Grundlagen der Wirtschaftsmathematik. Mathematische Wirtschaftswissenschaften. Ziele und Ziele des Studiums des Themas

MATHEMATISCHE WIRTSCHAFTLICHKEIT

Mathematische Disziplin, das Thema eines Schnitts sind Modelle der Wirtschaftswissenschaften. Objekte und Prozesse und Methoden ihrer Forschung. Die Konzepte, Ergebnisse, Methoden von M. e. bequem und üblich, in engem Zusammenhang mit ihrer Wirtschaftlichkeit zu präsentieren. Herkunft, Interpretation und Praxis. Anwendungen. Besonders wichtig ist die Verbindung mit den Wirtschaftswissenschaften. Wissenschaft und Praxis.

Mir. als Teil der Mathematik begann sie sich erst im 20. Jahrhundert zu entwickeln. Zuvor gab es nur Episoden. Forschung, to-rye, kann nicht im engeren Sinne der Mathematik zugeschrieben werden.

Merkmale der ökonomischen und mathematischen Modellierung. Funktion wirtschaftlich Modellierung besteht in der außergewöhnlichen Vielfalt und Heterogenität des Themas Modellierung. In der Wirtschaft gibt es Elemente der Kontrollierbarkeit und Spontaneität, starre Gewissheit und erhebliche Mehrdeutigkeit und Wahlfreiheit, technische Prozesse. Charakter und soziale Prozesse, in denen menschliches Verhalten hervorgehoben wird. Unterschiedliche Wirtschaftsebenen (zB Laden- und Volkswirtschaft) erfordern deutlich unterschiedliche Beschreibungen. All dies führt zu einer großen Vielfalt mathematischer Modelle. Gerät. Das subtile Problem ist die Reflexion der Art der sozioökonomischen. Systeme werden Kanten unter Berücksichtigung des sozialen Systems modelliert. Es stellt sich oft heraus, dass eine abstrakte mathematische. das eine oder andere wirtschaftlich. Objekt oder Prozess kann sowohl auf kapitalistische als auch auf sozialistische Ökonomien erfolgreich angewendet werden. Es geht um die Art und Weise, die Analyseergebnisse zu verwenden und zu interpretieren.

Fertigung, effiziente Produktion. Die Wirtschaftswissenschaften beschäftigen sich mit Gütern oder Produkten, To-Roggen werden in M. e. extrem breit. Für sie wird der allgemeine Begriff Zutaten verwendet. Zutaten sind Dienstleistungen, natürliche Ressourcen, Umweltfaktoren, die sich negativ auf eine Person auswirken, Komfort durch das vorhandene Sicherheitssystem usw. Es wird normalerweise angenommen, dass es natürlich Zutaten und Produkte gibt - euklidischer Raum, wo Ich - Anzahl der Zutaten. Der Z-Punkt unter den richtigen Bedingungen kann als "Produktionsmethode" angesehen werden, positive Komponenten zeigen die Herstellung der entsprechenden Zutaten an und negative - Kosten. Das Wort "Produktion" wird in Anführungszeichen gesetzt, da Produktion im weitesten Sinne verstanden wird. Die Menge der verfügbaren (gegebenen, vorhandenen) Produktionsmöglichkeiten ist: Ein Produktionsverfahren ist effizient, wenn es kein solches gibt, dass für mindestens eine Komponente eine strikte erfüllt ist. Die Aufgabe, effektive Methoden zu identifizieren, ist eine der wichtigsten in der Wirtschaftswissenschaft. Üblicherweise wird davon ausgegangen, und dies stimmt in vielen Fällen gut mit der Realität überein, dass Z - konvex. Durch die Erweiterung des Produktraums kann das Problem der Analyse effektiver Methoden auf den Fall reduziert werden, dass Z - konvex geschlossen.

Die typische Aufgabe, eine effektive Methode zu identifizieren, ist die Hauptaufgabe der Produktionsplanung. Produktionsmethoden und der Vektor der Bedürfnisse und Ressourcenbeschränkungen werden angegeben. Es ist erforderlich, einen Weg zu finden so dass für alle Wenn Z - geschlossener konvexer Kegel, dann ist dies ein allgemeines Problem konvexe Programmierung. Ist Z durch endlich viele Generatoren gegeben (sogenannte Basismethoden), dann ist dies ein allgemeines Problem Lineares Programmieren. Lösung liegt an der grenze Z. Seien p die Koeffizienten der Stützhyperebene für Z im Punkt, d. h. für alle und Die konvexe Hauptprogrammierung findet Bedingungen, für die p l> 0. Zum Beispiel genügt die Bedingung: Es gibt einen Vektor (die sogenannte Slater-Bedingung). Die Koeffizienten I, die den effektiven Weg charakterisieren, sind von großer wirtschaftlicher Bedeutung. Bedeutung. Sie werden als Preise interpretiert, die den Kosten und der Produktionseffizienz der einzelnen Zutaten angemessen sind. Die Methode ist genau dann effektiv, wenn die Kosten des Outputs den Kosten der Inputs entsprechen. Angesichts effektiver Produktionsweisen und ihrer Charakterisierung mit p hatte eine revolutionäre Wirkung auf die Theorie und Praxis der sozialistischen Planung. Wirtschaft. Es bildete die Grundlage objektiver quantitativer Methoden zur Preisbestimmung und öffentlichen Bewertung von Ressourcen, die es ermöglichten, die effektivste Wirtschaftsform auszuwählen. Entscheidungen unter sozialistischen Bedingungen. Bauernhöfe. Die Theorie lässt sich natürlich auf eine unendliche Anzahl von Zutaten verallgemeinern. Der Zutatenraum erweist sich dann als geeignet gewählter Funktionsraum.

Effektives Wachstum. Zutaten, die sich auf unterschiedliche Momente oder Zeitintervalle beziehen, können formal als unterschiedlich angesehen werden. Daher passt die Beschreibung der Produktion in der Dynamik im Prinzip in das obige Schema, bestehend aus Objekten (X, Z, B), wo X - Platz für Zutaten, Z - viele Produktionsmöglichkeiten, B - Festlegung von Anforderungen und Beschränkungen für die Wirtschaft. Die Studie selbst ist jedoch dynamisch. Aspekt der Produktion erfordert speziellere Formen der Beschreibung von Produktionsfähigkeiten.

Die Produktionskapazitäten eines ziemlich allgemeinen Wirtschaftsmodells. Dynamik wird über Punkt-Mehrfach-Darstellung eingestellt (mehrwertige Funktion) Hier ist der (Phasen-)Raum der Wirtschaft, interpretiert als der Zustand der Wirtschaft zu einem bestimmten Zeitpunkt, wobei x k - die zu diesem Zeitpunkt verfügbare Produktmenge k. Die Menge a (x) besteht aus allen Zuständen der Wirtschaft, in die sie aus dem Zustand in einer einzigen Zeit übergehen kann NS. Wir werden anrufen

Grafikanzeige a. Punkte ( x, y) .- akzeptable Herstellungsverfahren.

