Osnovne informacije iz teorije
6. 1. Definicija 1.
Klasa brojeva prema ovom modulu naziva se skup svih onih i samo onih cijelih brojeva koji, kada se dijele na t, ima isti ostatak, koji je, usporediv pomoću modula t (t Î N, T.> 1).
Oznaka klase brojeva ima ostatak r.: .
Svaki broj razreda nazvana odbitak modula t, i same klase nazvao je klasu odbitaka po modulu t.
6. 2. Svojstva skupa nastave modula odbitaka t.:
1) samo modul t.bit će t.nastava: Z t. = { , , , … , };
2) Svaka klasa sadrži beskonačan skup cijelih brojeva (odbitaka) obrasca: \u003d ( a.= mq.+ r / q.Î Z,0£ r.< m.}
3) "aliÎ : aliº R.(mod M.);
4) "a, B.Î : aliº B.(mod M.), to jest, svaka dva odbitka od jednog klasa usporediti Po modulu T.;
5) "aliÎ , " b.Î : ali b.(mod M.), to jest, nema dva odbitka; poduzete iz različitih klase neusporediv Po modulu T..
6. 3. Definicija 3.
Puni sustav odbitaka za ovaj modul naziva se bilo koji skup t brojeva snimljenih jedan po jedan i samo jedan od svake klase odbitaka po modulu t.
Primjer: ako a m.\u003d 5, zatim (10, 6, - 3, 28, 44) je kompletan sustav odbitaka za modul 5 (a ne jedini!)
Posebno,
set (0, 1, 2, 3, ..., m. -1) - Ovo je sustav najmanji ne-negativan odbitaka;
set (1, 2, 3, ..., m. –1, t.) Je sustav najmanji pozitivni odbitaka.
6. 4. Imajte na umu:
ako je ( h. 1 , h. 2 , … , x T.) - Puni sustav odbitaka po modulu t.T. 
.
6. 5. Teorem 1.
Ako a {h. 1 , h. 2 , … , x T.} – puni sustav odbitaka za modul t, "a, B.Î Z I.(a, T.) = 1, – zatim sustav brojeva {oh 1 + B., oh 2 + b., … , ah t.+ B.} također tvori kompletan sustav odbitaka putem modula t .
6. 6. Teorem 2.
Svi odbici iste klase odbitaka u modulu t imaju jedan i isti najveći zajednički djelitelj: "a, B.Î Þ ( ali; T.) = (b; T.).
6. 7. Definicija 4.
Klasa odbitaka prema ovom modulu, ona se naziva međusobno jednostavna s modulom t, Ako je barem jedan odbitak ove klase međusobno jednostavan s t.
Imajte na umu da u ovom slučaju, teoremom 2 svebroj ove klase će biti uzajamno jednostavan s modulom t.
6. 8. Definicija 5.
Smanjeni sustav odbitaka za ovaj modul naziva se sustav odbitaka uzeti jedan po jedan i samo jedan od svake klase, uzajamno jednostavan s modulom t.
6. 9. Imajte na umu:
1) smanjeni sustav odbitaka u modulu T.sadrži J ( t.) brojevi ( h. 1 , h. 2 ,…, };
2) : 
.
3) " X I. : (x I., m.) = 1;
Primjer : Neka modul t.\u003d 10 Postoji 10 vještina:
Z 10 \u003d (,,,,,) - puno klasnih vrijednosti u modulu 10. Puni sustav odbitaka po MOD-u10 će, na primjer, takva: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
Mnoge stope odbitaka, međusobno jednostavna S modulom m \u003d.10: (,,,) (j (10) \u003d 4).
Smanjeni sustav odbitaka Modul 10 će, na primjer,
(1, 3, 7, 9), ili (11, 43, - 5, 17), ili (- 9, 13, - 5, 77), itd. (Svugdje j (10) \u003d 4 brojeva).
6.10. Praktički: napraviti jedan od mogućih sustava za podnošenje mod m, potreba od punog sustava odbitaka na MOD m za odabir tih odbitaka koji su međusobno jednostavni s t. Takvi brojevi će bitij ( t.).
6.11. Teorem 3.
Ako a{h. 1 , h. 2 ,…, } – smanjeni sustav odbitaka putem modula ti
(ali, m.) = 1, – zatim sustav brojeva {oh 1 , oh 2 , … , ah j (t)} također
smanjeni sustav odbitaka putem modula t .
6.12. Definicija 6.
Iznos( Å ) Nastava odbitaka i + b jednaka sumu bilo koje dvije odbitke uzete prema jednom od svake navedene klase i : Å = , gdje"aliÎ , "b.Î .
6.13. Definicija 7.
Raditi( Ä ) nastava odbitaka i modul je nazvao razred odbitaka , to jest, klasa odbitaka koji se sastoje od brojeva a ´ B jednaka proizvodu bilo koje dvije odbitke uzete u skladu s jednom od svake navedene klase i : Ä = , gdje"aliÎ , "b.Î .
Tako, u različitim razredima odbitaka putem modula t.: Z t. \u003d (,,,,) definirani su dva algebarska operacija - "dodatak" i "umnožavanje".
6.14. Teorem 4.
Mnoge klase odbitka z modulo je asocijativno-komutativni prsten s jedinicom:
< Z t. , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – prsten.
Tipični zadaci
1. Napravite modul t.= 9:
1) kompletan sustav najmanjih pozitivnih odbitaka;
2) kompletan sustav najmanjih ne-negativnih odbitaka;
3) proizvoljan puni sustav odbitaka;
4) kompletan sustav najmanjih u apsolutnoj vrijednosti odbitaka.
Odgovor:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Napravite određeni sustav odbitaka putem modula t.= 12.
Odluka.
1) Napravite potpuni sustav najmanjih pozitivnih odbitaka u modulu t.= 12:
(L, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (ukupno t.\u003d 12 brojeva).
2) Prekrižite taj broj brojeva, a ne uzajamno jednostavan s brojem 12:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) Preostali brojevi, međusobno jednostavni s brojem 12, oblikuju željeni smanjeni sustav odbitaka putem modula t.\u003d 12 (samo J ( t.) \u003d J (12) \u003d 4 brojeva).
Odgovor:(1, 5, 7, 11) - smanjeni sustav odbitaka u modulu t.= 12.
130. Napravite 1) kompletan sustav najmanjih pozitivnih odbitaka; 2) kompletan sustav najmanjih ne-negativnih odbitaka; 3) proizvoljan sustav odbitaka; 4) kompletan sustav najmanjih u apsolutnoj vrijednosti odbitaka; 5) smanjeni sustav odbitaka: a) putem modula m. \u003d 6; b) modul m. = 8.
131. Je li set (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) puni sustav odbitaka za modul 8?
132 Prema kojem je set modula (20, - 4, 22, 18, - 1) je kompletan sustav odbitka?
133. Napravite smanjeni sustav odbitaka putem modula m. ako a) m. \u003d 9; b m. \u003d 24; u) m. \u003d 7. Koliko brojeva treba takav sustav sadržavati?
134. Riječ osnovna svojstva punog sustava odbitaka i smanjeni sustav odbitaka u modulu m. .
135. Koji su elementi gore i potpuni sustavi najmanjih ne-negativnih odbitaka na jednostavnom modulu razlikuju se?
136. s kojim je uvjetom alii - Alipripadaju jednoj klasi modula odbitaka m.?
137. Koje razrede odbitaka u modulu 8 pripadaju svim jednostavnim brojevima r³ 3?
138. Da li skup brojeva (0, 2 0, 2 1, 2 2, ..., 2 9) čini kompletan sustav odbitaka za modul 11?
139. Koliko stope odbitaka u modulu 21 pripada svim odbicima od jedne klase odbitaka u modulu 7?
140. Mnogi cijeli brojevi Z Distribuirajte postavkama po modulu 5. Napravite sklopivi tablice i množenja u rezultirajućem skupu odbitaka Z pet. Je skup Z 5: a) Grupa s radom dodavanja razreda? b) grupa s množenjem razreda?
§ 7. Euler teorem. Teorem male farme
Osnovne informacije iz teorije
7. 1. Teorem 1.
Ako A.Î Z, T.Î N, T.>1 i(ali; T.) = 1 - Zatim u beskonačnom slijedu stupnjeva a 1 , ali 2 , ali 3 , ... , ali s, ..., ali T, ... Bit će najmanje dva stupnja s indikatorima s i t(s.< T.) tako da 
. (*)
7. 2. Komentar, Označen t.– s. = k. \u003e 0, od (*) dobivamo: 
, Naušnica oba dijela ove usporedbe n.Î N. Dobit ćemo: 
(**). To znači da postoji beskonačni skup stupnjeva broja. a.zadovoljavajući u odnosu (**). Ali kaopronaći ove pokazatelje? Što barem Indikator zadovoljavajući u usporedbi (**)? Prvo pitanje je odgovorno teorem euler(1707 – 1783).
7. 3. Teorem Euler.
Ako A.Î Z, T.Î N, T.>1 i(ali; T.) = 1- to 
. (13)
Primjer.
