают начисленные за очередной период проценты, то с точением времени доля процентных платежей уменьшается и повышается доля части погашаемого основного долга. Логику и счетные процедуры метода рассмотрим на примере.

Пример: Предприятие получена ссуда сроком на 5лет в сумме 450 т.р. под 14% годовых которая начисляется по схеме сложных процентов на не погашенный остаток возвращать долг необходимо равными суммами в конце каждого года. Определить величину годового платежа А.

Решение: для лучшего понимания метода целесообразно рассуждать с позиции кредитора для банка данная сумма представляет собой отток денежных средств. В дальнейшем в течении 5лет банк ежегодно будет получать в конце года сумму годового платежа (А) в данной постановке задачи мы имеем дело с оценкой дисконтированной стоимости аннуитета постнумерандо о котором известны его текущая стоимость (PV apst), процентная ставка (r) и продолжительность действия (t) подставляем данные в формулу дисконтированной стоимости аннуитета постнумерандо

PV apst =A*FM4(0,14;5) 450т.р.=А*3,433 отсюда сумма годового платежа равна А=450/3,433=131,08

Для наглядности динамику платежей предоставим в таблице

Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют различные формулы финансовой математики , в том числе и расчет будущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо.

Постнумерандо - поступления выплат происходят в конце периода.

денежный поток , состоящий из одинаковых по величине выплат и существующий определенное время можно пересчитать в будущую стоимость, суммировав все наращенные выплаты с учетом условия постнумерандо.

Наращение - финансовая операция, при которой происходит расчет будущей стоимости сегодняшней инвестиции при заданном сроке и процентной ставке .

Формула будущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо:

FV - будущая стоимость;

r - процентная ставка , долей единиц;
n - количество лет.

FV = 100 * ((1 + 0,12) 5 + (1 + 0,12) 4 + (1 + 0,12) 3 + (1 + 0,12) 2 + (1 + 0,12)) = 635 рублей.

Планируемая к получению сумма, при вышеприведенных условиях, составит 635 рублей.

Рис. 1. График будущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо ссудного процента 4, 12, 20, 28% годовых

Будущая стоимость срочного аннуитета пренумерандо

Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют различные формулы финансовой математики , в том числе и расчет будущей стоимости срочного аннуитета пренумерандо.

Пренумерандо - поступления выплат происходят в начале периода.

Сущность расчета заключается в том, что денежный поток , состоящий из одинаковых по величине выплат и существующий определенное время можно пересчитать в будущую стоимость, суммировав все наращенные выплаты с учетом условия пренумерандо.

Формула приведенной стоимости срочного аннуитета пренумерандо:

FV - будущая стоимость;
A - величина равномерного поступления;
r - процентная ставка , долей единиц;
n - количество лет.

FV = 100 * (1 + 0,12) * ((1 + 0,12) 5 + (1 + 0,12) 4 + (1 + 0,12) 3 +...
+(1 + 0,12) 2 + (1 + 0,12)) = 711,51 рублей.

Рис. 2. График будущей стоимости срочного аннуитета пренумерандо ; конечные стоимости при ежегодных поступлениях 1000 руб. и ставки ссудного процента 4, 12, 20, 28% годовых

На тему этой методики существуют примеры

Тема 8. ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ

1. Оценка постоянного аннуитета пренумерандо.

2. Метод депозитной книжки.

3. Бессрочный аннуитет.

4. Непрерывный аннуитет.

Если на денежные поступления начисляются только сложные проценты, то соответствующие расчетные формулы для наращенных сумм аннуитета пренумерандо можно легко вывести из формул (7.7), (7.11), (7.12), (7.14). Поскольку денежные поступления в аннуитете пренумерандо происходят в начале каждого периода, то этот аннуитет отличается от аннуитета постнумерандо количеством периодов начисления процентов.

Например, для срочного аннуитета пренумерандо с регулярными денежными поступлениями, равными А , и процентной ставкой , наращенный денежный поток имеет вид

следовательно, учитывая (7.7),

т.е. наращенная сумма (будущая стоимость) аннуитета пренумерандо больше в раз наращенной суммы аннуитета постнумерандо.

Аналогичным образом для аннуитета пренумерандо с начислением процентов раз в течение базового периода, используя (4.11), получим:

(7.32)

Для р -срочных аннуитетов с учетом (4.12), (4.14) можно написать следующие соотношения:

(7.33)

(7.34)

Конечно, (7.31) - (7.33) являются частными случаями (7.34). Из формулы (7.34) следует, что . Финансовый смысл этого неравенства очевиден: для получателя денежные поступления пренумерандо выгоднее, так как они начинаются на период раньше, чем постнумерандо, т.е. подтверждается временная ценность денег: деньги "сейчас" предпочтительнее, чем "потом".