Es werden verschiedene Optionen zur Spezifizierung möglicher Trajektorien der wirtschaftlichen Entwicklung in Betracht gezogen. Insbesondere der Konsum der Bevölkerung wird entweder in der Selbstkartierung selbst berücksichtigt oder explizit herausgegriffen. Im zweiten Fall ist eine zulässige Trajektorie beispielsweise so, dass

Für alle T. Es werden verschiedene Konzepte der Trajektorieneffizienz untersucht. Die Trajektorie ist verbrauchseffizient, wenn es keine andere gültige Trajektorie gibt ( X, C), Verlassen des gleichen Anfangszustandes, für den die Trajektorie intrinsisch wirksam ist, wenn es keine andere zulässige Trajektorie (X, С) gibt, die denselben Anfangszustand verlässt, die Zeit t 0 und die Zahl l> 1, dass

Die Trajektorienoptimalität wird normalerweise in Abhängigkeit von der Nutzenfunktion bestimmt und der Koeffizient, den Nutzen über die Zeit zu bringen (siehe unten für die Nutzenfunktion). Die Flugbahn heißt. (u, m) -o ntnmal wenn

für jede zulässige Flugbahn ( X, C), den gleichen Ausgangszustand verlassen. Es gibt ziemlich allgemeine Existenzsätze für die entsprechenden Trajektorien.

In mehrfacher Hinsicht effiziente Trajektorien werden durch eine Folge von Preisen charakterisiert, so wie ein effizientes Verfahren durch Preise charakterisiert wurde (Koeffizienten der Referenzhyperebene) NS. Das heißt, wenn bei einer effizienten Methode die Inputkosten gleich den Outputkosten zu optimalen Preisen sind, dann sind die Zustandskosten auf der effektiven Trajektorie konstant und maximal, und auf allen anderen zulässigen Trajektorien können sie nicht steigen.

Alle obigen Definitionen lassen sich leicht auf den Fall verallgemeinern, dass die Produktion a, die Funktion u und m von der Zeit abhängen. Die Zeit selbst kann kontinuierlich sein oder allgemein kann der Parameter t durch eine Menge von eher willkürlicher Form laufen.

Mit sparsamen Aus der Sicht sind Trajektorien von Interesse, bei denen die maximal mögliche Wirtschaftswachstumsrate erreicht wird, die beliebig lange ausgehalten werden kann. Es stellt sich heraus, dass für konstantes a und und solche Trajektorien zeitlich stationär sind, d.h. sie haben

wobei a die Wachstumsrate (Expansionsrate) der Wirtschaft ist. Stationäre, in der einen oder anderen Richtung wirksame, sowie stationäre optimale Trajektorien werden genannt. Autobahnen.

Unter sehr breiten Annahmen gibt es Backbone-Theoreme, die besagen, dass sich jedes effiziente, unabhängig vom Anfangszustand, im Laufe der Zeit dem Backbone nähert. Es gibt viele verschiedene Theoreme über das Rückgrat, die sich in der Definition von Effizienz oder Optimalität, der Methode der Entfernungsmessung zum Rückgrat, der Art der Konvergenz und schließlich einem endlichen oder unendlichen Zeitintervall unterscheiden.

Wirtschaftsmodell Dynamik, bei der die Produktionsmöglichkeiten durch einen polyedrischen konvexen Kegel gegeben sind, genannt. Neumanns Modell. Ein Sonderfall des Neumann-Modells ist das geschlossene Leontiev-Modell oder (in einer anderen Terminologie) eine geschlossene dynamische Input-Output-Bilanz (der Begriff "geschlossen" wird hier als Merkmal der Eigenschaft der Wirtschaft verwendet, die in der Abwesenheit von nicht reproduzierbare Produkte), die durch drei Matrizen mit nicht-negativen Elementen Ф, А und Order Process genau dann gegeben ist, wenn es Vektoren gibt v, so dass die folgenden Ungleichungen gelten:

Das Input-Output-Balance-Modell hat sich aufgrund der Bequemlichkeit, die Anfangsinformationen für seine Konstruktion zu erhalten, weit verbreitet.

Sparsame Modelle Dynamik wird auch in kontinuierlicher Zeit berücksichtigt. Einer der ersten, der Modelle mit kontinuierlicher Zeit genau untersucht hat. Insbesondere widmete sich eine Reihe von Arbeiten dem einfachsten Einproduktmodell, das durch die Gleichung

wo NS - das Volumen der Mittel pro Arbeitseinheit, c - Verbrauch pro Kopf, F- Produktionsfunktion (ansteigend, konkav). Nicht negative Funktionen die diese Gleichung erfüllen, charakterisieren die zulässige Trajektorie. Für eine gegebene Nutzenfunktion wird auch der Diskontkoeffizient m bestimmt. Optimale Trajektorien (und nur sie) erfüllen das Analogon der Euler-Gleichung

wo ist die maximale Zahl, die die Bedingung f (x) erfüllt -c = x.

Auch das Leontief-Modell wurde erstmals in kontinuierlicher Zeit als System von Differentialgleichungen formuliert

wo X - Produktströme, AI V- Matrizen der laufenden bzw. Kapitalkosten, MIT - Endverbrauch fließt.

Effektive und optimale Trajektorien in Modellen mit kontinuierlicher Zeit werden mit den Methoden der Variationsrechnung, der optimalen Steuerung und der Mathematik untersucht. Programmierung in unendlichdimensionalen Räumen. Berücksichtigt werden auch Modelle, bei denen zulässige Trajektorien durch differentielle Einschlüsse der Form (x) gegeben sind. , wo ein - Produktionsanzeige.

Rationelles Konsumverhalten. Geschmack und Ziele der Verbraucher, die ihr rationales Verhalten bestimmen, sind in Form eines bestimmten Präferenzsystems im Produktraum vorgegeben. Für jeden Verbraucher i wird nämlich eine Punkt-zu-Menge-Abbildung definiert, wobei Z - ein bestimmter Raum von Situationen, in denen sich der Verbraucher im Auswahlprozess befinden kann, X - die Menge von Vektoren, die dem Verbraucher zur Verfügung stehen, insbesondere kann Z als Unterraum umfassen.Im Wesentlichen besteht die Menge aus allen Vektoren, die (streng) dem Vektor xv der Situation z vorgezogen werden. Zum Beispiel die Abbildung P ich kann als Nutzenfunktion angegeben werden und, wobei u (x) den Nutzen aus dem Konsum einer Menge von Produkten zeigt NS. Dann

Die Beschreibung der Situation z schließe die Preise p . ein . für alle Produkte und Bareinnahmen der Verbraucher D. Dann gibt es viele Sets, die der Verbraucher in einer Situation kaufen kann z. Dieser Satz heißt. budgetär. Die Rationalität des Verbraucherverhaltens liegt darin, dass er solche Mengen х aus B . auswählt ich(z) , für die D (z) die Menge von Produktmengen ist, die der Kämpfer r in der Situation z gewählt hat; D ich namens angezeigt durch i-e m (oder durch eine Funktion, falls D ich(z) besteht aus einem Punkt) Nachfrage. Es gibt eine Reihe von Studien, die sich der Klärung der Eigenschaften der Abbildungen widmen Р ich, В ich, Dich. Insbesondere der Fall, in dem die Abbildungen P ich können als Funktionen angegeben werden. Es werden Bedingungen bestimmt, für die die Abbildungen In ich und D ich sind durchgehend. Von besonderem Interesse ist die Untersuchung der Eigenschaften der Nachfragefunktion D ich... Tatsache ist, dass es manchmal bequemer ist, die Nachfragefunktionen als primäre zu betrachten D ich statt Vorlieben P i weil sie aus den verfügbaren Informationen zum Verbraucherverhalten leichter zu konstruieren sind. In der Wirtschaft (Handel) können beispielsweise Werte beobachtet werden, die sich den partiellen Ableitungen annähern

wobei Yar der Preis des Produkts p ist, D - Einkommen.

