Prawo bezwładności form kwadratowych. Klasyfikacja form kwadratowych. Prawo bezwładności dla form kwadratowych Twierdzenie o bezwładności dla form kwadratowych

Stwierdzono, że liczba niezerowych współczynników kanonicznych postaci kwadratowej jest równa jej randze i nie zależy od wyboru przekształcenia niezdegenerowanego, za pomocą którego postać A(x, x) zostaje zredukowana do postaci kanonicznej. W rzeczywistości liczba dodatnich i ujemnych współczynników również się nie zmienia.

Twierdzenie11.3 (prawo bezwładności form kwadratowych)... Liczba dodatnich i ujemnych współczynników w postaci normalnej postaci kwadratowej nie zależy od sposobu sprowadzania postaci kwadratowej do postaci normalnej.

Niech kwadratowa forma F ranga r z n nieznany x 1 , x 2 , …, x n doprowadzona do normalnej postaci na dwa sposoby, czyli

F = + + … + –
– … – ,

F = + + … + – – … – ... Można udowodnić, że k = ja.

Definicja 11.14. Liczba dodatnich kwadratów w postaci normalnej, do której sprowadza się rzeczywistą postać kwadratową, nazywa się dodatni wskaźnik bezwładności ten formularz; liczba ujemnych kwadratów - ujemny wskaźnik bezwładności, a ich suma wynosi wskaźnik bezwładności kwadratowy lub podpis kształt F.

Gdyby P- dodatni wskaźnik bezwładności; Q- ujemny wskaźnik bezwładności; k = r = P + Q Jest indeksem bezwładności.

Klasyfikacja form kwadratowych

Niech kwadratowa forma A(x, x) indeks bezwładności wynosi k, dodatni wskaźnik bezwładności to p, ujemny wskaźnik bezwładności to Q, następnie k = P + Q.

Udowodniono, że w każdej podstawie kanonicznej F = {F 1 , F 2 , …, F n) ta forma kwadratowa A(x, x) można zredukować do postaci normalnej A(x, x) = + + … + –
– … – , gdzie  1 ,  2 , …,  n współrzędne wektora x w podstawie ( F}.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym znaku określonego formy kwadratowej

Oświadczenie11.1. A(x, x) podane w n V, było określony, konieczne i wystarczające jest, aby albo dodatni wskaźnik bezwładności P, czyli ujemny wskaźnik bezwładności Q, był równy wymiarowi n przestrzeń V.

Co więcej, jeśli P = n, to forma pozytywnie x ≠ 0 A(x, x) > 0).

Gdyby Q = n, to forma ujemnie zdefiniowany (czyli dla każdego) x ≠ 0 A(x, x) < 0).

Niezbędny i wystarczający warunek zmiany formy kwadratowej

Oświadczenie 11.2. Dla formy kwadratowej A(x, x) podane w n-wymiarowa przestrzeń wektorowa V, było zmienny(czyli są takie x, tak Co A(x, x)> 0 i A(tak, tak) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Warunek konieczny i wystarczający dla quasi-znakowej zmienności postaci kwadratowej

Oświadczenie 11.3. Dla formy kwadratowej A(x, x) podane w n-wymiarowa przestrzeń wektorowa V, było quasi-zmienna(czyli dla dowolnego wektora x lub A(x, x) ≥ 0 lub A(x, x) ≤ 0 i istnieje niezerowy wektor x, Co A(x, x) = 0) jest konieczne i wystarczające do zachowania jednej z dwóch relacji: P < n, Q= 0 lub P = 0, Q < n.

Komentarz... Aby zastosować te cechy, forma kwadratowa musi zostać zredukowana do formy kanonicznej. Nie jest to wymagane w kryterium określoności znaków Sylwestra 15.

Widok normalny formy kwadratowej.

Zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a każdą formę kwadratową można sprowadzić do formy kanonicznej. Oznacza to, że istnieje podstawa diagonalizująca (kanoniczna), w której macierz tej formy kwadratowej ma formę diagonalną

gdzie . Wtedy na tej podstawie forma kwadratowa ma formę

Niech wśród niezerowych elementów są dodatnie i ujemne, oraz. Zmieniając w razie potrzeby numerację wektorów bazowych, zawsze można upewnić się, że pierwsze elementy macierzy diagonalnej postaci kwadratowej są dodatnie, a pozostałe ujemne (jeśli, to ostatnie elementy macierzy są zerami). W rezultacie formę kwadratową (10.17) można zapisać w postaci:

W wyniku zamiany zmiennych na zmienne według systemu:

forma kwadratowa (6.18) przyjmuje formę diagonalną, w której współczynniki kwadratów zmiennych są jednością, minus jedynkami lub zerami:

gdzie macierz postaci kwadratowej (10.19) ma postać diagonalną

Definicja 10.9. Notacja (10.19) nazywa się normalny widok forma kwadratowa, a bazę diagonalizującą, w której forma kwadratowa ma macierz (10.20), nazywa się podstawa normalizująca.

Tak więc w postaci normalnej (10.19) postaci kwadratowej elementy diagonalne macierzy (10.20) mogą być jedynkami, jedynkami lub zerami i są ułożone tak, że pierwsze są pierwsze, potem minusy, a potem zera. (przypadki zanikania określonych wartości,,).

W ten sposób udowodniliśmy następujące twierdzenie.

Twierdzenie 10.3. Każda forma kwadratowa może być zredukowana do formy normalnej (10.19) za pomocą macierzy diagonalnej (10.20).

Kwadratowe prawo bezwładności

Forma kwadratowa może być sprowadzona do postaci kanonicznej na różne sposoby (metodą Lagrange'a, metodą przekształceń ortogonalnych lub metodą Jacobiego). Ale pomimo różnorodności form kanonicznych dla danej formy kwadratowej, istnieją cechy jej współczynników, które pozostają niezmienione we wszystkich tych formach kanonicznych. Są to tak zwane niezmienniki liczbowe forma kwadratowa. Jednym z niezmienników liczbowych formy kwadratowej jest rząd formy kwadratowej.

Twierdzenie 10.4 ( o niezmienności rzędu formy kwadratowej ) Ranga postaci kwadratowej nie zmienia się w niezdegenerowanych przekształceniach liniowych i jest równa liczbie niezerowych współczynników w dowolnej z jej postaci kanonicznych. Innymi słowy, ranga formy kwadratowej jest równa liczbie niezerowych wartości własnych macierzy formy kwadratowej (z uwzględnieniem ich wielokrotności).

Definicja 10.10. Nazywa się rząd formy kwadratowej wskaźnik bezwładności... Liczba dodatnich i liczba () liczb ujemnych w postaci normalnej (3) postaci kwadratowej są nazywane pozytywny oraz ujemne indeksy bezwładność formy kwadratowej, odpowiednio. W tym przypadku lista nosi nazwę podpis forma kwadratowa.

Dodatnie i ujemne wskaźniki bezwładności są niezmiennikami liczbowymi postaci kwadratowej. Istnieje twierdzenie o nazwie prawo bezwładności.

Twierdzenie 10.5 ( prawo bezwładności ) Forma kanoniczna (10.17) formy kwadratowej jest jednoznacznie określona, ​​to znaczy podpis nie zależy od wyboru podstawy diagonalizacji (nie zależy od metody redukcji formy kwadratowej do formy kanonicznej).

□ Stwierdzenie twierdzenia oznacza, że ​​jeśli jedna i ta sama forma kwadratowa przy użyciu dwóch nieosobliwych przekształceń liniowych

zredukowane do różnych form kanonicznych ():

wtedy jest to obowiązkowe, to znaczy liczba dodatnich współczynników pokrywa się z liczbą dodatnich współczynników.

Załóżmy, że wbrew stwierdzeniu. Ponieważ przekształcenia (10.21) są niezdegenerowane, możemy z nich wyrazić zmienne kanoniczne:

Znajdźmy wektor taki, że odpowiadające mu wektory mają postać

W tym celu przedstawiamy macierze w następujących formach blokowych:

gdzie oznaczamy macierz, macierz, macierz, macierz.

W wyniku blokowych reprezentacji macierzy tworzymy jednorodny układ liniowych równań algebraicznych, biorąc pierwsze równania z (10.22), a ostatnie z (10.23):

Powstały układ zawiera równania i niewiadome (składniki wektorowe). Ponieważ więc w tym systemie liczba równań jest mniejsza niż liczba niewiadomych i ma nieskończoną liczbę rozwiązań, wśród których można wyróżnić rozwiązanie niezerowe.