Несколько иной будет ситуация в р -срочном аннуитете пренумерандо, когда на взносы, поступающие в течение базового периода, начисляются простые проценты. В отличие от аннуитета постнумерандо в этом аннуитете в каждом периоде любой взнос "действует" еще ю) часть периода, тем самым доставляя к концу периода дополнительную величину. Следовательно, к концу каждого периода взносы, число которых равно р , доставят величину .

После таких рассуждений качественного характера выведем аналитически формулу для будущей стоимости .

На последнее р -е поступление начисляются простые проценты за ю) часть периода, и оно будет равно , предпоследнее -е поступление станет равным и т.д. до первого поступления, которое станет равным . Следовательно, сумма этих величин, образующих арифметическую прогрессию, равна:

Таким образом, используя (7.13), получим:

С финансовой точки зрения эта формула следует из приведенных качественных рассуждений. Поскольку к концу каждого периода взносы доставляют дополнительную величину , то к будущей стоимости исходного аннуитета постнумерандо нужно прибавить еще будущую стоимость аннуитета постнумерандо с денежными поступлениями, равными , а это и есть второе слагаемое в формуле (7.35). Естественно, и в этом случае .

В случае начисления только сложных процентов формулы для расчетов приведенных стоимостей аннуитетов пренумерандо имеют вид, аналогичный формулам (7.31) - (7.34), т.е. находится приведенная стоимость соответствующего аннуитета постнумерандо и затем полученное значение умножается на соответствующий множитель наращения. Таким образом, рассматривая различные аннуитеты, можно написать:

(7.37)

(7.38)

(7.39)

Ясно, что . Из приведенных формул понятно, почему в финансовых таблицах не уточняется, какая схема подразумевается в финансовой сделке - постнумерандо или пренумерандо; содержание финансовой таблицы инвариантно к этому фактору. Однако при применении расчетных формул или финансовых таблиц необходимо строго следить за схемой поступления денежных платежей.

Пример:

Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 тыс. руб. Банк платит 20% годовых. Какая сумма будет на счете по истечении трех лет?

В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, будущую стоимость которого и предлагается оценить. В соответствии с формулой (7.31) найдем искомую сумму S:

Многие практические задачи могут быть решены различными способами в зависимости от того, какой денежный поток выделен аналитиком. Рассмотрим простейший пример.

Пример:

Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок пять лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. тенге). По истечении пяти лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно "безопасно" депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

тыс. тенге

В отношении альтернативного варианта, предусматривающего возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 тыс. тенге можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с , , и единовременное получение суммы в 30 тыс. тенге;

б) как срочный аннуитет пренумерандо с , , и единовременное получение сумм в 20 и 30 тыс. тенге.

В первом случае на основании формулы (7.7) имеем:

тыс. тенге.

Во втором случае на основании формулы (7.31) имеем:

тыс. тенге.

Естественно, что оба варианта привели к одинаковому ответу. Таким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего периода будет складываться из доходов от депонирования денег в банке (107,056 тыс. тенге), возврата доли от участия в венчурном проекте за последний год (20 тыс. тенге) и единовременного вознаграждения (30 тыс. тенге). Общая сумма составит, следовательно, 157,056 тыс. тенге. Предложение экономически нецелесообразно.

В случае антисипативного начисления процентов формулы для оценки аннуитета пренумерандо получаются таким же образом, как и приведенные ранее формулы. Величины будут умножаться на соответствующий множитель. Например, формулы типа (7.31), (7.36) будут иметь вид:

(7.40)

(7.41)

Если начисляются непрерывные проценты, то для получения формул определения будущей или приведенной стоимости аннуитета пренумерандо необходимо перейти к пределу при , например, в формулах (7.34), (7.39). Так, в частности, из (7.34) следует, что для непрерывных процентов

Понятие и характеристика денежного потока

$1000 $1000 $1000 $1000

Элемент денежного потока принято обозначать CF k (Cash Flow), где k - номер периода, в который рассматривается денежный поток. Настоящее значение денежного потока обозначено PV (Present Value), а будущее значение - FV (Future Value).

Будущее значение денежного потока, для всех элементов от 0 до m получим:

Пример 1 : После внедрения мероприятия по снижению административных издержек предприятие планирует получить экономию $1 000 в конце каждого года. Сэкономленные деньги предполагается размещать на депозитный счет (под 5 % годовых) с тем, чтобы через 5 лет накопленные деньги использовать для инвестирования. Какая сумма окажется на банковском счету предприятия?

Таким образом, предприятие через 5 лет накопит $5 526, которое сможет инвестировать.

Таким образом, денежные потоки – это потоки платежей (наличности) под которым понимается распределение во времени, движения денежных средств, возникающих в результате хозяйственной деятельности субъекта.