Die Theorie des rationalen Konsumverhaltens grenzt an die Theorie der Gruppenwahl, die sich in der Regel mit diskreten Optionen beschäftigt. Üblicherweise wird davon ausgegangen, dass es beispielsweise eine endliche Anzahl von Gruppenmitgliedern und eine endliche Anzahl von Alternativen gibt. Die Aufgabe besteht darin, eine Gruppenentscheidung über die Wahl einer der Optionen für eine gegebene Präferenzbeziehung zwischen Optionen für jeden Teilnehmer auszuwählen. Die Gruppenwahl bietet verschiedene Abstimmungsschemata, auch axiomatische und spieltheoretische Ansätze werden berücksichtigt.

Harmonisierung der Interessen. Interessenträger sind die einzelnen Teile der Volkswirtschaftslehre. Systeme sowie die Gesellschaft als Ganzes. Solche Teile sind Verbraucher (Verbrauchergruppen): Unternehmen, Ministerien, Gebietskörperschaften, Planungs- und Finanzbehörden usw. Es gibt zwei ineinandergreifende Ansätze zum Problem des Interessenausgleichs - analytisch oder konstruktiv und synthetisch oder deskriptiv. Nach dem ersten Ansatz wird zunächst das globale Optimalitätskriterium (Formalisierung der Interessen der Gesamtgesellschaft) zugrunde gelegt. Aufgabe ist es, unter Berücksichtigung privater Interessen aus dem Allgemeinen lokale (private) Kriterien abzuleiten. Beim zweiten Ansatz stehen zunächst die privaten Interessen im Vordergrund und die Aufgabe besteht darin, sie zu einem einheitlichen System zusammenzufassen, dessen Funktionieren zu gesamtgesellschaftlich zufriedenstellenden Ergebnissen führt.

Der erste Ansatz steht in direktem Zusammenhang mit den Zerlegungsmethoden der Mathematik. Programmierung. Sei zum Beispiel die Wirtschaft m produktiv und jeder Produzent j ist durch eine Menge von Produktionsmöglichkeiten gegeben Yj, wobei und eine konvexe kompakte Menge ist. Das V der gesamten Gesellschaft als Ganzes ist gegeben, wobei - konkave Funktion. Die Ökonomie sollte so organisiert werden, dass das konvexe Programmierproblem gelöst ist: Finde aus den Bedingungen

Nach dem Theorem über die Eigenschaft effizienter Produktionsmethoden gibt es Preise so dass

Der Wert y (j) p wird interpretiert als Gewinn des j-ten Produzenten zu Preisen R. Daraus folgt, dass das Kriterium der Gewinnmaximierung für jeden der Produzenten dem allgemeinen Ziel nicht widerspricht, wenn die jeweiligen Preise entsprechend bestimmt werden. Schemata im Zusammenhang mit dem zweiten Ansatz wurden umfassend im Rahmen von ökonomischen Modellen entwickelt. Balance.

Wirtschaftliches Gleichgewicht. Es wird davon ausgegangen, dass die Wirtschaft aus getrennten Teilen besteht, die Träger ihrer eigenen Interessen sind: Produzenten, nummeriert j = 1, ..., T, und Verbraucher, nummeriert durch Indizes i = 1, ..., NS. Hersteller j wird durch eine Vielzahl von Fertigungsmöglichkeiten und Darstellungen beschrieben Einstellung seines Präferenzsystems. Hier Z - die Menge möglicher Wirtschaftszustände, die im Folgenden erläutert wird. Konsument r wird beschrieben durch eine Menge möglicher Mengen von Produkten, die für den Konsum verfügbar sind, einen Anfangsbestand an Produkten, eine Präferenz und schließlich die Einkommensverteilungsfunktion, wobei a ich(z) zeigt den Geldbetrag, der an den Verbraucher i im Zustand z geht. Es gibt viele mögliche Preise in der Wirtschaft Q. Dann ist die Menge der möglichen Zustände Budgetanzeige B ich hier so definiert:

Der Gleichgewichtszustand der beschriebenen Ökonomie erfüllt die Bedingungen

Im Wesentlichen fällt der Gleichgewichtszustand der Wirtschaft mit der Definition einer Lösung zusammen ein koalitionsfreies Spiel viele Personen im Sinne von Neumann - Nash mit der zusätzlichen Bedingung, dass der Saldo für alle Produkte erfüllt ist. Die Existenz eines Gleichgewichtszustandes ist unter sehr allgemeinen Bedingungen für die ursprüngliche Ökonomie nachgewiesen. Damit der Gleichgewichtszustand optimal ist, d. h. ein bestimmtes globales Optimierungsproblem mit einer von den Verbraucherinteressen abhängigen Zielfunktion liefert, müssen viel strengere Bedingungen auferlegt werden. Lassen Sie zum Beispiel Р ich gegeben durch eine konkave stetige Funktion ein F j gegeben durch Funktion

wo Yj, Xi - konvexe kompakte Mengen,

Beliebige Teilmenge S = (i 1 , ..., ich r) Verbraucherindizes bilden eine Sub-Ökonomie der ursprünglichen Ökonomie, in der jeder Verbraucher ist aus S entspricht (ein und nur ein) Produzent, dessen Menge an Produktionsmöglichkeiten

Die Einkommensverteilungsfunktionen haben in diesem Fall die Form

Bedingung aufgerufen ausgeglichen, wenn

Es wird gesagt, dass ein ausgeglichener Zustand z die ursprüngliche Ökonomie wird durch eine Koalition von Verbrauchern blockiert S, wenn in einer koalitionsgetriebenen Wirtschaft S, es gibt einen so ausgeglichenen Zustand, dass zum s = 1, ..., R und für mindestens einen Index gilt eine strikte Ungleichung. Der Kern der Wirtschaft heißt. die Menge aller ausgeglichenen Staaten, die von keiner Verbraucherkoalition blockiert werden. Für eine Volkswirtschaft mit den beschriebenen Eigenschaften gilt folgender Satz: Jeder Gleichgewichtszustand gehört zum Kern. Das Umgekehrte gilt nicht, aber es wurden eine Reihe von hinreichenden Bedingungen gefunden, für die die Menge der Gleichgewichtszustände und nahe beieinander liegen oder sogar zusammenfallen. Insbesondere wenn die Zahl der Verbraucher gegen unendlich geht und der Einfluss jedes Verbrauchers auf die Wirtschaftslage immer kleiner wird, dann tendiert die Menge der Gleichgewichtszustände zum Kern. Die Koinzidenz des Kerns und der Menge der Gleichgewichtszustände findet in einer Volkswirtschaft mit unendlich vielen (kontinuierlichen) Verbrauchern statt (Satz von Auman).

Sei die Wirtschaft ein Marktmodell (d.h. es gibt keine Produzenten), die Menge der Teilnehmer (Konsumenten) ist ein geschlossenes Einheitssegment , unten bezeichnet T. Die Wirtschaftslage ist z =(x, p), wobei es eine Funktion gibt, die TV R + . repräsentiert l, von denen jede Komponente auf dem Intervall Lebesgue integrierbar ist T. Die Ausgangsprodukte zwischen den Teilnehmern ergeben sich aus der Funktion w,. somit ist der ausgeglichene Zustand z so, dass die Koalition der Teilnehmer eine Lebesgue-messbare Teilmenge der Menge ist T. Wenn eine Teilmenge das Maß 0 hat, wird die entsprechende aufgerufen. Null. Der Kern ist die Menge aller ausgeglichenen Staaten, die von keiner Koalition ungleich null blockiert werden. Ein Zustand ist ein Gleichgewicht, wenn für fast jeden Teilnehmer i

Der Satz von Aumann besagt, dass in der beschriebenen Ökonomie und die Menge der Gleichgewichtszustände zusammenfallen. Von Interesse ist die Frage nach der Struktur der Menge der Gleichgewichtszustände, insbesondere wenn diese Menge endlich ist oder aus einem Punkt besteht. Hier gilt der Satz von Debreu. Lassen Sie die Menge der Marktmodelle wobei der Anfangsbestand an Produkten für Teilnehmer i ist, der Vektor ist ein Parameter, der ein bestimmtes Modell aus der Menge bestimmt Das Mapping ist die Nachfragefunktion für den i-ten Teilnehmer. Funktionen D 1, ..., D nein Satz (nicht ändern) für den gesamten Satz von Volkswirtschaften W. Sei W 0 , - eine Menge von Volkswirtschaften, in der die Menge der Gleichgewichtszustände unendlich ist. Der Satz von Debreu besagt, dass wenn Funktionen D 1, ..., D nein stetig differenzierbar sind und es für mindestens einen der Teilnehmer keine Sättigungspunkte gibt, dann hat W 0 (Lebesgue-)Maß im Raum W.