Neka biti ali = 2, T. = 21, (ali; t.) \u003d (2; 21) \u003d 1. Zatim 
, Od J (21) \u003d 12, zatim 2 12 º 1 (MOD 21). Zapravo,: 2 12 \u003d 4096 i (4096 - 1) 21. Tada je očito da 2 24 º 1 (MOD 21), 2 36 º 1 (MOD 21) i tako dalje. Ali je pokazatelj stupnja 12 - najmanjizadovoljavajući u usporedbi s 2 N. º 1 (MOD 21)? Ispada da ne. Najmanji pokazatelj bit će p\u003d 6: 2 6 º 1 (mod 21), za 26 - 1 \u003d 63 i 63 21. Imajte na umu da barem Pokazatelj treba tražiti samo među dijelovima broja j ( t.) (U ovom primjeru, među razdjelnicima broja J (21) \u003d 12).
7. 4. Teorem male farme (1601 - 1665).
Za bilo koji jednostavan broj p i bilo koji broj aÎ Z, nije podijeljen, postoji usporedba 
. (14)
Primjer.
Neka biti ali = 3, R \u003d 5, gdje 3 nije 5. tada 
ili 
.
7. 5. Generalizirao teoremu na farmi.
Za bilo koji jednostavan broj p i proizvoljnog broja aÎ Z ima usporedbu 
(15)
Tipični zadaci
1. Dokazati da 38 73 º 3 (MOD 35).
Odluka.
1) Od (38; 35) \u003d 1, zatim Elerorov teorem 
; j (35) \u003d 24, zatim
(1).
2) Od usporedbe (1) Posljedicom 2 Svojstva 5 0 Brojčane usporedbe Imamo:
3) Od usporedbe (2) Posljedicom 1 Svojstva 5 0 Usporedbe: 38 72 × 38º 1 × 38 (mod 35) þ þ38 73 º38 º 38-35 \u003d 3 (mod 35) þ 38 73 º 3 (MOD 35) Kako bi dokazali.
2. DANNO: ali = 4, t. \u003d 15. Pronađite najmanji pokazatelj k.zadovoljavajući 
(*)
Odluka.
1) od ( a.; m.) \u003d (4; 25) \u003d 1, zatim Euler teoremom 
, J (25) \u003d 20, tako da 
.
2) je li pronađen temelj broj 20 - najmanji Prirodni broj zadovoljavanja (*)? Ako postoji pokazatelj stupnja manje od 20, onda mora biti razdjelnik broja 20. Dakle, željeni najmanje indikator k.trebate tražiti mnoge brojeve n. \u003d (1, 2, 4, 5, 10, 20) - razdjelnici brojeva 20.
3) za p = 1: 
;
za P = 2: 
;
za P \u003d 3: (Nije potrebno razmotriti);
za P = 4: ;
za P = 5: ;
za P \u003d 6, 7, 8, 9: (nema potrebe za razmatranjem);
za P = 10: .
Tako, najmanji pokazatelj stupnja k.zadovoljavajući u usporedbi (*) k.= 10.
Odgovor: 
.
Vježbe za samostalan rad
141. Prema Euler Teoremu 
, Za ali = 3, t. \u003d 6 Imamo: 
.
Budući da je J (6) \u003d 2, zatim 3 2 º1 (mod 6), ili 9º1 (MORH 6), zatim, prema Lema, (9-1) 6 ili 8 6 (farmi!?). Gdje je pogreška?
142. Dokazati da: a) 23 100 º1 (MOD 101); b) 81 40 º 1 (MOD100); c) 2 73 º 2 (MOD 73).
143. Dokazati to a) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);
b) 5 4 p + 1 + 7 4p + 1 je podijeljen bez 12 ..
144. Dokazati teorem, inverzna teorem Euler: ako ali j ( M.) º 1 (mod m.), onda ( a, M.) =1.
145. Pronađite najmanji pokazatelj k.Î N, Usporavanje ovog u usporedbi: a) 
; b 
; u) 
; d) 
;
e) 
; e) 
; g 
; h) 
.
i) 
; do) 
; l) 
; mlin 
.
146. Pronađite ravnotežu podjele:
a) 7 100 u 11; b) 9.900 po 5; c) 5 176 do 7; d) 2 1999 do 5; e) 8 377 na 5;
e) 26 57 na 35; g) 3559 do 22; h) 5,718 na 103; i) 2760 na 40; K) 25 1998 za 62.
147 *. Dokaži to ali 561 º ali (MOD 11).
148 *. Ako je kanonska raspadanja prirodnog broja p Ne sadrži multiplikate 2 i 5, zatim 12. stupanj ovog broja završava znamenkom 1. Dokazati.
149 *. Dokazati da 2 64 º 16 (MOD 360).
150 *. Dokazati: ako ( ali,65) =1 , (b,65) \u003d 1, zatim a. 12 – B. 12 je podijeljen bez ostatka do 65.
Poglavlje 3. Aritmetičke prijave
Teorije numeričkih usporedbi
§ 8. Sustavni brojevi
Osnovne informacije iz teorije
1. Cijeli sustavni brojevi
8. 1. Definicija 1.
Brojni sustav se naziva bilo kojom metodom brojeva za snimanje. Znakovi s kojima zapisuju ove brojeve nazivaju se brojevi.
8. 2. Definicija 2.
Cijeli broj ne-negativan sustavni broj zabilježen u T-originalnom sustavu pozicioniranja naziva se broj N vrsta
, gdje je i.(i. = 0,1, 2,…, k.) – cijeli ne-negativni brojevi - brojevi, i0 £ i. £ t.– 1, t - baza broja sustava, tÎ N, t\u003e1.
Na primjer, zapis o broju u sustavu 7-Riched ima oblik: (5603) 7 \u003d 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Ovdje i.- to je 5, 6, 0, 3 - brojeva; Svi oni zadovoljavaju stanje: 0 £ i. £ 6. t.\u003d 10 Reci: Broj n. Snimljeni B. sustav decimalnog broja,i indeks t \u003d.10 Nemojte pisati.
8. 3. Teorem 1.
Može se zastupati svaki ne-negativni broj, a jedini način u obliku sustavnog broja na bilo kojoj bazi t, gdje tÎ N, t\u003e1.
Primjer:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Imajte na umu:
1) pripisivanje sustavnog broja nula na lijevoj strani ne mijenja seovog broja:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) pripisivanje sustavnog broja s. Zeros s desne strane je ekvivalentan Množenjeovaj broj je t S.: (3 4) 5 \u003d 3 x 5 1 + 4; (3 4 0) 5 \u003d 3 × 5 3 + 4 × 5 2 + 0 × 5 1 + 0 \u003d 5 2 × (3 × 5 1 + 4).
8. 5. Algoritam za prijenos broja zabilježenog ut. - Službeni sustav, u decimalnom:
Primjer: (287) 12 \u003d 2 × 12 2 + 8 × 12 1 + 7 × 12 0 \u003d 2 × 144 + 8 × 12 + 7 \u003d 288 + 96 +7 \u003d (391) 10.
8. 6. Algoritam za prijevod broja zabilježen u decimalu sustav, B.t. - Službeno:
Primjer: (3 9 1) 10 = (h.) 12. Pronaći x.
8. 7. Radnje na sustavnim brojevima
2. Sustavne frakcije
8. 8. Definicija 3.
Konačna T-dimljena sustavna frakcija u broju sustava s bazom T nazvana je broj vrsta
gdje C. 0 Î Z, c i - brojevi– cijeli ne-negativni brojevi, i0 £ s I.£ t.– 1, t.Î N, t\u003e1, k.Î N. .
Oznaka: A \u003d ( c. 0 , iz 1 iz 2 …s K.) T., Za t.\u003d 10 frakcija se zove decimal.
8. 9. Posljedica 1.
Svaka konačna sustavna frakcija je racionalni broj koji se može prikazati kao , gdje samÎ Z, B.Î N.
Primjer.
a \u003d (31, 2 4) 6 \u003d 3 × 6 + 1 + \u003d 19 + 
- racionalni broj. Reverse izjava, općenito govoreći, netočno. Na primjer, frakcija se ne može pretvoriti u konačnu sustavnu (decimalnu) frakciju.
8.10. Definicija 4.
Beskonačni t-znakovi Pozitivna sustavna frakcija u broju sustava s bazom T nazvana je broj vrsta
, gdje od 0.Î N., s I.(i. =1, 2, …, do, …) - brojevi– cijeli ne-negativni brojevi, i0 £ s I.£ t.–1, t.Î N, t\u003e1, k.Î N..
Oznaka: A \u003d ( iz 0 , iz 1 iz 2 … s K.…) T., Za t.\u003d 10 frakcija se zove decimal.
8.11. Definicija 5.
Moguće su tri vrste beskonačnih sustavnih frakcija:
I \u003d ( iz 0 , 
) T.= = 
T. gdje \u003d. = = … U ovom slučaju broja. nazvao je beskrajnu čistu periodičnu frakciju,(iz 1 iz 2 … s K.) – razdoblje, k- broj brojeva u razdoblju - dužina razdoblja.
Ii a \u003d. 
.
U ovom slučaju, broj a nazvao je beskrajnu mješovitu povremenu frakciju, – ugovor, (
) – razdoblje, k je broj brojeva u razdoblju - duljina razdoblja, L je broj brojeva između cijelog broja i prvog razdoblja - pre-ex.