Кроме того, под денежными потоками понимается распределенная во времени последовательность выплат и поступлений генерируемая тем или иным активом, портфелем активов или операцией инвестиционного проекта.

С каждым инвестиционным проектом принято связывать денежный поток (Cash Flow), элементы которого представляют собой либо чистые оттоки (Net Cash Outflow), либо чистые притоки денежных средств (Net Cash Inflow).

Под чистым оттоком в k-м году понимается превышение текущих денежных расходов по проекту над текущими денежными поступлениями (при обратном соотношении имеет место чистый приток).

Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity).

Аннуитет обладает двумя важными свойствами:

1) все его n-элементов равны между собой: CF1 = CF2 ...= CFn = CF ;

2) отрезки времени между выплатой (получением сумм) CF одинаковы.

Будущая стоимость простого аннуитета представляет собой сумму всех составляющих его платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции.

Под текущей стоимостью денежного потока понимают сумму всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции.

Текущая стоимость аннуитета имеет следующий вид:

Выражение в квадратных скобках представляет собой множитель, равный современной стоимости аннуитета одной денежной единицы.

Разделив современную стоимость PV денежного потока на указанный множитель можно получить сумму периодического платежа эквивалентного ему аннуитета.

Схема дисконтирования простого аннуитета.

Пример 2 :

Пенсионный фонд должен осуществить ежегодные выплаты по 100 денежных единиц в течении трех лет. Какая сумма обеспечит указанные выплаты, если ставка по срочным депозитам в настоящее время 8% годовых.

0 100 100 100

Общая сумма 257,7.

Оценка потока пренумерандо

Аннуитет пренумерандо – англ. Annuity Due, представляет собой серию платежей, которые периодически осуществляются в начале каждого периода (например, месяц, квартал, полугодие или год). Этот тип инструмента может представлять из себя инвестицию или кредит, в зависимости от цели и владельца аннуитета. Примером аннуитета могут служить сберегательные счета, страховые полисы, ипотека и другие подобные инвестиции. Ключевой особенностью аннуитета пренумерандо является то, что все платежи осуществляются в начале каждого периода.

Схема наращения элементов денежного потока пренумерандо

где A – размер платежа;

i – процентная ставка за период;

N – количество периодов.

Например, инвестор намеревается ежемесячно размещать на депозит по 500 у.е. в течение 2-ух лет под 7% годовых при условии, что каждый взнос будет осуществляться в начале каждого месяца. Чтобы рассчитать сумму, которая будет в распоряжении инвестора воспользуемся приведенной выше формулой. Однако прежде необходимо привести годовую процентную ставку к месячной, которая составит 0,583% (7%/12). При этом количество периодов составит 24 (24 месяца).

Таким образом в распоряжении инвестора через два года окажется сумма в размере 12914,87 у.е.

Для обратной задачи схема дисконтирования, т. е. приведения всех элементов исходного потока в точку 0, может быть представлена на рис.

Схема дисконтирования элементов денежного потока пренумерандо

Для расчета настоящей стоимости аннуитета пренумерандо необходимо использовать следующую формулу.

Эта формула, например, может быть использована для расчета размера аннуитетного платежа по кредиту. Допустим, заемщик намеревается взять кредит в банке на сумму 25000 у.е. сроком на 5 лет под 17% годовых при условии, что кредит будет погашаться ежемесячно. Чтобы рассчитать размер платежа необходимо воспользоваться формулой настоящей стоимости аннуитета пренумерандо, выразив из нее платеж (A).

Чтобы использовать полученную формулу для расчета аннуитетного платежа необходимо привести в соответствие исходные данные.

1) Настоящая стоимость аннуитета составит 25000 у.е.

2) Годовую процентную ставку необходимо привести к месячной, которая составит 1,4167% (17%/12).

3) Количество периодов составит 60 (5 лет по 12 платежей.)

Таким образом, размер ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту составит 621,31 у.е.

Наиболее часто в финансовых расчетах используются следующие по условиям формирования ренты:

1 й случай: Платежи осуществляются один раз в год, проценты начисляются один раз в конце года, тогда наращенная сумма определяется

S=R*K n; i, (4.1)

где S – наращенная сумма ренты,

R – размер члена ренты (разового постоянного платежа),

K n; i - коэффициент наращения с параметрами «n» (срок ренты) и «i» (ставка сложных процентов), является суммой геометрической прогрессии – первый член геометрической прогрессии a =1, а знаменатель геометрической прогрессии g =(1+i), тогда K n; i = (1+i) n -1/i, а

2 й случай: Годовая рента с начислением процентов «m» раз в году по номинальной ставке «j»

или
(4.3)

3 й случай: Рента р-срочная, проценты начисляются один раз в конце года (m=1)

или
(4.4)

4 й случай: Рента р-срочная, начисление процентов «m» раз в год (m=р)

5 й случай: Рента р-срочная, (р≈m)

(4.6)

Современные величины ренты в зависимости от условий формирования определяются по формулам (аналогично перечисленным выше условиям).