Über numerische Methoden. Mir. hat einen engen Bezug zur Computermathematik. Linear, linear wirtschaftlich Die Modelle haben einen großen Einfluss auf die Berechnungsmethoden der Linearen Algebra. Im Wesentlichen hat die lineare Programmierung dazu geführt, dass Ungleichungen in der Computermathematik genauso verbreitet sind wie Gleichungen.

Wirtschaftsinformatik ist ein schwieriges und mehrdimensionales Thema. Balance. Zum Beispiel widmen sich viele Aufsätze den Bedingungen für die Konvergenz eines Systems von Differentialgleichungen zum Gleichgewicht

wo R - Preisvektor, F - Nachfragefunktion, d. h. Angebots- und Nachfragefunktion. Gleichgewichtspreise stellen per Definition die Gleichheit von Angebot und Nachfrage sicher:

Die Nachfrageüberhangfunktion F wird entweder direkt oder durch weitere primäre Konzepte des entsprechenden Gleichgewichtsmodells angegeben. S. Smale untersuchte eine viel allgemeinere Dynamik. System als (*), bezogen auf das Marktmodell; zusammen mit Preisänderungen im Laufe der Zeit R die Zustandsänderung x wird berücksichtigt, in diesem Fall die zulässige Trajektorie erfüllt einige differentielle Einschlüsse der Form wobei K (p) und C (p) - viele mögliche Richtungen der Änderung von ri NS, durch das Marktmodell definiert.

Wirtschaftlich Gleichgewicht, eine Lösung eines Spiels oder eine Lösung eines bestimmten Extremalproblems können als Fixpunkte einer geeignet formulierten Punkt-zu-Menge-Abbildung definiert werden. Im Rahmen der Forschung zu M. e. numerische Methoden zum Auffinden von Fixpunkten verschiedener Klassen von Abbildungen werden entwickelt. Am bekanntesten ist die Scarfe-Methode, die eine Kombination aus den Ideen des Sperner-Lemmas und der Simplex-Methode zur Lösung linearer Programmierprobleme ist.

Verwandte Fragen. Mir. eng verwandt mit vielen mathematischen. Disziplinen. Manchmal ist es schwierig zu bestimmen, wo die Grenzen zwischen M. e. und mathe. Statistik oder konvexe Analyse, Funktionalanalyse, Topologie usw. Man kann beispielsweise auf die Entwicklung der Theorie positiver Matrizen, positiver linearer (und homogener) Operatoren und der spektralen Eigenschaften superlinearer Punkt-zu-Menge-Abbildungen hinweisen unter der Einfluss der Bedürfnisse von M. e.

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Enzyklopädie der Mathematik. - M.: Sowjetische Enzyklopädie... I. M. Vinogradov. 1977-1985.

• Wirtschaftswörterbuch
• 
  

Die Wirtschaftsmathematik ist eine theoretische und angewandte Wissenschaft, deren Gegenstand mathematische Modelle wirtschaftlicher Gegenstände und Prozesse und Methoden ihrer Erforschung sind.

Das Aufkommen der mathematischen Wissenschaften war zweifellos mit den Bedürfnissen der Wirtschaft verbunden. Es galt zum Beispiel herauszufinden, wie viel Land mit Getreide besät werden muss, um die Familie zu ernähren, wie man das besäte Feld vermessen und die zukünftige Ernte einschätzen kann.

Mit der Entwicklung der Produktion und ihrer Verkomplizierung wuchsen die Anforderungen der Wirtschaft an mathematische Berechnungen. Die moderne Produktion ist eine streng ausgewogene Arbeit vieler Unternehmen, die durch die Lösung einer Vielzahl mathematischer Probleme sichergestellt wird. Eine riesige Armee von Ökonomen, Planern und Buchhaltern beschäftigt sich mit dieser Arbeit, und Tausende von elektronischen Computern führen Berechnungen durch. Zu diesen Aufgaben gehören die Berechnung von Produktionsplänen und die Bestimmung des günstigsten Standorts von Bauprojekten, die Wahl der wirtschaftlichsten Transportwege usw. Die Wirtschaftsmathematik beschäftigt sich auch mit einer formalisierten mathematischen Beschreibung bereits bekannter wirtschaftlicher Phänomene und testet verschiedene Hypothesen über Wirtschaftssysteme, die durch einige mathematische Beziehungen beschrieben werden.

Betrachten Sie zwei einfache Beispiele, die die Verwendung mathematischer Modelle für diesen Zweck demonstrieren.

Lassen Sie die Nachfrage und das Angebot der Ware vom Preis abhängen. Für ein Gleichgewicht muss der Preis auf dem Markt so sein, dass das Produkt ausverkauft ist und kein Überschuss entsteht:

. (1)

Verspätet sich der Vorschlag aber beispielsweise um ein Zeitintervall, dann ist, wie in Abb. 1 (der die Kurven von Angebot und Nachfrage als Funktionen des Preises zeigt), wenn der Preis und die Nachfrage das Angebot übersteigt. Und da das Angebot geringer ist als die Nachfrage, steigt der Preis und die Ware wird zum Preis aufgekauft. Bei diesem Preis steigt das Angebot auf einen Wert; jetzt ist das angebot höher als die nachfrage und die produzenten sind gezwungen, die waren zum preis zu verkaufen, woraufhin das angebot sinkt und sich der prozess wiederholt. Das Ergebnis ist ein einfaches Konjunkturmodell. Allmählich kommt der Markt zum Gleichgewicht: Nachfrage, Preis und Angebot werden auf das Niveau gebracht.

Reis. 1 entspricht der Lösung von Gleichung (1) nach der Methode der sukzessiven Näherung, die die Wurzel dieser Gleichung bestimmt, d.h. Gleichgewichtspreis und dem entsprechenden Wert von Angebot und Nachfrage.

Betrachten wir ein komplexeres Beispiel - die „goldene Regel“ der Akkumulation. Die Produktionsmenge des Unternehmens (in Rubel) des Endprodukts wird durch die Arbeitskosten bestimmt, deren Produktivität vom Verhältnis des Sättigungsgrades mit Ausrüstung zu den Arbeitskosten abhängt. Die mathematische Schreibweise dafür lautet:

. (2)

Das Endprodukt wird dem Verbrauch und der Lagerung von Geräten zugeordnet. Wenn wir den Anteil des Outputs bezeichnen, der durch die Akkumulation geht, dann

In der Ökonomie wird sie als Akkumulationsrate bezeichnet. Sein Wert liegt zwischen null und eins.

Pro Zeiteinheit ändert sich das Gerätevolumen um den Betrag der Akkumulation

. (4)

Bei einem ausgeglichenen Wirtschaftswachstum wachsen alle seine Komponenten mit der gleichen Wachstumsrate. Mit der Zinseszinsformel erhalten wir:

, , , .