Iii a \u003d ( iz 0 , iz 1 iz 2 … s K. …) T. . U ovom slučaju broja. nazvana beskonačna ne-periodična frakcija.
Tipični zadaci
1. Broj ( ali) 5 \u003d (2 1 4 3) 5, navedeno u sustavu 5-Richee, prevesti u 7-bogat sustav, tj. h.ako (2 1 4 3) 5 \u003d ( h.) 7 .
Odluka.
1) Pretvorimo ovaj broj (2 1 4 3) 5 na broj ( w.) 10, zabilježeno u decimalnom sustavu:
2. Izvršite:
1) (7) 8 + (5) 8; 2) (7) 8 × (5) 8; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6;
4) (5 2 3 4) 7 - (2 3 5 1) 7; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5.
Odluka.
1) (7) 8 + (5) 8 \u003d (7) 10 + (5) 10 \u003d (12) 10 \u003d 1 × 8 + 4 \u003d (1 4) 8;
2) (7) 8 × (5) 8 \u003d (7) 10 × (5) 10 \u003d (35) 10 \u003d 4 × 8 + 3 \u003d (4 3) 8;
| 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Bilješka: | 4 + 5 \u003d 9 \u003d 1 × 6 + 3, 3 Pišite, 1 ide u sljedeći iscjedak, 6 + 3 + 1 \u003d 10 \u003d 1 × 6 + 4, 4 napišite, 1 odlazi na sljedeći iscjedak, 3 + 4 + 1 \u003d 8 \u003d 1 × 6 + 2, 2 Pišite, 1 ide na sljedeći iscjedak. |
| 4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Bilješka: | "Zadržavamo" jedinicu za jednu kategoriju, tj. 1 "1 × 7: (3 + 1 × 7) - 5 \u003d 10 - 5 \u003d 5, (1 + 1 × 7) - 3 \u003d 8 - 3 \u003d 5. |
| 5) (4 2 3) 5 ' (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Bilješka: | Nakon množenja do 2: 3 × 2 \u003d 6 \u003d 1 \u003d 1 × 5 + 1, 1, pišemo, 1 ide na sljedeći iscjedak, 2 × 2 + 1 \u003d 5 \u003d 1 × 5 +0, 0 Pišemo, 1 ide na Sljedeći iscjedak, 2 × 4 + 1 \u003d 9 \u003d 1 × 5 +4, 4 napisati, 1 ide na sljedeći iscjedak, s množenjem 3: 3 x 3 \u003d 9 \u003d 1 × 5 + 4, 4 pisanje, 1 ulazi u sljedeću kategoriju, 3 × 2 + 1 \u003d 7 \u003d 1 × 5 + 2, 2 napisati, 1 ide na sljedeći pražnjenje, 3 × 4 + 1 \u003d 13 \u003d 2 × 5 +3, 3 Pišemo, 2 ide u sljedeće pražnjenje. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 Odgovor: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
Vježbe za samostalan rad
151. Brojevi navedeni u t.- Službeni sustav, prevesti u decimalni sustav:
a) (2 3 5) 7; b) (2 4 3 1) 5; c) (1 0 0 1 0 1) 2; d) (1 3) 15;
e) (2 7) 11; e) (3 2 5 4) 6; g) (1 5 0 1 3) 8; h) (1 1 0 1 0 0 1) 2;
i) (7 6 2) 8; K) (1 1 1) 20.
152. Brojevi. specificirano u decimalnom sustavu, prevedite t.- Službeni sustav. Ček.
a) (1 3 2) 10 \u003d ( h.) 7; b) (2 9 8) 10 \u003d ( h.) pet; c) (3 7) 10 \u003d ( h.) 2; d) (3 2 4 5) 10 \u003d ( h.) 6 ;
e) (4 4 4 4) 10 \u003d ( h.) 3; e) (5 6 3) 10 \u003d ( h.) 12; g) (5 0) 10 \u003d ( h.) osam; h) (6 0 0) 10 \u003d ( h.) 2 ;
i) (1 0 0 1 5) 10 \u003d ( h.) dvadeset ; K) (9 2 5) 10 \u003d ( h.) osam; l) (6 3 3) 10 \u003d ( h.) petnaest ; m) (1 4 3) 10 \u003d ( h.) 2 .
153. Brojevi navedeni u t.- Službeni sustav, prevesti p:- Službeni sustav (tranzicijom kroz decimalni sustav).
a) (3 7) 8 \u003d ( h.) 3; b) (1 1 0 1 1 0) 2 \u003d ( h.) pet; c) (6 2) 11 \u003d ( h.) 4 ;
d) (4) 12 \u003d ( h.) devet . e) (3 3 1 3 1) 5 \u003d ( h.) 12 .
154. (a) Kako će se broj (1 2 3) 5 mijenjati, ako pripisuje nulu?
b) Kako promijeniti broj (5 7 6) 8, ako imate dva nula na to?
155. Izvođenje radnji:
a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4; b) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8; c) (1 0 1 1 0 1) 2 + (1 1 0 1 10) 2;
d) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9; e) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; e) (2 4 5 3) 7 - (1 6 4 5) 7;
g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; h) (1 7 5) 11 - (6) 11; i) (3 6 4 0 1) 7 - (2 6 6 6 3) 7;
k) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2; l) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
h) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8; c) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5; T) (1 1 0 1 0 0 1 0) 2: (1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1) 2: (1 1) 2; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6; X) (3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9: (7 6 4 2) 9.
c) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; W) (1 2 7) 12 + (9 1 3 5) 12b "× b. 1 Zatim:
I ako je imenik b. = b "(sadrži samo "2" i / ili "5"), a zatim se frakcija pretvara u konačan decimalna frakcija. Broj decimalnih znakova jednak je najmanjim prirodnim brojem l. L.º 0( mod B.").
II Ako je imenik b. = b 1.(ne sadrži "2" i "5"), tada se frakcija pretvara u beskonačno čisto povremenim jednaka najmanju prirodnu broj k.zadovoljavajući u odnosu na 10 K.º 1 ( mod B. 1).
Iii ako je imenik b. = b "× b. 1 (sadrži "2" i / ili "5", kao i druge jednostavne multiplikatore), tada se frakcija pretvara u beskonačni mješoviti periodičnideset
frakcija tichty.
Duljina razdoblja jednaka je najmanjim prirodnim brojem k.zadovoljavajući u odnosu na 10 K.º 1 ( mod b 1.).
Duljina predgovora je jednaka najmanju prirodnu broj l.zadovoljavajući u odnosu na 10 L.º 0( mod B.").
9. 2. Zaključci.
9. 3. Imajte na umu:
racionalni broj je svaka konačna decimalna frakcija ili beskonačna periodična decimalna frakcija;
iracionalan broj je svaka beskonačna ne-periodična decimalna frakcija.
Tipični zadaci
1. Podatkovne uobičajene frakcije zabilježene u decimalnom sustavu, pretvoriti u
decimal preliminaran Odrediti oblik željene frakcije (konačne ili beskonačne; periodične ili ne-periodične; ako je periodična, tada čisto povremena ili miješana periodična); U najnovijim slučajevima - unaprijed pronađen broj k. - duljina i broj razdoblja l.- duljina odredbe. jedan) ; 2); 3).
Odluka.
1) u frakciji \u003d denominator - broj b. \u003d 80 \u003d 2 × 5 sadrži samo "2" i "5". Stoga se ta frakcija pretvara u konačan decimalna frakcija. Broj decimalnih znakova l NIM Određeno iz uvjeta: 10 L.º0 (MOD80):
2) u frakciji \u003d denominator - broj b. \u003d 27 \u003d 3 3 ne sadrži "2" i "5". Stoga se ova frakcija transformira u beskonačno Čist periodični decimalna frakcija. Razdoblje duljine k naim Određeno iz uvjeta: 10 K.º1 (MOD27):
3) u frakciji \u003d denominator - broj b. \u003d 24 \u003d 2 3 × 3, to jest, izgleda: b. = b "× b. 1 (osim "2" ili "5" sadrži druge čimbenike, u ovom slučaju, broj 3). Stoga se ova frakcija transformira u beskonačno mješoviti periodični decimalna frakcija. Razdoblje duljine k naim Određeno iz uvjeta: 10 K.º1 (MOD3), odakle k naim \u003d 1, to jest, duljina razdoblja k. \u003d 1. Preformfors Duljina l NIM Određeno iz uvjeta: 10 L.º0 (MOD8), odakle l NIM \u003d 3, to jest, duljina predgovora l. = 3.
Provjerite: Podijelimo "kutak" 5 do 24 i dobiti: \u003d 0, 208 (3).
Odgovor:1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
Vježbe za samostalan rad
156. Podatkovne uobičajene frakcije zabilježene u decimalnom sustavu, pretvoriti u decimalne frakcije. Ako je decimalna frakcija periodična, tada preliminaran Pronaći broj k. - duljina i broj razdoblja L.- duljina odredbe.
157. Podatkovne uobičajene frakcije zabilježene u decimalnom sustavu, pretvoriti u t.- službene sustavne frakcije. Pronađite brojeve k. - duljinu razdoblja i l.- duljina odredbe.