Na wynikowym wektorze wartości kształtu mają różne znaki:

co jest niemożliwe. Stąd założenie o tym, co jest nie tak.

Z tego wynika, że ​​podpis nie zależy od wyboru podstawy diagonalizacji. ■

Jako ilustrację prawa bezwładności można pokazać, że forma kwadratowa w trzech zmiennych:

dwie nieosobliwe przekształcenia liniowe, z odpowiednimi macierzami

(pierwsza macierz odpowiada metodzie Lagrange'a, druga metodzie transformacji ortogonalnej) sprowadza się odpowiednio do dwóch różnych postaci kanonicznych

Co więcej, obie formy kanoniczne mają ten sam podpis

6. Znakoznaczne i przemienne znaki kwadratowe

Formy kwadratowe są podzielone na typy w zależności od zestawu wartości, które akceptują.

Definicja 10.11. Forma kwadratowa nazywa się:

pozytywnie zdefiniowane

negatywnie zdefiniowany jeśli dla dowolnego wektora niezerowego:;

niedodatnio określony (ujemnie półokreślony) jeśli dla dowolnego wektora niezerowego:;

nieokreślona (pozytywnie półokreślona) jeśli dla dowolnego wektora niezerowego:;

zmienny jeśli istnieją niezerowe wektory,:.

Definicja 10.12. Pozytywne (negatywne) określone formy kwadratowe są nazywane określony... Niedodatnio (nieujemnie) określone formy kwadratowe są nazywane stały.

Rodzaj formy kwadratowej można łatwo określić, konwertując ją na formę kanoniczną (lub normalną). Poniższe dwa twierdzenia są prawdziwe.

Twierdzenie 10.6. Niech forma kwadratowa zostanie zredukowana do formy kanonicznej i otrzyma podpis (,). Następnie:

jest pozytywnie zdefiniowane ;

jest negatywnie zdefiniowany ;

jest nie do końca określony ;

jest nieujemna określona ;

jest zmienny.). Następnie: nieujemna określona dla wszystkich;

jest zmienny wśród wartości własnych są zarówno dodatnie, jak i ujemne.

Wrzesień okazał się miesiącem udanym dla wszystkich klas aktywów. Według szacunków Denga prawie wszystkie inwestycje przyniosły pozytywne rezultaty. Jednocześnie najwyższe dochody przyniosły inwestycje w złoto, które skorzystały nie tylko ze wzrostu ceny kruszcu, ale także z osłabienia rubla. Wysokie zwroty przyniosły inwestorom główne kategorie funduszy inwestycyjnych, depozyty, a także większość rosyjskich akcji. Popularne w ostatnie lata fundusze obligacji, a także akcje Sbierbanku, które mogą ucierpieć najbardziej w przypadku zaostrzenia sankcji USA.

Witalij Kapitonow

Pięć miesięcy później złoto było najbardziej dochodową inwestycją miesiąca. Według "Money", po zainwestowaniu 15 sierpnia w metal szlachetny 100 tysięcy rubli inwestor mógł otrzymać prawie 5 tysięcy rubli miesięcznie. dochód. To drugi najwyższy miesięczny wynik w tym roku. W kwietniu inwestor mógł zarobić więcej - 9,3 tys. rubli.

Wysoka opłacalność inwestycji w metal szlachetny tylko częściowo wynika ze wzrostu jego ceny. Od połowy sierpnia cena złota wzrosła o 2,4%, do 1205 USD za uncję. Było to odzwierciedleniem oczekiwań inflacyjnych w USA. Według Departamentu Handlu USA inflacja w tym kraju spadła z 2,9% w lipcu do 2,7% w sierpniu, ale pozostaje powyżej celów Fed. Tym samym inflacja nadal rośnie, co pozwoli Fedowi podnieść stopę bez gwałtownych zmian. Szlachetny metal został poparty wiadomością, że władze USA i Kanady nadal próbują znaleźć kompromis w sprawie nowej umowy NAFTA. „Wiadomości te łagodzą obawy handlowe, które ciążą na rynku złota i wspierają dolara” – powiedział Mikhail Sheibe, strateg ds. surowców w Sberbank Investment Research. Efekt rosnących cen złota został wzmocniony przez wzrost dolara w Rosji (+2,5%). W rezultacie inwestycje rubla w metal szlachetny przyniosły znaczne dochody.