Wenn wir die Werte einführen, die Verbrauch, Ausrüstungsvolumen und Leistung pro Mitarbeiter charakterisieren, dann wird das Beziehungssystem (2) - (4) in das System eingehen

, , . (5)

Die zweite dieser Verhältnisse bestimmt bei gegebener Wachstumsrate und Konsum die Kapital-Arbeits-Relation als Schnittpunkt der Kurve und der Geraden in Abb. 2. Diese Linien werden sich notwendigerweise schneiden, da die Funktion, wenn auch monoton, wächst, was eine Zunahme der Leistung mit einer Zunahme der Arbeitsausrüstung bedeutet, aber immer sanfter, d. es ist eine konkave Funktion. Letzterer Umstand spiegelt die Tatsache wider, dass eine zusätzliche Erhöhung der Ausrüstung pro Arbeiter aufgrund der Zunahme ihrer Belastung immer weniger wirksam wird ("das Gesetz des abnehmenden Nutzens"). Eine Kurvenschar entspricht verschiedenen Werten der Akkumulationsrate. Die Länge des Segments, wie aus Formel (5) folgt, ist gleich dem Verbrauch. An (Punkt in Abb. 2) gibt es überhaupt keinen Verbrauch – die gesamte Produktion fließt in die Akkumulation von Ausrüstung. Verringern wir nun die Akkumulationsrate. Dann wird der Konsum (Länge) nicht mehr Null sein, obwohl die Wachstumsrate der Wirtschaft (die Steigung der Geraden) gleich bleibt. An dem Punkt mit der Ordinate, bei dem die Tangente an die Kurve parallel zur Geraden verläuft, ist der Verbrauch maximal. Sie entspricht der Kurve einer Familie mit einer bestimmten Akkumulationsrate, die als "goldene Akkumulationsrate" bezeichnet wird.

Nach der Olympiade ist es interessant, Problemlösungen zu diskutieren.

Der Vergleich von Theorie und Praxis ist in der mathematischen Ökonomie kein einfaches Problem: Es ist äußerst schwierig, Wirtschaftsindikatoren zu messen - sie werden nicht auf Laboreinrichtungen gemessen, Beobachtungen können äußerst selten durchgeführt werden (denken Sie an die Volkszählungen!), Sie werden in unterschiedlichen Bedingungen und enthalten viele Ungenauigkeiten. Daher ist es schwierig, hier die Messerfahrungen anderer Wissenschaften zu nutzen, und die Entwicklung spezieller Methoden ist erforderlich.

Die Entwicklung der mathematischen Ökonomie hat viele mathematische Theorien hervorgebracht, die unter dem Namen "mathematische Programmierung" vereint sind (Sie können im Artikel "Geometrie" über lineare Programmierung lesen).

Die Probleme der Anwendung mathematischer Methoden in der Wirtschaftswissenschaft wurden in den Werken des sowjetischen Mathematikers L. V. Kantorowitsch entwickelt, der mit dem Lenin- und dem Nobelpreis ausgezeichnet wurde.

Zunächst sind die Formeln der Ökonomie zu betrachten, die sich auf Angebot und Nachfrage beziehen. Die Nachfragefunktionsgleichung kann wie folgt dargestellt werden:

y = k * x + b

Die Nachfragefunktion selbst sieht so aus:

QD = k * P + b

Vorschlagsfunktion:

Qs = k * P + b

Betrachten wir die Elastizitätsindikatoren, dann können wir volkswirtschaftliche Formeln unterscheiden, die die Preiselastizität der Nachfrage bestimmen:

EDP ​​= Δ QD (%): Δ P (%)

EDV = (Q2 –Q1) / (Q2 + Q1): (P2 –P1) / (P2 + P1)

Die zweite Formel ist die Berechnung des Mittelpunkts, hier ist der Wert von P1 der Preis des Produkts vor der Änderung, P2 ist der Preis des Produkts nach der Änderung, Q1 ist die Nachfrage vor der Preisänderung, Q2 ist die Nachfrage danach die Preisänderung.

Die Formel für die Nachfrageelastizität im Allgemeinen:

EDI = (Q2 –Q1) / Q1: (P2 –P1) / P1

Makroökonomische Formeln

Formeln für die Volkswirtschaftslehre umfassen Formeln für die Mikroökonomie (Angebot und Nachfrage, Firmenkosten usw.) sowie Formeln für die Makroökonomie. Eine wichtige Formel für die Makroökonomie ist die Formel zur Berechnung des im Umlauf befindlichen Geldbetrags:

KD = ∑ CT - K + SP - VP / CO

КД - die im Umlauf befindliche Geldmenge,

CG - die Summe der Preise für Waren;

K - auf Kredit verkaufte Waren;

SP - dringende Zahlungen;

VP - gegenseitig einlösbare Zahlungen im Rahmen von Tauschgeschäften;

CO ist der Jahresumsatz der Geldeinheit.

Um die im Umlauf befindliche Geldmenge zu bestimmen, müssen Sie die folgende Formel verwenden:

M = P * Q / V

Hier ist M die Geldmenge im Umlauf;

V ist die Geschwindigkeit des Geldumlaufs;

Р - Durchschnittspreise für Produkte;

Q ist die Anzahl der zu konstanten Preisen hergestellten Produkte.

Die Austauschgleichung kann durch die folgende Gleichheit dargestellt werden:

M * V = P * Q

Diese Gleichung spiegelt die Gleichheit der Gesamtausgaben in Geld und der Wert aller Güter und Dienstleistungen wider, die im Staat produziert werden.

Andere makroökonomische Formeln

Betrachten Sie einige weitere Formeln der Wirtschaftswissenschaften, unter denen die Formel zur Berechnung des Realeinkommens einen wichtigen Platz einnimmt:

RD = ND / VPI * 100%

Hier ist RD reales Einkommen,

ND - Nominaleinkommen,

Der VPI ist ein Indikator für den Verbraucherpreisindex.

Die Formel zur Berechnung des Verbraucherpreisindex wird durch den folgenden Ausdruck dargestellt:

VPI = STTG / STBG

STTG - die Kosten des Verbraucherkorbs im laufenden Jahr,

STBG - im Basisjahr.

Entsprechend dem Indikator der Preisindizes kann die Inflationsrate mit der entsprechenden Formel bestimmt werden:

TI = (CPI1 - CPI0) / CPI0 * 100%

Entsprechend der Inflationsrate lassen sich mehrere Typen unterscheiden:

1. schleichende Inflation mit einem Preisanstieg von bis zu 5 % pro Jahr,

2. Moderate Inflation bis zu 10 % pro Jahr,

3. Galoppierende Inflation mit einem Preisanstieg von 20-200% pro Jahr,

4. Hyperinflation mit katastrophalen Preissteigerungen von mehr als 200% pro Jahr.

Zinsformeln

Wirtschaftliche Berechnungen erfordern oft die Berechnung von Zinsen. Formeln für die Volkswirtschaftslehre beinhalten sowohl die Berechnung des Zinseszinses als auch des einfachen Zinses. Die Formel zur Berechnung der einfachen Zinsen sieht wie folgt aus:

C = P * (1 + Zoll / 360)

Hier ist P die Höhe der Schulden, einschließlich Zinsen;

С - der Gesamtbetrag des Darlehens;

n ist die Anzahl der Tage;

i - Jahresprozentsatz in Aktien.

Die Formel zur Berechnung des Zinseszinses sieht wie folgt aus:

C = P (1 + Zoll / 360) k

K ist die Anzahl der Jahre.

Die Formel zur Berechnung des Zinseszinses, die über mehrere Jahre berechnet wird:

С = Р (1 + i) k

Formel für Arbeitslosigkeit, Beschäftigung und BSP

UB = Zahl der Arbeitslosen / HR * 100%

Hier ist HR die Größe der Erwerbsbevölkerung.