158 *. U kojem broju broj sustava (4 6) 10 napisan je istim brojevima, ali u
obrnuti redoslijed?
159 *. Što je više: jedinica 8. kategorije u binarnom sustavu ili jedinicu 4. kategorije u sustavu 8-Richede?
§ 10. Pascal teorem. Znakovi djelića
Osnovne informacije iz teorije
10. 1. Pascal teorem (1623 – 1662).
Prirodni brojevi su dani: t\u003e1 i n snimljeni u t - dimnom sustavu:
, gdje i - - brojevi: i jaÎ N,0 £ i. £ t.–1 (i. = 0,1, 2,…, k.), t.Î N, t\u003e1.
Neka biti n.= (k a k - 1 … a. 1 a. 0) 10 = a K.× 10. K. +a k - 1 × 10. k - 1 +…+a. 1 × 10 + a. 0 , m.\u003d 3 I. m. = 9.
1) Pronađite b I.: po modulum \u003d. 3 modulam \u003d. 9
10 0 º1 (MOD3), tj. b. 0 \u003d 1, 10 0 º1 (MOD9), tj. b. 0 =1,
10 1 º1 (MOD3), tj. b. 1 \u003d 1, 10 1 º1 (MOD9), tj. b. 1 =1,
10 2 º1 (MOD3), tj. b. 2 \u003d 1, 10 2 º1 (mod9), tj. b.
Obično kao potpuni sustav odbitaka po modulu m. Trebate najmanje ne-negativne odbitke
0,1,...,m. − 1ili apsolutno najmanje odbitaka koji se sastoje od brojeva
,u slučaju neparnog m. i brojevi
u slučaju jednog m. .
vidi također
Književnost
- I. M. Vinogradov Osnove teorije brojeva. - M.-l.: Država ed. Tehnička i teorijska literatura, 1952. - 180 str.
Wikimedia Foundation. 2010.
Gledajte što je "potpuni sustav odbitka" u drugim rječnicima:
Modulom m, bilo koja kombinacija cijelih brojeva koji sadrže u jednom broju iz svake klase brojeva modulom m (dva cijela broja A i B pripadaju jednom razredu pomoću modula M, ako je B podijeljen u m; vidi odbitak). Kao P. str. u. Najčešće… …
Po modulu t, bilo koji skup tantimatskih brojeva s modulom. Obično kao P. str. u. Najmanji ne-negativni odbici 0, 1 su povoljni u modulu. , , T 1 ili apsolutno najmanje odbitaka koji se sastoje od brojeva 0, +1 ,. , ,, u ... ... Matematička enciklopedija
Dio ukupnog sustava odbitka (vidi puni sustav odbitka), koji se sastoji od brojeva međusobno jednostavnim s M modulom. P. s. u. Sadrži φ (m) brojeve [φ (m) broj brojeva, uzajamno jednostavan s m i manjim m]. Svi φ (m) brojevi, a ne usporedivi u modulu m i ... ... Velika sovjetska enciklopedija
Usporedba modula prirodnog broja n u teoriji brojeva omjer ekvivalencije na prstenu cijelih brojeva povezanih s podjelom na N. Čimbenici o tom odnosu nazivaju se prsten odbitaka. Kombinacija relevantnih identiteta i ... ... Wikipedia
U teoriji brojeva, usporedba [razjašnjavaju] u modulu prirodnog broja N određenog broja omjera ekvivalencije na pluralitetu cijelih brojeva povezanih s podjelom na njemu. Čimbenici prostora na ovom odnosu nazivaju se "prsten ... ... Wikipedia
Smetnje Snowflakes su povezane s kutom kuta, višestruke algebalne skupine za konačnu skupinu od 60 ° koji sadrži konačni broj elemenata (ovaj broj naziva se njegov red). Zatim se pretpostavlja da je skupina multiplikativna, to jest, operacija u ... ... Wikipedia
Funkcija, raju može biti predstavljena pomoću napajanja. Isključiti, važnost klase A. F. Određeno sljedećim. Prvo, ova klasa je dovoljna sh i r otko: pokriva većinu funkcija pronađenih u glavnim pitanjima matematike i ... ... Matematička enciklopedija
Sadržajem: I. Osnovno javno obrazovanje uopće. Ii. Primarno narodno obrazovanje u inozemstvu: Austro Mađarska, Engleska, Belgija, Bugarska, Njemačka, Nizozemska, Danska, Španjolska, Italija, Norveška, Portugal, Rumunjska, Srbija, ... ... Enciklopedijski rječnik f.a. Brockhaus i i.a. Efron
- rođen 26. svibnja 1799. u Moskvi, na njemačkoj ulici u kući Skvortsove; Umro je 29. siječnja 1837. u St. Petersburgu. Sa strane oca Puškina pripadao je staroj plemićkoj obitelji, koja se događala, na uzimanjem pedigreesa, s lijeve strane ... ... Velika biografska enciklopedija
Kombinacija zatvorenih formula logike predikata 1. faze. E. T. T. Th (k) klasa na algebarski potpis sustavi naz. Kombinacija svih zatvorenih formula predikata 1. stupnja potpisa istinitog na svim sustavima iz razreda K. ako je klasa ... ... Matematička enciklopedija
Stavak 17. Kompletan i smanjeni sustavi odbitka.
U prethodnom stavku zabilježeno je da je stav є M. usporedivost na proizvoljnom modulu m. Postoji omjer ekvivalencije na pluralitetu cijelih brojeva. Ovaj omjer ekvivalencije potiče particiju skupa cijelih brojeva na klase ekvivalentnih elemenata među sobom, tj. U jednom razredu, brojevi koji se pojavljuju pri dijeljenju m. Iste ostatke. Broj klasa ekvivalencije є M. (Znakovi će reći - indeks ekvivalentnosti є M. ") točno jednaki m. .
Definicija. Bilo koji broj klase ekvivalencije є M. Nazovimo odbitak modula m. , Kombinacija odbitaka uzeta u skladu s jednom od svake klase ekvivalencije є M. , nazvao je puni sustav odbitaka u modulu m. (u punom sustavu odbitaka, tako da sve m. dijelovi brojeva). Izravno ostaje sami kada se dijeli m. nazivaju se najmanjim ne-negativnim odbitkom i, naravno, oblikovati puni sustav odbitaka po modulu m. , Odbitak R naziva se apsolutno najmanji ako je PRP najmanji među e-poštom odbitaka ovog razreda.
Primjer : Neka biti m. \u003d 5. Zatim:
0, 1, 2, 3, 4 - najmanji ne-negativni odbici;
2, -1, 0, 1, 2 - apsolutno najmanje odbitaka.
Oba dana skupa brojeva oblikuju pune sustave odbitaka u modulu 5 .
Lema 1. 1) bilo koji m. komadići u paru ne usporedivi modul m. Brojevi čine kompletan sustav odbitaka putem modula m. .
2) ako ali i m. Međusobno jednostavna i x. m. zatim vrijednosti linearnog oblika aX + B. gdje b. - bilo koji cijeli broj, također pokrenuti puni sustav odbitaka u modulu m. .
Dokaz. Okoliš 1) - Očito. Dopustite da dokažemo tvrdnju 2). Brojevi aX + B. glatko, nesmetano m. komadići Pokazujemo da nisu usporedivi s modulom m. , Pa, neka se neke različito x 1 i x 2 Iz punog sustava odbitaka to se pokazalo aX 1 + B є AX 2 + B (MOD M) , Zatim, prema svojstvima usporedbi iz prethodne stavke, dobivamo:
aX 1 є AX 2 (MOD M)
x 1 є x 2 (MOD M)
- kontradikcija s činjenicom da x 1 i x 2 Različite i preuzete iz punog sustava odbitaka.
Budući da su svi brojevi iz ove klase ekvivalencije dobiveni iz jednog broja ove klase dodavanjem broja, višestruko m. Tada svi brojevi iz ove klase imaju modul m. Isti najveći zajednički razdjelnik. Za neka razmatranja, povišeni interes su oni odbici koji imaju s modulom m. Najveći zajednički razdjelnik, jednak jednom, tj. Slunja koje su međusobno jednostavne s modulom.
Definicija. Smanjeni sustav odbitaka po modulu m. Nazvao je skup svih odbitaka iz punog sustava, uzajamno jednostavan s modulom m. .
Smanjeni sustav obično se bira između najmanjih ne-negativnih odbitaka. Jasno je da smanjeni sustav odbitaka u modulu m. Sadrži J ( m.) komadi odbitaka, gdje J ( m.) - Euler funkcija je broj manjih brojeva m. i uzajamno jednostavna m. , Ako ste u ovom trenutku već zaboravili Eulerovu funkciju, pogledajte točku 14 i pobrinite se da tamo nešto bude rečeno.
Primjer. Neka biti m. \u003d 42. Zatim je smanjeni sustav odbitaka:
1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.
Lema 2. 1) bilo koji j ( m.) brojevi, u parovima koji nisu usporedivi po modulu m. i uzajamno jednostavna s modulom formira smanjeni sustav odbitaka putem modula m. .
2) ako (A, m) \u003d 1 i x. pokreće smanjeni sustav odbitaka putem modula m. T. sJEKIRA. Smanjeni sustav odbitaka u modulu m. .