Jednak zdaniem uczestników rynku dalsze inwestycje w złoto należy traktować z ostrożnością. Eskalacja konfrontacji handlowej między Stanami Zjednoczonymi a Chinami pozostaje kluczowym ryzykiem dla inwestycji w metal szlachetny. "Wykluczono czynnik presji politycznej, co oznacza, że ​​pojawienie się nowych barier to już praktycznie przeszłość. Taki rozwój wydarzeń jest negatywny dla złota, gdyż wzrośnie popyt na dolara jako aktywa ochronnego" powiedział Michaił Sheibe.

Jaki dochód przyniosły inwestycje w złoto (%)

Źródła: Bloomberg, Reuters, Sbierbank.

Wśród najbardziej dochodowych Produkty finansowe akcje pozostają fundusze inwestycyjne, a poszczególne produkty firm zarządzających aktywami były w stanie zapewnić marże przewyższające marżę złota. W październiku najbardziej udane inwestycje dotyczyły branżowych funduszy akcji skoncentrowanych na metalurgii, telekomunikacji i firmy naftowe i gazowe... Według szacunków Denga, opartych na danych Investfunds, do końca miesiąca inwestycje w takie fundusze przyniosłyby inwestorom prywatnym od 2,2 tys. rubli do 5,2 tys. rubli.

Inne kategorie funduszy również zapewniały wysokie zarobki: fundusze indeksowe, inwestycje mieszane, euroobligacje. Fundusze tych kategorii mogą przyciągnąć swoich inwestorów od 200 rubli. do 4 tysięcy rubli. na 100 tys. inwestycji.

Ukochane przez prywatnych inwestorów fundusze obligacyjne przyniosły negatywny wynik. Fundusze w tej kategorii są konserwatywne, więc straty inwestorów prywatnych były symboliczne - do 1000 rubli. W takich okolicznościach inwestorzy zaczęli osiągać zyski w funduszach obligacji. Według Investfunds, w sierpniu inwestorzy detaliczni wycofali z funduszy obligacji 4 mld rubli. Szybciej wyszli z funduszy tej kategorii w grudniu 2014 roku. Następnie, na tle dewaluacji rubla i szybkiego wzrostu kursów na rynku krajowym, inwestorzy wycofali z funduszy ponad 4,5 mld rubli.

Inwestorzy częściowo wykorzystują uwolnioną płynność do kupowania bardziej ryzykownych funduszy akcyjnych. Wielkość środków zainwestowanych w fundusze tej kategorii w sierpniu przekroczyła 3,5 mld rubli, czyli 500 mln rubli. więcej atrakcji w lipcu. Zapotrzebowanie na ryzykowne strategie rośnie już szósty miesiąc z rzędu, a wolumen inwestycji ma coraz większy udział w łącznym napływie funduszy detalicznych. Największym zainteresowaniem inwestorów cieszą się fundusze telekomunikacyjne oraz naftowo-gazowe.

Jakie dochody przyniosły inwestycje w fundusze inwestycyjne (%)

Źródła: Narodowa Liga Gubernatorów, Investfunds.

Sierpniowe outsidery - akcje - wzrosły na trzecie miejsce z czwartego rankingu "Pieniądze". W ciągu ostatniego miesiąca inwestycje w indeks MICEX przyniosłyby inwestorom detalicznym 3,4 tys. rubli. Jednocześnie początek badanego okresu nie wróżył dobrze tak wysokiemu wynikowi. W okresie od 15 do 18 sierpnia indeks MICEX spadł o 1,2%. Sytuacja poprawiła się jednak po 24 sierpnia. W ciągu trzech tygodni indeks podskoczył o prawie 5% i wspiął się do poziomu 2374 punktów. To zaledwie 2 punkty poniżej rekordowego poziomu z marca.

Jednak we wrześniu wiele indeksów giełdowych rozwijało się i kraje rozwinięte wykazał pozytywną dynamikę. Według szacunków Bloomberga, rosyjskie indeksy wzrosły w dolarach tylko o 4,4%. Jedynie tureckie indeksy wykazały silniejszy wzrost, rosnąc o 5,9-6,3%. Wśród wskaźników krajów rozwiniętych liderem był włoski FTSE MIB, który w ciągu miesiąca dodał 3,4%.