Die Formel zur Berechnung der Erwerbstätigenquote lautet wie folgt:

UZ = Anzahl der Beschäftigten / HR * 100%

Die Formel zur Berechnung des Bruttosozialprodukts berechnet sich wie folgt:

BSP = % + ZP + Tr + KNal - ChS + R + Am + DS

Hier sind Tr Unternehmen,

Knal - indirekte Steuern,

PC - Nettosubventionen,

Р - mieten,

Am ist der Abschreibungsbetrag,

DS - Vermögenseinkommen.

Die Formel zur Berechnung des BSP nach Kosten:

BSP = LPR + GZ + VChVI - CHI

Berechnung von Umsatz, Gewinn und Kosten

Formeln für die Wirtschaft bei der Berechnung von Umsatz und Gewinn:

TR = P * Q

Gewinn = TR - TC

Die Formel zur Berechnung der durchschnittlichen Gesamtkosten sieht wie folgt aus:

AC = AFC + AVC oder

AC = TC / Q

TC = TFC + TVC

Formel zur Berechnung der durchschnittlichen Fixkosten.

Gegenstand und Methoden der Wirtschaftstheorie

Wirtschaftsbeziehungen durchdringen alle Bereiche des menschlichen Lebens. Das Studium ihrer Gesetzmäßigkeiten beschäftigte die Philosophen schon in der Antike. Die allmähliche Entwicklung der Landwirtschaft, das Aufkommen des Privateigentums trugen zur Verkomplizierung der Wirtschaftsbeziehungen und zum Aufbau der ersten Wirtschaftssysteme bei. Der wissenschaftlich-technische Fortschritt, der den Übergang von der Handarbeit zur Maschinenarbeit bestimmte, gab der Konsolidierung der Produktion und damit dem Ausbau der wirtschaftlichen Bindungen und Strukturen starke Impulse. In der modernen Welt wird die Wirtschaftswissenschaft zunehmend in Verbindung mit anderen verwandten Sozialwissenschaften betrachtet. An der Kreuzung der beiden Richtungen gibt es nämlich verschiedene Lösungen, die in der Praxis angewendet werden können.

Die sehr grundlegende Richtung der Wirtschaft nahm erst Mitte des 19. Jahrhunderts Gestalt an, obwohl Wissenschaftler in vielen Ländern im Laufe der Jahrhunderte spezielle Schulen gründeten, die die Gesetze des Wirtschaftslebens der Menschen studierten. Erst zu diesem Zeitpunkt begannen Wissenschaftler, neben einer qualitativen Einschätzung des Geschehens, die tatsächlichen Ereignisse in der Wirtschaft zu untersuchen und zu vergleichen. Die Entwicklung der klassischen Wirtschaftswissenschaften hat zur Bildung angewandter Disziplinen beigetragen, die engere Bereiche der Wirtschaftssysteme untersuchen.

Das Hauptthema des Studiums der Wirtschaftstheorie ist die Suche nach optimalen Lösungen für die Ökonomien verschiedener Organisationsebenen im Hinblick auf die Deckung des wachsenden Bedarfs bei begrenzten Ressourcen. Ökonomen wenden in ihrer Forschung verschiedene Methoden an. Unter ihnen sind die am häufigsten verwendeten die folgenden:

1. Methoden zur Bewertung von Elementen des Allgemeinen oder zur Verallgemeinerung einzelner Strukturen. Sie werden Analyse- und Synthesemethoden genannt.
2. Induktion und Deduktion ermöglichen es, die Dynamik von Prozessen vom Besonderen zum Allgemeinen und umgekehrt zu betrachten.
3. Der Systemansatz hilft, ein separates Element der Wirtschaft, als Struktur, zu sehen und zu analysieren.
4. In der Praxis ist die Abstraktionsmethode weit verbreitet. Es ermöglicht Ihnen, das untersuchte Objekt oder Phänomen von seinen Wechselbeziehungen und externen Faktoren zu trennen.
5. Wie in anderen Wissenschaften verwendet auch die Wirtschaftswissenschaft häufig die Sprache der Mathematik, die hilft, die untersuchten Elemente der Wirtschaft visuell darzustellen sowie die notwendigen Trends zu analysieren oder zu prognostizieren.

Das Wesen der mathematischen Ökonomie

Die moderne Wirtschaftswissenschaft zeichnet sich durch die Komplexität der untersuchten Systeme aus. In der Regel geht ein Wirtschaftsakteur viele Beziehungen gleichzeitig und täglich ein. Wenn wir von einem Unternehmen sprechen, erhöht sich die Zahl seiner internen und externen Interaktionen um das Tausendfache. Um die Forschungs- und Analyseaufgaben von Ökonomen und Naturwissenschaftlern zu erleichtern, wird die Sprache der Mathematik verwendet. Die Entwicklung mathematischer Werkzeuge ermöglicht es, Probleme zu lösen, die über die Leistungsfähigkeit anderer Methoden der Wirtschaftstheorie hinausgehen.

Die Wirtschaftsmathematik ist eine angewandte Richtung der Wirtschaftstheorie. Sein Hauptinhalt liegt in der Anwendung mathematischer Methoden, Mittel und Werkzeuge zur Beschreibung, Untersuchung und Analyse von Wirtschaftssystemen. Diese Disziplin hat jedoch ihre eigenen Besonderheiten. Sie beschäftigt sich nicht mit ökonomischen Phänomenen als solchen, sondern beschäftigt sich mit Berechnungen im Zusammenhang mit mathematischen Modellen.

Anmerkung 1

Das Ziel der mathematischen Wirtschaftswissenschaften kann, wie in den meisten Anwendungsgebieten, als die Bildung objektiver Informationen und die Suche nach Lösungen für praktische Probleme bezeichnet werden. Sie untersucht vor allem quantitative, qualitative Indikatoren sowie das Verhalten von Wirtschaftsakteuren in der Dynamik.

Die Herausforderungen für die mathematische Ökonomie lauten wie folgt:

• Konstruktion mathematischer Modelle zur Beschreibung von Prozessen und Phänomenen in Wirtschaftssystemen.
• Untersuchung des Verhaltens verschiedener Themen der Wirtschaftsbeziehungen.
• Unterstützung bei der Erstellung und Bewertung von Plänen, Prognosen, verschiedenen Arten von Ereignissen in der Dynamik.
• Analyse mathematischer und statistischer Werte.

Angewandte Mathematik in den Wirtschaftswissenschaften

In ihrer gesellschaftlichen Bedeutung steht die Wirtschaftsmathematik der Mathematik nahe genug. Betrachten wir diese Disziplin von der Seite der mathematischen Wissenschaften, dann ist sie eine angewandte Richtung. Angewandte Mathematik ermöglicht die Betrachtung und Analyse einzelner Elemente der komplexesten Wirtschaftssysteme, da sie über eine breite Funktionalität auf Basis mathematischer Grundlagenkenntnisse verfügt. Solche Fähigkeiten der Mathematik trugen zur Entstehung der mathematischen Ökologie, Soziologie, Linguistik und Finanzmathematik bei.