Dokaz. Okoliš 1) - Očito. Dopustite da dokažemo tvrdnju 2). Brojevi sJEKIRA. Parno neusporediv (to se dokazuje na isti način kao u Lemmi 1 ovog stavka), njihov upravo J ( m.) komada. Također je jasno da su svi oni međusobno jednostavni s modulom, za (a, m) \u003d 1, (X, m) \u003d 1 y (ax.m) \u003d 1 , Tako brojevi sJEKIRA. Oblikuju smanjeni sustav odbitaka.
To su definicije i osnovna svojstva punih i smanjenih sustava odbitka, međutim, još uvijek postoji nekoliko vrlo zanimljivih u prtljazi matematike korisne činjeniceo sustavima odbitka. Ako u ovom trenutku teže, boji se, bit će izravna kršenja zakona Ruska Federacija Informacije, zlonamjerni koncentracija je, prema ovom zakonu, administrativno i, čak i kazneno djelo. Osim toga, bez upoznavanja s daljnjim važnim svojstvima sustava odbitka, stavak 17. bit će vrlo kuts. Nastavit ćemo.
Lemma 3. Neka biti m 1, m 2, ..., m k - Parka je međusobno jednostavna i m 1 m 2 ... m k \u003d m 1 m 1 \u003d m 2 m 2 \u003d ... \u003d m k m k gdje
1) ako x 1, x 2, ..., X K pokrenuti pune sustave odbitaka po modulima m 1, m 2, ..., m k Prema tome, vrijednosti linearnog oblika M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + M K x K pokrenite puni odbitak sustava putem modula m \u003d m 1 m 2 ... m k .
2) ako x 1, x 2, ..., X K Pokrenite sustave odbitka na modulima m 1, m 2, ..., m k Prema tome, vrijednosti linearnog oblika M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + M K x K Smanjeni sustav odbitaka u modulu m \u003d m 1 m 2 ... m k .
Dokaz.
1) oblik M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + M K x K očito m 1 m 2 ... m k \u003d m vrijednosti. Pokazujemo da su te vrijednosti neusporedive. Pa, neka bude
M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k є m 1 x 1 c + m 2 x 2 s + ... + M K x K S (MOD M)
svi J. izvrstan M S. , više m S. , Uklanjanje lijevog i desa u posljednjoj usporedbi komponenti, višestruki m S. Dobit ćemo:
M s x s x s x s (mod m s) y x s є x s s s (mod m s)
- kontradikcija s činjenicom da x S. pokreće puni sustav odbitaka po modulu m S. .
2). Oblik M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + M K x K prihvaća očito J ( m 1.) j ( m 2.) H ... h j ( m K.) \u003d J ( m 1 m 2 h ... h m k) \u003d J ( m.) (Multiplikativna EULER funkcija!) Različite vrijednosti koje su međusobno modulom m \u003d m 1 m 2 ... m k Parno neusporediv. Potonji se lako dokazuje obrazloženjem, slično argumentima provedenim u dokazu o odobrenju 1) ove leme. Kao ( M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m k x k, m s) \u003d (m s x s, m s) \u003d 1 za svakoga 1 J , onda ( M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m K x k, m s) \u003d 1 , dakle, mnogo vrijednosti oblika M 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + M K x K oblikuje smanjeni sustav odbitaka u modulu m. .
Lemma 4. Neka biti x 1, x 2, ..., X K, X trčite punom i x 1, x 2, ..., X K, X - pokrenuti smanjene odbitke sustava u modulima m 1, m 2, ..., m k i m \u003d m 1 m 2 ... m k Prema tome, gdje (M i m j) \u003d 1 za ja j. , Zatim Fračius (X 1 / M 1 + X 2 / m 2 + ... + X K / M K) Podudaraju se s frakcijama (X / m) i fracti (X 1 / M 1 + X 2 / m 2 + ... + X K / M K) Podudaraju se s frakcijama (X / m) .
Dokaz. Dokaz o objema izjava leme 4 lako se ispostavlja da se primjenjuje prethodna lemma 3 nakon što date svaki iznos (X 1 / M 1 + X 2 / m 2 + ... + X K / M K) i (X 1 / M 1 + X 2 / m 2 + ... + X K / M K) Općem nazivniku:
(X 1 / M 1 + X 2 / m 2 + ... + X K / M K) \u003d ((M 1 x 1 + M 2 x 2 + ... + M K x K) / m) ;
(X 1 / M 1 + X 2 / m 2 + ... + X K / M K) \u003d ((M 1 x 1 + M 2 x 2 + ... + M K x K) / m) ,
gdje M J \u003d m 1 ... m J-1 M J + 1 ... m K .
Ako sada uzimate u obzir da su djelomični dijelovi brojeva dobiveni prilikom podjele modula m. Svaka dva broja usporediva s modulom m. , isti (oni su jednaki r / m. gdje r. - Najmanji ne-negativan odbitak iz ove klase), a zatim odobrenje sadašnje leme postaje očito.
Ostatak ove stavke će se dogoditi najzanimljivija stvar - mi ćemo sažeti složene korijene m. Stupanj iz jedinice, s upečatljivim vezama između korijena, sustava odbitka i poznate multiplikativne funkcije MBIUS M ( m.) .
Označiti e k k. korijen m- Oh stupanj od jednog:
Ovi oblici snimanja integriranih brojeva dobro se sjećamo od prve godine. Ovdje k \u003d 0,1, ..., m-1 - pokreće puni sustav odbitaka u modulu m. .
Dopustite mi da vas podsjetim da je iznos e 0 + E 1 + ... + E M-1 Svi korijeni m. stupanj iz jedinice jednak nuli za bilo koji m. , Doista, neka e 0 + e 1 + ... + e m-1 \u003d a , Pomnožite taj iznos na ne-nula broj E 1. Takve množenja geometrijski u složenoj ravnini znači rotacija ispravnog m. "Jaja, čiji su korijeni korijeni e 0, e 1, ..., e m-1 na kutu bez nule 2 p / m , Jasno je da u isto vrijeme korijen e 0 će ići u korijen e 1. , korijen e 1. će ići u korijen e 2. , itd. I korijen e m-1 će ići u korijen e 0 , iznos e 0 + E 1 + ... + E M-1 Neće se promijeniti. Imati e 1 a \u003d a Iz! a \u003d 0 .
Teorem 1. Neka biti m\u003e 0 - cijeli broj o. Z , x. pokreće puni sustav odbitaka po modulu m. , Onda, ako ali rub m. T.
inače, kada ali Nije više m. ,
.
Dokaz. Za ali multist m. Imamo: a \u003d MD. i
Za ali nije podijeljeno m. , podijelite brojnik i nazivnik a / M. na d. - najveći zajednički razdjelnika ali i m. , Dobivam nerazumljivu frakciju 1 / m 1 , Zatim, Lemma 1, 1 x. će pokrenuti puni sustav odbitaka putem modula m. , Imamo:
za zbroj svih korijena stupnja m 1. Iz jedinice je nula.
Podsjetimo vas da korijen e K. m. stupanj od jednog nazvanog primitivnog ako je njegov indeks k. Međusobno jednostavna m. , U tom slučaju, kao što je dokazano u prvoj godini, dosljedni stupnjevi e k 1, e k 2, ..., e k m-1 korijen e K. oblikuju cijelu cjelokupnost korijena m. stupanj od jednog ili, drugim riječima, e K. je generirajući element cikličke skupine svih korijena m. Stupanj od jednog.
Očito je broj različitih primitivnih korijena m. stupanj od jedne jednake J ( m.), gdje je J je Euler funkcija, jer indeksi u primitivnim korijenima čine dani sustav odbitaka putem modula m. .
Teorem 2. Neka biti m\u003e 0 - cijeli broj, X provodi smanjeni sustav odbitaka u modulu m. , Zatim (zbroj primordijalnih korijena stupnja m.):
gdje m ( m.) - Mebius funkcija.
Dokaz. Neka biti m \u003d p 1 a 1 p 2 a 2 ... p k a k - kanonska razgradnja broja m. ; m 1 \u003d p 1 a 1 , m 2 \u003d p 2 a 2 , m 3 \u003d p 3 a 3 ; X Vodim smanjeni sustav odbitka putem modula m i. , Imamo:
Za a \u003d 1 Ispada da je to samo korijen e 0 \u003d 1 Nije primitivna, tako da je zbroj svih primitivnih korijena zbroj svih korijena minus jedan:
postalo je ako m. bez kvadrata (tj. ne podijeljena r 2. , P. r\u003e 1.), T.