или
(4.7)

- коэффициент приведения ренты рассматриваемый, как сумма геометрической прогрессии с параметрами

или
(4.8)

3 й случай: Рента р-срочная с начислением процентов один раз в год (m=1)

или
(4.9)

4 й случай: Рента р-срочная (р=m)

или
(4.10)

5 й общий случай: Рента р-срочная (р≈m)

или
(4.11)

Некоторые коэффициенты наращения и приведения табулированы и представлены в виде таблиц.

При необходимости определения членов ренты или срока ренты, их можно получить преобразованием формул наращения и дисконтирования относительно интересующих нас величин.

4.3 Рента пренумерандо

В этой ренте платежи производятся в начале каждого периода начисления, то есть количество платежей будет на один больше, чем в ренте постнумерандо.

1 й случай: Годовая рента с начислением процентов 1 раз в год

или
(4.16)

2 й случай: Годовая рента с начислением процентов «m» раз в году

или
(4.17)

3 й случай: Рента р-срочная с начислением процентов один раз в год

или
(4.18)

4 й случай: Р-срочная рента с начислением процентов «m» - раз

или
(4.19)

4.4 Бессрочный аннуитет

Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются длительное время (50 и более лет). В этом случае прямая задача смысла не имеет, что касается обратной задачи, то ее решение делается так же по формуле 4.7.

Поскольку
,то
(4.20)

Приведенная формула используется для оценки целесообразности приобретения аннуитета.

4.5 Переменные потоки платежей

Встречаются потоки платежей, члены которых изменяются во времени. Эти последовательности платежей можно представить в виде переменных потоков платежей.

Частный случай такого потока – переменная рента, то есть рента, члены которой изменяются в соответствии с каким либо заданным законом развития.

Если такой закон не задан, то соответствующая последовательность представляет собой нерегулярный поток платежей.

4.6 Нерегулярный поток платежей

Временные интервалы между двумя соседними членами в нерегулярном потоке платежей могут быть любыми. Обобщающие характеристики получают методом прямого счета.

Наращенная сумма (начисление процентов 1 раза в год)

S =
(4.21)

Современная величина

А =
(4.22)

где t = время от начала потока платежей до момента выплаты

R t – размер платежа (член ренты)

4.7 Конверсия аннутентов

Под конверсией аннутента понимается такое изменение начальных параметров аннутента, после которого новый аннутент был бы эквивалентен данному.

Два аннутента считаются эквивалентными, если равны их современные величины, проведенные к одному и тому же моменту времени.

На практике необходимость рассчитать параметры эквивалентного аннутента чаще всего возникает при изменений условий выплаты долга, погашение кредита или займа и т.п. При этом конверсия может произойти в момент начала аннутента, так и после выплаты некоторой части аннутента. В последнем случае все расчеты производятся на остаток долга в момент конверсии.

Наиболее распространенные случае конверсии постоянных аннутентов:

1) Через некоторый промежуток времени (он может быть равен и «0») после начала аннутента весь остаток долга может быть выплачен за один раз (выкуп ренты). Очевидно, что в том случае величина выплачиваемой суммы будет равна современной величине остатка аннутента, рассчитанной для срока n 2 = n 1 – n 0 (Согласовываются процентные ставки. Выбирается определения современной величины).

2) Может возникнуть задача, обратная предыдущей: задолженность погашается частями, в виде выплаты постоянного аннутента, и требуется определить один из параметров аннутента при заданных остальных. Поскольку здесь известна сумма долга, то есть современная величина аннутента, то для нахождения неизвестного параметра используются формулы:

(4.23)

(4.24)

3) Период выплаты долга может быть изменен при сокращении прежней процентной ставки. Величину R 2 платежа для срока n 2 находим, используя уравнения эквивалента (приравниваются современные значения аннутента):

(4.25)

Отсюда
(4.26)

Очевидно, что если срок аннутента увеличивается, значение R 2 сократится и наоборот.

4) Может возникнуть ситуация, когда величина платежа R должна быть изменена в ту и другую сторону.

5) Начало выплаты задолженности при заданной процентной ставке может быть отсрочено:

а) при сокращении размера платежа;

б) при сокращении срока выплаты;

Очевидно, что в первом случае должен увеличиться срок аннутента, а во втором – величина платежа.

Если обозначить через n 0 период отсроки, тогда на момент начала выплаты, сумма долга А 2 , которая должна являться современной величиной нового аннутента, составит по формуле сложного процента

(4.27)