Betrachten Sie die wichtigsten mathematischen Methoden, die bei der Untersuchung von Wirtschaftssystemen verwendet werden:

1. Operationelle Forschung beschäftigt sich mit der Untersuchung von Prozessen und Phänomenen in Systemen. Dazu gehören analytische Arbeiten und die Optimierung der praktischen Anwendung der gewonnenen Ergebnisse.
2. Die mathematische Modellierung umfasst ein breites Spektrum an Methoden und Werkzeugen, die es ermöglichen, die Probleme von Wissenschaftlern und Ökonomen zu lösen. Die am häufigsten verwendeten sind Spieltheorie, Servicetheorie, Scheduling-Theorie und Inventartheorie.
3. Optimierung in der Mathematik befasst sich mit der Suche nach Extremwerten, sowohl Maximum als auch Minimum. Zu diesen Zwecken werden normalerweise Funktionsgraphen verwendet.

Die oben genannten Methoden der Mathematik ermöglichen es, statistische Situationen in der Wirtschaft oder Prozesse in kurzen Zeiträumen zu untersuchen. Wie Sie wissen, besteht das Hauptziel der Wirtschaftsakteure derzeit darin, ein langfristiges Gleichgewicht zu finden. Ein wichtiger Faktor in diesen Studien ist der Zeitfaktor, der durch die Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Theorie der optimalen Lösungen für Berechnungen, berücksichtigt werden kann.

Anmerkung 2

Mathematik und Wirtschaftswissenschaften sind also eng miteinander verbunden. Es ist üblich, die Dynamik ökonomischer Strukturen in mathematische Modelle zu kleiden, die dann in einzelne Teilaufgaben zerlegt werden und alle möglichen Methoden der ökonomischen Analyse sowie mathematischen Berechnungen anwenden. Die Entscheidungsfindung im wirtschaftlichen Bereich ist eine ziemlich schwierige Handlung, da sie mit der Unvollkommenheit und Unvollständigkeit der verfügbaren Informationen verbunden ist. Der Einsatz mathematischer Modellierung ermöglicht es, das Risiko von Managemententscheidungen zu reduzieren.

Bundeszentrale für Bildung

Staatliche Bildungseinrichtung für höhere Berufsbildung

Staatliche Universität Wladimir

A. A. Galkin

MATHEMATIK

WIRTSCHAFT

Vom Ministerium für Bildung und Wissenschaft der Russischen Föderation als Lehrbuch anerkannt

für Studierende der Fachrichtung "Angewandte Informatik (Wirtschaftswissenschaften)"

Wladimir 2006

UDC 330,45: 519,85 BBK 65 V 631

Gutachter:

Doktor der Technischen Wissenschaften, Professor Leiter. Abteilung für automatisierte Informations- und Kontrollsysteme, Tula State University

V. A. Fatuev

Doktor der Technischen Wissenschaften, Professor Leiter. Fachbereich Wirtschaftsinformatik

Staatliche Technische Universität Twer

B. V. Palukh

Doktor der Wirtschaftswissenschaften, Professor Leiter. Institut für Volkswirtschaftslehre und Management in Unternehmen

Staatliche Universität Wladimir

V. F. Arkhipova

Doktor der Physikalischen und Mathematischen Wissenschaften, Professor Leiter. Institut für Algebra und Geometrie, Vladimir State University

N.I. Dubrovin

Nachdruck auf Beschluss des Redaktions- und Verlagsrats der Vladimir State University

Galkin, A. A.

G16 Mathematische Wirtschaftswissenschaften: Lehrbuch / A. A. Galkin; Wladim. Zustand un-t. - Vladimir: Verlag Vladim. Zustand Universität, 2006 .-- 304 S. - ISBN 5-89368-624-1.

Dabei wird ein breites Spektrum typischer Optimierungsprobleme der Wirtschaftswissenschaften und Algorithmen betrachtet, die eine Lösung dieser Probleme ermöglichen. Es wird eine Methodik zur Formalisierung dieser Aufgaben und ihrer Klassifikation angegeben. Es werden Methoden zur Lösung deterministischer Probleme der statischen und dynamischen Optimierung vorgestellt. Für jede Art von Problemen und Algorithmen werden Beispiele gegeben, die die Technik der praktischen Anwendung dieser Algorithmen sowie eine Reihe von Problemen für eine unabhängige Lösung demonstrieren.

Konzipiert für Universitätsstudenten der Fachrichtung 080801 - Angewandte Informatik (in Wirtschaftswissenschaften), sowie Studenten, Studenten und Doktoranden verwandter Fachrichtungen in Vollzeit, Teilzeit, Personen mit einer zweiten Hochschulausbildung sowie Praktiker.

Tab. 80. Krank. 60. Bibliographie: 39 Titel.

§ 6.8. Das Problem der optimalen gestuften Verteilung der zugewiesenen Mittel zwischen den Unternehmen während

§ 8.6. Das Problem der Regelung eines linearen dynamischen Systems

mit durch Minimierung des verallgemeinerten quadratischen Integrals

§ 9.2. Kontrolle eines linearen diskreten Systems beliebiger Ordnung mit Optimierung des gesamten verallgemeinerten

Liste der akzeptierten Abkürzungen

CF - Zielfunktion ODR - Bereich der machbaren Lösungen

LP - Lineare Programmierung LPP - LP-Problem CLP - Kanonisches LPP

TZ - Transportaufgabe PO - Abgangsorte, PN - Bestimmungsorte in TZ

ISZU - Methode der Nordwestecke ISM - Methode des Goldenen Schnitts DP - Dynamische Programmierung VI - Variationsrechnung PM - Maximumprinzip; DE - Differentialgleichung

VORWORT

V Die Vorbereitung von Studierenden unterschiedlicher technischer und wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen und Richtungen nimmt einen wesentlichen Platz im Studium der für das jeweilige Fachgebiet typischen mathematischen Modelle und Methoden ein, die es ermöglichen, mit diesen Modellen das Verhalten der betrachteten Systeme zu erklären, zu bewerten ihre Eigenschaften, vernünftigerweise konstruktive, technologische, wirtschaftliche, organisatorische und andere Entscheidungen treffen ...

Die Beherrschung dieser Modelle und Methoden baut auf den Grundlagen einer ziemlich universellen klassischen Disziplin auf, die normalerweise als "Höhere Mathematik" bezeichnet wird. In speziellen Disziplinen wird der mathematische Apparat untersucht, der es ermöglicht, typische und wichtigste Probleme für das entsprechende Anwendungsgebiet zu lösen.

Für Studierende der Fachrichtung "Angewandte Informatik (in den Wirtschaftswissenschaften)" ist eine dieser Disziplinen "Mathematische Wirtschaftswissenschaften". Entsprechend dem aktuellen staatlichen Bildungsstandard (SES) umfasst das Programm dieser Disziplin eine Vielzahl von Lehrmaterialien zum mathematischen Rechnen im Bereich der Wirtschaftswissenschaften. Dieses Material ist in zwei Teile gegliedert.

V der erste Teil untersucht die Probleme der Finanzanalyse, die in den SES der vorherigen Generation in einer speziellen Disziplin - der "Finanzmathematik" betrachtet wurden.

Der zweite Teil des Programms enthält aus mathematischer Sicht komplexere Probleme und Methoden, um die besten zu finden, d. optimale Lösungen für verschiedene Probleme der angewandten Wirtschaftswissenschaften. Zuvor beherrschten die Studierenden diesen Stoff während ihres Studiums der Disziplin „Theorie der optimalen Steuerung in Wirtschaftssystemen“.

Das Curriculum der Disziplin "Mathematical Economics" enthält ein breites Spektrum an eher schwierigen Fragestellungen. Da der Zeitaufwand für das Präsenzstudium in dieser Disziplin relativ gering ist, kommt der selbstständigen Arbeit der Studierenden mit pädagogischer Literatur eine besondere Bedeutung zu.