Ako je bilo koji indikator a S. Više jedinica (tj. m. podjeljeno sa r 2. , P. r\u003e 1.), zatim zbroj svih izvorni stupanj korijena m S. Postoji zbroj svih korijena stupnja m S. Minus zbroj svih ne primitivnih korijena, tj. Svi korijeni nekih stupnjeva manji m S. , To je ako m s \u003d p s m s * , onda:
Sada, dragi čitatelji kada sam podnijela vrlo značajan broj informacija o punim i smanjenim sustavima odbitka, nitko ne bi mogao kriviti me u zlonamjernom kršenju prava Ruske Federacije o informacijama kroz njezin sastanak, pa završim ovo stavku s zadovoljstvom.
| Označiti |
1 , Pišite na lišće sve najmanje ne-negativne odbitke i sve apsolutno najmanje odbitke a) Modulo 6, b) modul 8. Samo ispod, napišite sustave zaduženja za ove module. Nacrtajte odvojeno na integriranu ravninu korijena šestih i korijena osmog stupnja od jedinice, na oba crteža, zaokružuju prve oblike korijena i pronašli svoj iznos u svakom slučaju. 2 , Neka biti e. - Izbirljiv stupanj korijena 2n. Od jednog. Pronađite iznos: 1+ E + E 2 + ... + E N-1 . 3 , Pronaći zbroj svih primitivnih korijena: a) 15.; b) 24.; c) 30. stupanj od jednog. 4 , Pronađite količinu svih vrsta radova primitivnih korijena n. Stupanj iz jedinice uzeti dva. 5 , Pronađite iznos k. stupnjevi svih korijena n. Stupanj od jednog. 6 , Neka biti m\u003e 1. , (A, m) \u003d 1 , b. - cijeli broj h. radi puni, a X je smanjeni sustav odbitaka putem modula m. , Dokaži to: ali) b 7 , Dokaži to:
gdje r Radi sve jednostavne razdjelnike broja ali . |
,Definicija. Brojevi čine kompletan sustav odbitaka u modulu, ako je bilo koji cijeli broj usporediv s modulom s jednim i samo jednim od tih brojeva.
Bilo koji cjeloviti sustav odbitaka u modulu sastoji se od brojeva koji su u parovima nisu usporedivi s modulom.
Teorema. Pusti - puni sustav odbitaka u modulu. Dopustiti biti cijeli broj, međusobno jednostavan. Tada - također puni sustav odbitaka u modulu.
Dokaz. Potrebno je dokazati da su ti brojevi u parovima nisu usporedivi s modulom. Pretpostavimo gadno. Neka biti
Od čvora, što je suprotno stanju.
Teorema. Pusti - puni sustav odbitaka u modulu. Dopustiti biti cijeli broj. Tada - također puni sustav odbitaka u modulu.
Lemma. Ako, onda kôd čvora.
Dokaz.
- cijeli broj.
Odavde. Svaki zajednički djelitelj je razdjelnik. Stoga kôd čvora.
Definicija. Brojevi čine dani sustav odbitaka u modulu, ako su međusobno jednostavni i bilo koji cijeli broj, međusobno jednostavan C, usporediv s jednim i samo jednim od tih brojeva po modulu.
Primjer. Smanjeni sustav odbitaka Modulo 10: 1,3,7,9.
Lemma. Svi smanjeni odbici sustava u modulu sastoje se od istog broja brojeva koji su naznačeni - Euler funkcija.
Dokaz. Doista, neka postoje dva smanjena odbitka sustava u modulu koji se sastoji od različitog broja brojeva:
Onda budući da brojevi oblikuju određeni sustav odbitaka u modulu, svaki od brojeva je usporediv s jednim i samo jednim od tih brojeva. Budući da, na načelu Dirichleta, najmanje dva broja od bit će usporediva s nekim brojem, i stoga će biti usporedivi s modulom. I to je u suprotnosti što je smanjeni sustav odbitaka u modulu. Tako.
Sada to dokazujemo. Zapravo, brojevi manji i međusobno jednostavni c oblikuju određeni sustav odbitaka po modulu. To slijedi iz leme.
Definicija. Funkcija EULER (ili TOTIENT) označava broj brojeva manjih i međusobno jednostavnih.
Teorema. Ako je smanjeni sustav odbitaka za modul i broj, uzajamno jednostavan C, zatim i smanjeni sustav odbitaka u modulu.
Ako je onda jednostavan.
Lemma.Ako je onda jednostavan.
Dokaz.Doista, brojevi manji nego jednostavni i imaju zajednički razdjelnik s njim, sve.
Lemma. Klimati Zatim. Funkcija eulera je multiplikativna.
Dokaz. Pišemo sve brojeve od 1 do sljedećeg:
Brojevi u svakom retku čine kompletan sustav odbitaka po modulu. Tako međusobno jednostavna. U isto vrijeme, ovi brojevi se nalaze na stupcima - međusobno, jer u svakom stupcu postoje brojevi usporedivi s modulom.
Brojevi u svakom stupcu čine kompletan sustav odbitaka po modulu. Doista, stupac se ispada ako uzimate brojeve koji oblikuju potpuni sustav odbitaka u modulu, pomnožite ih po broju, međusobno jednostavan C i dodajte svakom od njih.
Tako, u svakom stupcu, glatko brojeve, uzajamno jednostavno s.
Budući da će broj biti uzajamno jednostavan i samo kada je međusobno jednostavno c i međusobno jednostavno c, onda broj brojeva, međusobno jednostavan C, jednak.
Teorema. Neka biti
Kanonska razgradnja broja. Zatim
Dokaz. Lemma o animaciji funkcije euler
Primjer.
Teorem (euler). Ako i - međusobno jednostavni brojevi, onda
Neka neki daju sustav odbitka modula. , Zatim - također smanjeni sustav odbitaka u modulu. Slijedom toga, svaki od brojeva prvog slijeda uspoređuje se s jednim od brojeva drugog slijeda modula, a svaki od brojeva drugog slijeda uspoređuje se s jednim od prvih brojeva slijeda. Zatim
Budući da je svaki od brojeva međusobno jednostavno jednostavno, a zatim se usporedba može smanjiti:
Posljedica. Pustite - cijeli brojevi - prirodni. Ako,,, ne.
Dokaz. Dopustiti biti. Od tada - prirodni broj. Zatim
To znači .
88vopros
Homotetika i privid prostora
Homothetic s centrom O. i koeficijent k. označiti H K 0
Svojstva transformacije homethet i sličnost prostora slične su svojstva horothty i sličnosti ravnine, tako da proučavanje prvog treba započeti s ponavljanjem drugog. Sličnost prostora s koeficijentom k. Moguće je razgraditi u sastav kretanja i homohettu s nekim središtem i istim koeficijentom.
Učenici bi trebali znati da s takvim pretvorbe prostora, veličina kuta (ravna i doorna), paralelna (okomita), izravna Illosp se prikazuju na paralelnoj (okomitoj) ravnu i ravninu. To znači da s takvom pretvorbom prostora, bilo koja figura je lik koji ima isti oblik kao ta brojka, ali se razlikuje od nje "u svojim veličinama".
Zadatak 12. Dan ispraviti tetrahedron Ravox; Bodovi R 1 , ALI 1 , U 1 , IZ 1 - Centri njezinih lica (Sl.14). Dokazati da tetrahedron R 1 ALI 1 U 1 IZ 1 slično tetraedri Ravox; Pronađite koeficijent ove sličnosti.
Odluka, Neka točka N. i K. - srednji rubovi, respektivno Au i Sunce. Tetraedra Ravox, točka ALI 1 - središte ruba RVS., točka R 1 - središte ruba Abc (Sl. 14). To znači da
R. 1: ALI 1 K. = Ar 1: R 1 K. = 2: 1,
ALI 1 K. : Rk = R 1 K. : Ak = 1: 3,
Slično tome, to možete dokazati
1 u 1: Au \u003d 1: 3 i 1 u 1 Au,
1 c 1 : Ac \u003d 1: 3 i 1 c 1 Ac,
U 1 s 1 : Sunce. \u003d 1: 3 i U 1 s 1 Sunce.,
U 1 p 1 : Bp \u003d 1: 3 i U 1 p 1 Bp,
C 1 p 1 : Usp \u003d 1: 3 i C 1 p 1 Usp.
Tih odnosa između rebara tetraedra Ravox i P 1 a 1 u 1 ° 1 Slijedi da tetrahedron P 1 a 1 u 1 ° 1 - ispravno, tako da su te tetraedra slične; Omjer sličnosti je 1/3. (U razredima profila vrijedi dokazati da su te tetraedra homotetika.)
Možete unijeti definiciju: "Slika F 1. zove se slična figura F.Ako postoji konverzija sličnosti prostora koji prikazuje sliku F. na lici F 1."" Zatim za dokaze sličnosti lik F 1. LIK F. Dovoljno je pronaći barem jednu pretvorbu Likea koja je figura F. Prikazuje na slici F 1...