Najsilniej zyskiwały akcje ALROSA, Gazpromu, MMC Norilsk Nickel i Magnit: na tych papierach inwestor mógł zarobić 4,2-8,3 tys. rubli. na każde sto tysięcy inwestycji. Według Antona Startseva, czołowego analityka Olma Investment Company, zainteresowanie inwestorów akcjami ALROSA zostało poparte oświadczeniem ministra finansów Antona Siluanowa, że ​​spółka może kierować 75% zysk netto do wypłaty dywidendy.

Wyjątkiem od ogólnego obrazu były akcje RusHydro, Rostelecom, Aeroflot, w których inwestycje przyniosłyby stratę w wysokości 200 rubli. do 1,4 tysiąca rubli. Maksymalne straty byłyby dla inwestorów, którzy zainwestowali w papiery wartościowe Sbierbank - 2,1 tysiąca rubli. Jego akcje pozostają pod presją komentarzy urzędników Departamentu Stanu USA, którzy nie wykluczają możliwości nałożenia sankcji na bank w listopadzie. Takie perspektywy przerażają międzynarodowych inwestorów i zmuszają ich do wycofania się nie tylko z OFZ, ale także z papierów wartościowych banku.

Po załamaniu w sierpniu i wrześniu akcje Sbierbanku stały się atrakcyjne inwestycyjnie, twierdzą analitycy. „Odbicie na giełdach największych Rosyjski bank jest bardzo prawdopodobne, a ryzyko ich zakupów jest w pełni uzasadnione. Na razie inwestorzy średnioterminowi powinni skupić się na ustalaniu zysków w okolicach 180 rubli. za akcję "- powiedział analityk" ALOR Broker "Alexei Antonov.

Jakie dochody przyniosły inwestycje w akcje (%)

Nad polem K (\ styl wyświetlania K) oraz e 1, e 2,…, e n (\ styl wyświetlania e_ (1), e_ (2), \ kropki, e_ (n))- podstawa w L (\ styl wyświetlania L).

• Forma kwadratowa jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie podrzędne narożne jej macierzy są ściśle dodatnie.
• Forma kwadratowa jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy znaki wszystkich narożnych małoletnich jej macierzy zmieniają się, a molowa rzędu 1 jest ujemna.

Forma dwuliniowa, biegunowa do dodatnio określonej formy kwadratowej, spełnia wszystkie aksjomaty iloczynu skalarnego.

Widok kanoniczny

Prawdziwy przypadek

W przypadku, gdy K = R (\ styl wyświetlania K = \ mathbb (R))(pole liczb rzeczywistych), dla dowolnej formy kwadratowej istnieje podstawa, w której jej macierz jest przekątna, a sama forma ma widok kanoniczny(normalny widok):

gdzie r (\ styl wyświetlania r) to rząd formy kwadratowej. W przypadku niezdegenerowanej formy kwadratowej p + q = n (\ styl wyświetlania p + q = n), a w przypadku zdegenerowanej - p + q< n {\displaystyle p+q.

Aby zredukować formę kwadratową do formy kanonicznej, zwykle stosuje się metodę Lagrange'a lub transformacje ortogonalne podstawy, a tę formę kwadratową można sprowadzić do formy kanonicznej nie na jeden, ale na wiele sposobów.

Numer q (\ styl wyświetlania q)(warunki przeczące) nazywa się wskaźnik bezwładności dana forma kwadratowa, a liczba p - q (\ styl wyświetlania p-q)(różnica między liczbą wyrazów dodatnich i ujemnych) nazywa się podpis forma kwadratowa. Zauważ, że czasami sygnatura formy kwadratowej nazywana jest parą (p, q) (\ styl wyświetlania (p, q))... Liczby p, q, p - q (\ styl wyświetlania p, q, p-q) są niezmiennikami formy kwadratowej, tj. nie zależeć od sposobu sprowadzenia go do postaci kanonicznej ( Prawo bezwładności Sylwestra).

Złożona sprawa

W przypadku, gdy K = C (\ styl wyświetlania K = \ mathbb (C))(ciało liczb zespolonych), dla dowolnej formy kwadratowej istnieje podstawa, w której forma ma formę kanoniczną

gdzie r (\ styl wyświetlania r) to rząd formy kwadratowej. Tak więc w przypadku złożonym (w przeciwieństwie do rzeczywistego) forma kwadratowa ma tylko jeden niezmiennik - rząd, a wszystkie formy niezdegenerowane mają tę samą formę kanoniczną (suma kwadratów).