Anzumerken ist, dass in den letzten 30 Jahren in unserem Land viele verschiedene Monographien, Lehrbücher und Lehrmittel zu mathematischen Methoden der Wirtschaftswissenschaften erschienen sind. Bei der Arbeit mit ihnen haben die Schüler jedoch ernsthafte Schwierigkeiten. Erstens sind viele dieser Bücher für Studierende praktisch unzugänglich, da sie entweder in den Universitätsbibliotheken fehlen oder in Einzelexemplaren vorliegen. Zweitens reicht ein Lehrbuch nicht aus, um das gesamte vom Programm bereitgestellte Material zu studieren, und verschiedene Bücher verwenden in der Regel einen anderen Präsentationsstil und unterschiedliche Bezeichnungen. Oftmals ist die Präsentationsebene des Materials einem „echten“ Schüler nicht zugänglich. Drittens ist es bei der Gestaltung des Ausbildungsprozesses in mathematischen Disziplinen von grundlegender Bedeutung, dass die Studierenden praktische Fähigkeiten im Umgang mit den erlernten Methoden erwerben, und dies erfordert Aufgaben zur eigenständigen Lösung. Die meisten Lehrbücher zum betrachteten Thema enthalten Beispiele und Aufgaben zur Veranschaulichung der Technik der Anwendung der skizzierten Methoden, reichen aber nicht aus, um allen Studierenden einer Regelstudiengruppe individuelle Aufgaben zu stellen.

Das vorgeschlagene Lehrbuch soll den zweiten, komplexeren Teil der Disziplin "Mathematical Economics" untersuchen, der Optimierungsprobleme der Wirtschaftswissenschaften und Algorithmen zu ihrer Lösung betrachtet. Es wurde unter Berücksichtigung der oben genannten Umstände erstellt.

Das Buch enthält die Formulierungen typischer Optimierungsprobleme im ökonomischen Bereich, deren Formalisierung, das Wesen von Methoden und Algorithmen wird dargelegt, die es ermöglichen, eine Lösung mit einer Veranschaulichung der Technik dieser Algorithmen an konkreten Beispielen durchzuführen. Darüber hinaus wird zu jedem Thema ein ausreichend großes Aufgabenpaket zur eigenständigen Lösung präsentiert, das es jedem Studierenden ermöglicht, seine individuelle Aufgabenstellung zu geben.

Aus einer Vielzahl möglicher Optimierungsprobleme und -methoden, die von der modernen Wissenschaft vorgeschlagen werden, werden deterministische Probleme und Algorithmen zur statischen und dynamischen Optimierung für die Aufnahme in dieses Lehrbuch ausgewählt. Aufgrund des begrenzten Umfangs des Buches werden Optimierungsprobleme mit Unsicherheiten, einschließlich probabilistisch-statistischer, Intervall-, Fuzzy- und andere Probleme und Modelle sowie Vektoroptimierungsprobleme nicht berücksichtigt.

Das Buch umfasst neun Kapitel. Der erste Abschnitt gibt Beispiele für Optimierungsprobleme wirtschaftlicher Natur, die die Formalisierungstechnik demonstrieren, d.h. Um ein mathematisches Modell des zu lösenden Problems zu erhalten, wird die Klassifizierung von Optimierungsproblemen angegeben.

Die Kapitel zwei, drei und vier sind linearen statischen Optimierungsproblemen gewidmet. Im zweiten Kapitel werden Probleme und Methoden der linearen Programmierung vorgestellt, im dritten werden Transportprobleme separat betrachtet und im vierten werden Optimierungsprobleme auf Graphen interpretiert. Für jedes Problem wird die effektivste Methode (der effektivste Algorithmus) zur Lösung vorgestellt und ein Beispiel gegeben, das die Technik der praktischen Anwendung dieses Algorithmus demonstriert. Das fünfte Kapitel stellt analytische und numerische Methoden zur Lösung nichtlinearer statischer Optimierungsprobleme in Abwesenheit und Anwesenheit von Nebenbedingungen vor.

Dynamische Optimierungsprobleme, allgemein als optimale Steuerungsprobleme bezeichnet, werden in den Kapiteln sechs bis neun erörtert. Im sechsten Kapitel wird eine allgemeine Idee dynamischer Systeme vom kontinuierlichen und diskreten Typ gegeben, das klassische Problem der optimalen Steuerung und der dynamischen Programmierung (DP) formuliert, das Wesen von DP und die Technik seiner praktischen Anwendung dargelegt wird anhand verschiedener Beispiele wirtschaftlicher Natur aufgezeigt. Das siebte Kapitel legt die Grundlagen der Variationsrechnung dar, das achte - das Maximumprinzip für kontinuierliche Systeme und das neunte - für diskrete Systeme. In jedem dieser Kapitel wird viel Wert auf die Analyse verschiedener spezifischer Probleme und Beispiele gelegt, die die Methodik für die praktische Anwendung berechneter Kennzahlen veranschaulichen.

Am Ende jedes der Kapitel vom ersten bis zum sechsten gibt es Aufgaben zur eigenständigen Lösung. Am Ende des neunten Kapitels werden Aufgaben zur eigenständigen Lösung gegeben, die den Methoden der optimalen dynamischen Regelung gewidmet sind.

Ein besonderes Problem, zu dessen Lösung der Autor bei der Bearbeitung des Buches erhebliche Anstrengungen unternommen hat, war die Tatsache, dass einige Methoden und Algorithmen in der Originalliteratur so dargestellt sind, dass es für Studenten der a nichtmathematisches und informationsökonomisches Profil, um sie zu verstehen. Daher war es notwendig, Möglichkeiten zu finden, das relevante theoretische Material an den tatsächlichen Ausbildungsstand der Studierenden, an die sich das Buch richtet, anzupassen.

Darüber hinaus bemühte sich der Autor, bei der Präsentation einer Vielzahl von erheblich unterschiedlichen Aufgaben und Methoden so weit wie möglich einen einzigen Stil, Charakter und Präsentationssystem des Materials zu erhalten. Hoffentlich ist dies bis zu einem gewissen Grad gelungen.

Bei der Erstellung des Lehrbuchs wurde das Material von Vorlesungen und Praktika zu den Disziplinen "Optimierungsmethoden", "Steuerungstheorie", "Theorie der optimalen Steuerung in Wirtschaftssystemen" und "Mathematische Ökonomie", die der Autor 25 Jahre lang an der Vladimir Landesuniversität (VlSU), genutzt wurde ... In diesen Lektionen wurden die meisten theoretischen Materialien und Aufgaben zur eigenständigen Lösung getestet. Die elektronische Version des Lehrbuchs ist in den Informationsressourcen der elektronischen Bibliothek der VlSU enthalten.

Trotz der Tatsache, dass das Lehrbuch für Studenten der Fachrichtung "Angewandte Informatik (in Wirtschaftswissenschaften)" erstellt wurde, kann es zweifellos für Studenten, Studenten, Doktoranden und Spezialisten anderer Profile nützlich sein, da überall Optimierungsprobleme auftreten. Es ist kein Zufall, dass sie sagen, "es gibt nichts in der Natur, in dem es unmöglich wäre, die Bedeutung eines Maximums oder Minimums zu erkennen."

Er wird all denen dankbar sein, die das Buch nutzen und ihre Meinung zu seinem Inhalt, möglicherweise zu Mängeln oder Ungenauigkeiten, äußern. Dazu können Sie e_mail verwenden: [E-Mail geschützt].

Die Arbeit an dem Buch dauerte mit einigen Unterbrechungen etwa 10 Jahre, könnte sich aber unendlich hinziehen, wäre da nicht die prompte und hochqualifizierte Hilfestellung bei der Bearbeitung des Manuskripts durch den Doktoranden I.V. Lager. Dafür spricht ihr die Autorin besonderen Dank aus.