Definicija. Paralelni prijenos, ili kratko, prijenos slike naziva se njegov prikaz, u kojem se sve njegove točke pomaknu u istom smjeru na jednakim udaljenostima, tj. Prilikom prijenosa svake dvije točke X i y brojke, takve točke X "i Y" se uspoređuju, da je xx "\u003d yy"
Osnovni prijenos:
Paralelni prijenos zadržava udaljenosti i smjerove, tj. X "y" \u003d xy
Odavde se ispostavlja da je paralelni prijenos pokret koji održava smjer i naprotiv, pokret, koji čuva smjer, postoji paralelni prijenos
Iz tih izjava također podrazumijeva da je sastav paralelnih transfera paralelni prijenos
Paralelni prijenos slike postavljen je određivanjem jednog para odgovarajućih točaka. Na primjer, ako je navedeno, na kojoj točki "ova točka a prolazi, tada je taj prijenos postavljen od strane AA vektora, a to znači da se sve točke prebacuju na isti vektor, tj. XX "\u003d AA" za sve točke X
Središnja simetrija
Definicija
Točke a i a a nazivaju se simetrični u odnosu na točku o ako su točke a, a, leže na jednoj ravnoj liniji i vol \u003d vol. "Točka o se smatra simetričnom samom (u odnosu o)
Dvije figure nazivaju se simetrična u odnosu na točku o, ako za svaku točku jedne točke postoji simetrična na njega u odnosu na točku točke u drugoj figuri i natrag
Kao poseban slučaj, figura može biti simetrična za sebe u odnosu na neku točku O. Onda se ova točka o naziva se simetrijski centar lik, a brojka je centralno simetrična
Definicija
Središnja simetrija lika u odnosu na o naziva se takav mapiranje ove brojke, koji uspoređuje svaku točku svoje točke, simetrično oko
Osnovna imovina: središnja simetrija zadržava udaljenost, a smjer se mijenja u suprotnoj strani. Drugim riječima, svaka dva boda x i y figure f odgovaraju takvim točkama x "i y", da je x "y" \u003d-xy
Dokaz. Pustite s središnjom simetrijom s centrom u točki o točki X i Y prikazani su na X "i Y". Zatim, kao što je jasno iz definicije središnje simetrije, OX "\u003d -OX, OY" \u003d -OY
Međutim, xy \u003d oy - vol, x "y" \u003d Oy "- vol"
Stoga imamo: x "Y" \u003d -Oy + Ox \u003d-xy
Odavde se ispostavlja da je središnja simetrija pokret koji mijenja smjer na suprotno i obrnuto, pokret, mijenjajući smjer na suprotnoj strani, je središnja simetrija
Središnja simetrija slike postavljena je navodeći jedan par postojećih točaka: ako se točka A prikazuje na ", tada je centar simetrije sredinom segmenta AA"
Rotirajte se oko izravnog
Za jasniji pogled na rotaciju oko izravnog, trebali biste se sjetiti uključivanja ravnine u blizini ove točke. Uključivanjem ravnine u blizini ove točke, takav pokret se zove, u kojem se svaki snop izlazi iz ove točke rotira istim kutom u istom smjeru. Sada se okrećemo na mjesto u prostoru
Definicija. Okretanje lik oko ravne crte A pod kutom (nazvan takvom mapiranjem, u kojoj u svakoj ravnini okomito na izravnu A, postoji okretanje oko točke njezina raskrižja s izravnim A na isti kut (u isti smjer. Direktor A naziva se osi rotacije i kut - kut rotacije)
Odavde vidimo da je okret uvijek postavljen pomoću osi, kut i smjer vrtnje
Teorem 1. Rotacija oko ravne crte zadržava udaljenosti, tj. je kretanje
Teorem 2. Ako kretanje prostora ima mnoštvo fiksnih točaka, okreće se oko toga ravno
Ravnina transformacije
Klase odbitaka. Sustavi odbitaka
Kratke informacije iz teorije
Primjenom teorema divizije s ostatkom, mnogi brojevi mogu se podijeliti na brojne nastave. Razmotrite primjer. Neka biti m. \u003d 6. Tada imamo šest razreda cijepanja više brojeva cjelovitih modula 6:
r. = 1;
r. = 2;
r. = 3;
r. = 4;
r. = 5;
tamo r. označio je ravnotežu podjele cijelog broja za 6.
{!LANG-b8eb8d3ce3785b59a369f798529bcfc5!}
{!LANG-dbe8cecfc9336b53a2d2ff4face87920!}{!LANG-e345d9d36cbf2ab547e678070e88f0ad!} p: i r.{!LANG-4f0206a86f26601a6f77573a4399a00e!} {!LANG-aeda8554bb8fd1cc4327ca0bcfbbd746!}: 
.
{!LANG-99626e3e139fde47554fb246c9943f0c!} ali {!LANG-102b0b12591745990491f0f3b042a615!} p: i r. {!LANG-8190a8f80bc681a370e77835037b2a01!}
{!LANG-9add4908ab2e8412faa343d735cfbb07!} 
.
{!LANG-e913d6b016a0c50ab44c59fbf3c479de!} {!LANG-c7243bff2064bbeff92e1ce5dc7f969c!}
Neka biti 
…, 
.
{!LANG-dda048fbea5c240d2d9550846581a034!} Z{!LANG-7e43c228030dc6dc098707cf725b1780!}
{!LANG-1dad2d48a9d38996951ab758447cfdfe!} ALI na {!LANG-44cdee98539fc743634de224dede1b50!}{!LANG-40f66ac76d1cd3b7b8902ad38e83764b!}
{!LANG-0c9c3ab73a238a109b8e400fe5f17c86!} {!LANG-3dbec1124b2e69d10461c719bef8cda2!}{!LANG-f075079515ecbbc06e59175c90cfb650!} n.{!LANG-02662b0cd9f77e00c8fdc59285a12e13!} n.{!LANG-7de765adb0a3471b3b4f5c0bee4c35ba!} n.{!LANG-66b8fcd6f3b91d4a51ab65191434fd33!} n.{!LANG-259375f89201b53abb44021971b29f79!}
{!LANG-2248b07e8f2e579f9b5428504f31831a!} a. i M. {!LANG-a9b40f22d70b8557991a342e0b776fb1!} p: {!LANG-59ded54bff7a5623e40bb99a8d3a9a02!} r. {!LANG-c8c1f9ed3f94ca390c2b57e034551d18!}
{!LANG-43ea98472114032431a1a37f0f8bb703!} {!LANG-f6bfff0ecc2a54d8772e667cb5526662!} r. {!LANG-d0e2cbfc0f5d27a1b91aa11930437dfb!} {!LANG-1fd355b9d99746c53fd08ce8b4c99282!} r. {!LANG-7e8da399049dc02cefa907f9d7db1a99!} {!LANG-b05c019c99217f597734611f32651e3d!}{!LANG-05b3d27d40be5e02fc63d4b308aa20dc!} m..
{!LANG-2d6db13ac6bd51a4f177692506c099e9!} m. {!LANG-1d61b03f8e938e44d520227e6fb5097a!} m. {!LANG-b259f45ab14338302cdbb72974ee81da!}
| {!LANG-e4c29a4eb9e86dfaea63d94eaa29e8e3!} {!LANG-3b2902767ee8a5e40d5af10ef813b79c!} = 3 | {!LANG-e4c29a4eb9e86dfaea63d94eaa29e8e3!} {!LANG-3b2902767ee8a5e40d5af10ef813b79c!} = 5 |
| 0 = 3 + 0 | 0 = 5 + 0 |
| 1 = 3 + 1 | 1 = 5 + 1 |
| 2 = 3 + 2 | 2 = 5 + 2 |
| 3 = 3 + 0 | 3 = 5 + 3 |
| 4 = 3 + 1 | 4 = 5 + 4 |
| 5 = 3 + 2 | 5 = 5 + 0 |
| 6 = 3 + 0 | 6 = 5 + 1 |
| 7 = 3 + 1 | 7 = 5 + 2 |
{!LANG-b43b555e6318e294645780d6aeb2506e!} r.=0 {!LANG-a45f4ceedc7e12ce7e0d67381660c00d!} m.{!LANG-43a6e655737f3584a9720e5ba4014f83!} {!LANG-d39faa470e39545b47c45d01c61c6528!} {!LANG-57f292c8771da4c7af5d246ab7a1020c!} m.{!LANG-ac256bfe87ea74fba2c44a87d5680c47!} {!LANG-d39faa470e39545b47c45d01c61c6528!} {!LANG-49e72be14da7c429c02b8e25526dafde!} m. a. {!LANG-244db6a33feb80b1450ae123a4d6ed0d!} p: i M. {!LANG-8cea76712af4f385453a1b9714dc9733!} {!LANG-d39faa470e39545b47c45d01c61c6528!} {!LANG-5156492bd27988c23a968c4eb854885f!} 1 a. i a. a. {!LANG-b06bf0e5b33076cdac69f6411b73a68b!} a. {!LANG-8cb51d8465254b140b5a6c8b72634978!} 1 i ali {!LANG-9c9e8d7c3d899cf4a4d629f8069f29e9!} {!LANG-4f9ad658d578bad5c44c6408e69e5ab0!} {!LANG-6301476de231d8d8dbfbef6f5ed07802!} ali {!LANG-ac982cd7a9587f2ab30fecc335b4ade2!} d. {!LANG-6f1c15ea5c783cd12aa37e9267212c5e!} a. i m. {!LANG-324c6ceb60082765e223b2fb05955fee!} {!LANG-192bf7bd1f256ae699e91223f990d1a5!} {!LANG-d4d680c9cadefeac57b2ee9df261c561!} {!LANG-8edde14964a10021fabb80e2d0eae5a2!} T. a. i m. {!LANG-f117184a6c4166be044f2d29f1e436ce!} 1 {!LANG-3a69761c0a1f1d1b0c5f2c0a0747690f!}
{!LANG-ae7b0e5ff62e6e8ef07468bec1d0d446!} {!LANG-b05c019c99217f597734611f32651e3d!}{!LANG-6931125d8ee1a88d2f29d967bea113d0!} {!LANG-9c951bc2731254f6944fa08ccdbdc84f!} {!LANG-c848f2f4ada30db10e3337a80e40513d!} {!LANG-4c5e08dc6b34db7d3037cc16dffd36ea!} {!LANG-e06c6eb499410761ee0b5e091ee06fc4!} {!LANG-b05c019c99217f597734611f32651e3d!}{!LANG-db8a33cb352211aa46d0b79853b9168e!}
{!LANG-51284bcff6de06f2c241399974d4cec8!} {!LANG-0c4d1fb326eda33c46462da224fb6bb5!} :
{!LANG-51284bcff6de06f2c241399974d4cec8!} {!LANG-0494888093ad0c0133bfab7aa9beaf71!} :
{!LANG-5333c7cc04c41bf426956e6c35edb4ff!} ali {!LANG-bb0fadeaa8c5fedfb62f73858049fe36!} m. {!LANG-9eac2e957d1d66f4409b6563f4b47726!} {!LANG-d51fdcc5f8ad3786f4ce79d3e24f143c!} r. {!LANG-9eb4d1cd083b242d04ba65ff32f8adab!} {!LANG-43ea98472114032431a1a37f0f8bb703!} {!LANG-1577cd51d0b329cbeee7947c0e01b05e!}
{!LANG-5333c7cc04c41bf426956e6c35edb4ff!} ali {!LANG-218e7f78a6bf90006cd5609fa1dcda24!} {!LANG-b54105b20f94819c704015653a2a70e2!}{!LANG-d7461c55e5d41eb15f3eaa7089ae4d2f!} M. {!LANG-9ed1f2045460a9e6b53166c7c801317d!} {!LANG-de5889ee8a7a883751ca12d2d03dcfb0!} {!LANG-ad645e8d0fbef9b381c249e0b4bbf743!} {!LANG-53873e7e957b80e70e6546d716328202!} {!LANG-59541b036fd7e553f653d821721a1b42!} {!LANG-0fb80a812346e6040f58250697729eef!} {!LANG-1dcf8c316aa6516b421c60e65b637d78!} {!LANG-4b138cc591c8fa56c371caf57749e603!}
{!LANG-de5889ee8a7a883751ca12d2d03dcfb0!} ali
{!LANG-ddc7b5d698bb271d4963df5ebb4703e4!} [-( ,…,( ]
{!LANG-6ac953f4e84f35da89c4b3eac2707631!} {!LANG-964296e3f7069e6199740d74aeb50351!} m.
{!LANG-a80c0d7a6e2112266418e030ade681b9!} [-
za {!LANG-34801c5e045f8c1b446ac529c0f89c37!} M.
{!LANG-9b689b47cc102aa9e87a20acd02283d2!} {!LANG-b05c019c99217f597734611f32651e3d!}{!LANG-fa6c8de29c9ab0d38ed4ccd9ca39804f!} {!LANG-4b138cc591c8fa56c371caf57749e603!}
{!LANG-51284bcff6de06f2c241399974d4cec8!} m. {!LANG-90fdc8b26d2d3d18b42b41346a57bdb9!}
{!LANG-766abcad5a1bde091c07aecee5571be8!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-6cb71194ab09226c367e4985711fdad8!} 5 .
{!LANG-3b2a5ddeaf2dc58bf88c81eaafee0c2a!} {!LANG-d74d8525b278f7c51e9f3b29af27af53!}{!LANG-27b60f24e9eeee0a5d6d5a5465b30e5c!} m.
{!LANG-5d5182eda3e58da3c11d11bf4c9576b6!} {!LANG-d74d8525b278f7c51e9f3b29af27af53!}{!LANG-8cb0b7fbeb46523a14c84296b1c46d43!} M. {!LANG-b3c947b605b72d6b34373ea2051b1dcc!} m. {!LANG-1f1dfece67feb6949aefd45671c48478!} {!LANG-8276cb4af19b30d9928739527044d46c!} {!LANG-ace0c3885d7d7bfea2e833f073af0cc0!} {!LANG-11b9d4e8ca457c2f003ba3d787be32c1!}
{!LANG-ceac657d9ba17dfe6044b7e0c95bb3b8!}{!LANG-2328d12c18d8754daa0f4eb238549e30!} m. {!LANG-9994cb8b75b9ef8227e6253d854e7634!} m. {!LANG-b7bc008243110d982cd3dc7c462d98f5!} {!LANG-fa97683765f925bc49a0affd67891b8c!}{!LANG-f075079515ecbbc06e59175c90cfb650!} m.{!LANG-9dc767d6672b66646c70f0a998bed33d!} m.{!LANG-dbe9f20b91d1ee51f18ddc8d957eba34!}
Definicija.{!LANG-6be6fede3c70bf8e3761a714f94c8546!} {!LANG-f138b7ae6f3abce504235d6145bee962!}{!LANG-2c82819d836ffcb7511d77eb3d3c07c0!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-05b3d27d40be5e02fc63d4b308aa20dc!} m.{!LANG-8785fb1fd70f499539485446005c30d0!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-502f2a29fcb2bb9248a5bf9f5baaa2b1!} {!LANG-f138b7ae6f3abce504235d6145bee962!}{!LANG-6882a62308df34e37dcd0d65056a5ac7!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-6cb71194ab09226c367e4985711fdad8!} m.{!LANG-5a6c2f50d732c4162d9a51d0e0575cbb!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-9d9b58c2aa0fb11dc6658edbb4e59e3d!} m.{!LANG-6ec2baf5f2f0b1aab059020c91e0fcc0!} m.{!LANG-6db769f61d86bbcaec8fd7d1408770dc!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-b4304b6d574a2d3d9c8cf275e2f3a3b8!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-6cb71194ab09226c367e4985711fdad8!} m.. {!LANG-ccd5fe45652223f1f116760813787f32!}{!LANG-ba2c1c339800a976758aba7cbf4d5622!} {!LANG-43ae2d1277f349e6cee766f212ae7526!}{!LANG-768e936935b88d954870cb6394698569!}
Primjer{!LANG-fd63709180f65fb6f62bf0d9b6ea9d48!}
Odluka{!LANG-29f8df81909ac7891b35da5e6180dc90!} m.{!LANG-d990b09563685bc1134e324c75a1aa4f!} m..
{!LANG-e9eddbd811df6855ac689780df22dca5!}
{!LANG-50068b95c760008229ccc5317bee19b4!} {!LANG-43ea98472114032431a1a37f0f8bb703!} {!LANG-1577cd51d0b329cbeee7947c0e01b05e!}
{!LANG-bd147b70a71b0c0a85ac6873e2d3448a!}
{!LANG-b92177c97fb69a34c4c6fe33744f1ba7!}
{!LANG-15b1472707e354b4fbc5b215e2af3c0a!}
{!LANG-4d4ad24b9500f0a6f1a02191bb016f37!}
Primjer{!LANG-e0cd7691f3fd437b891828575d1f4000!}
{!LANG-a9d9a7a66c194a0d039732c7511af318!}
{!LANG-3f4c5bdaf81af00e286fa5b11c45ca95!}
Primjer.{!LANG-9e74ad48ee50473c16acb2b87f20295c!} (13, -13, 29, -9) {!LANG-bacc1b289e5614e4d6eef26a4b1d890e!}
{!LANG-9ba8450292f2118e7b8cdef339f7c99e!} m.{!LANG-10c5a20623a26719a25d537d1959678b!} {!LANG-0e29b182201d7e94588fd3bd3c59aefa!}{!LANG-a555dcc371942f046f525b445c3f3d54!}
{!LANG-bdc65a635a4fa8faa053299fb08e5a62!} a.{!LANG-b33e96c82af6870de54f842d75ddf16e!}
{!LANG-954433955be6267e3f55a498956169d2!} a.{!LANG-5f0a070f1106772a4d4d7542932d7aa3!}
{!LANG-c861287574c2c03825dd2ef25dc9487b!} a.{!LANG-f01bd1c5d7703c7cc32c17cea69e82d8!}
{!LANG-76cbb249b04d9f9c099e91dcd3fa72d2!} a.{!LANG-579170b7920fe6e6f35b6e7286883055!}
{!LANG-af1ad661f1cf1069161265fed5ac86a4!} a.{!LANG-60d41dd78a77358a56e251aa78c72399!}
{!LANG-dbc4815b17d48bea6e68160dd73d70ae!} a.{!LANG-a392b5908369368f6ea45d2836520755!}
{!LANG-f442bbbdbf872096d87aa16e5abef034!} a.{!LANG-25f4c563fbdb7dc197d4a7afdc4d32d8!}
{!LANG-a1453e039be901f34a0a710df27ae66e!} a.{!LANG-fe1bc2e13680a7323d4348f761e79ece!}
{!LANG-9a3d1863b9aaf6a0667bed5fdc40eeed!} a.{!LANG-bc406e331b713a25a23dbcf2857955aa!}
{!LANG-71ac29580a272df5a8e99910e1abab8e!} a.{!LANG-f2a36dc7dc29b57912d5a4b65e359e81!}
{!LANG-5c84f9d50edb1bd3288ebcf1a594befe!}
