Zákon zotrvačnosti kvadratických foriem. Klasifikácia kvadratických foriem. Zákon zotrvačnosti kvadratických foriem Veta o zotrvačnosti kvadratických foriem

Je stanovené, že počet nenulových kanonických koeficientov kvadratickej formy sa rovná jej poradiu a nezávisí od výberu nedegenerovanej transformácie, ktorou forma A(X, X) sa redukuje na kánonickú formu. V skutočnosti sa nemení ani počet kladných a záporných koeficientov.

Veta11.3 (zákon zotrvačnosti kvadratických foriem). Počet kladných a záporných koeficientov v normálnej forme kvadratickej formy nezávisí od toho, ako sa kvadratická forma redukuje na normálnu formu.

Nechajte kvadratický tvar f hodnosť r od n neznámy X 1 , X 2 , …, X n redukované do normálnej formy dvoma spôsobmi, t.j.

f = + + … + –
– … – ,

f = + + … + – – … – . Dá sa to dokázať k = l.

Definícia 11.14. Počet kladných štvorcov v normálnej forme, na ktoré sa redukuje skutočná kvadratická forma, sa nazýva pozitívny index zotrvačnosti tento formulár; počet záporných štvorcov - záporný index zotrvačnosti, a ich súčet je index zotrvačnosti kvadratickú resp podpis formulárov f.

Ak p je pozitívny index zotrvačnosti; q– záporný index zotrvačnosti; k = r = p + q je index zotrvačnosti.

Klasifikácia kvadratických foriem

Nechajte kvadratický tvar A(X, X) index zotrvačnosti je k, kladný index zotrvačnosti je p , záporný index zotrvačnosti je q, potom k = p + q.

Bolo dokázané, že v akomkoľvek kanonickom základe f = {f 1 , f 2 , …, f n) tento kvadratický tvar A(X, X) možno zredukovať na normálnu formu A(X, X) = + + … + –
– … – , kde  1 ,  2 , …,  n vektorové súradnice X v základe ( f}.

Nevyhnutná a postačujúca podmienka na to, aby bol kvadratický tvar znamienkovo ​​určitý

Vyhlásenie11.1. A(X, X) uvedené v n V, bol znamienko-určité, je potrebné a postačujúce, aby bol buď kladný index zotrvačnosti p alebo negatívny index zotrvačnosti q, bol rovný rozmeru n priestor V.

Zároveň, ak p = n, potom formulár pozitívne X ≠ 0 A(X, X) > 0).

Ak q = n, potom formulár negatívne definované (to znamená pre ľubovoľné X ≠ 0 A(X, X) < 0).

Nevyhnutná a dostatočná podmienka pre zmenu znamienka kvadratickej formy

Vyhlásenie 11.2. V poradí kvadratický tvar A(X, X) uvedené v n-rozmerný vektorový priestor V, bol striedavý(teda existujú X, rčo A(X, X) > 0 a A(r, r) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Nevyhnutná a dostatočná podmienka pre kvázi sa meniace kvadratické formy

Vyhlásenie 11.3. V poradí kvadratický tvar A(X, X) uvedené v n-rozmerný vektorový priestor V, bol kvázi znak(to znamená pre akýkoľvek vektor X alebo A(X, X) ≥ 0 alebo A(X, X) ≤ 0 a existuje takýto nenulový vektor X, čo A(X, X) = 0) je nevyhnutné a postačujúce, aby jeden z týchto dvoch vzťahov platil: p < n, q= 0 alebo p = 0, q < n.

Komentujte. Aby sa tieto znaky uplatnili, musí sa kvadratická forma zredukovať na kanonickú formu. V Sylvesterovom kritériu 15 jednoznačnosti znamienka sa to nevyžaduje.

Normálna forma kvadratickej formy.

Podľa Lagrangeovej vety je možné akúkoľvek kvadratickú formu zredukovať na kanonickú formu. To znamená, že existuje diagonalizačný (kanonický) základ, v ktorom má matica tejto kvadratickej formy diagonálny tvar.

kde . Potom v tomto základe má kvadratická forma tvar

Nech sú medzi nenulovými prvkami pozitívne a negatívne prvky a . Ak je to potrebné, zmenou číslovania základných vektorov je možné vždy zabezpečiť, že v diagonálnej matici kvadratického tvaru sú prvé prvky kladné, ostatné záporné (ak , potom sú posledné prvky v matici nuly). Výsledkom je, že kvadratickú formu (10.17) je možné zapísať v nasledujúcom tvare

V dôsledku nahradenia premenných premennými podľa systému:

kvadratický tvar (6.18) má diagonálny tvar, v ktorom sú koeficienty druhých mocnín premenných jedna, mínus jedna alebo nula:

kde matica kvadratickej formy (10.19) má diagonálny tvar

Definícia 10.9. Označenie (10.19) sa nazýva normálny pohľad kvadratická forma a diagonalizačná báza, v ktorej má kvadratická forma maticu (10.20), sa nazýva normalizačný základ.

V normálnom tvare (10.19) kvadratickej formy teda môžu byť diagonálne prvky matice (10.20) jednotky, mínus jednotky alebo nuly a sú usporiadané tak, že najskôr sú jednotky, potom mínusky, potom nuly (prípady otočenia na nulu nie sú vylúčené uvedené hodnoty, , ).

Takto bola dokázaná nasledujúca veta.

Veta 10.3. Akákoľvek kvadratická forma môže byť redukovaná na normálnu formu (10.19) pomocou diagonálnej matice (10.20).

Zákon zotrvačnosti kvadratickej formy

Kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu rôzne cesty(Lagrangeovou metódou, metódou ortogonálnych transformácií alebo Jacobiho metódou). Ale napriek rôznorodosti kanonických foriem pre danú kvadratickú formu existujú také charakteristiky jej koeficientov, ktoré zostávajú nezmenené vo všetkých týchto kanonických formách. Ide o tzv číselné invarianty kvadratická forma. Jedným z číselných invariantov kvadratickej formy je poradie kvadratickej formy.

Veta 10.4 ( na invariancii poradia kvadratickej formy ) .Hodnota kvadratickej formy sa pri nedegenerovaných lineárnych transformáciách nemení a rovná sa počtu nenulových koeficientov v ktorejkoľvek z jej kanonických foriem. Inými slovami, poradie kvadratickej formy sa rovná počtu nenulových vlastných hodnôt matice kvadratickej formy (berúc do úvahy ich multiplicitu).

Definícia 10.10. Hodnosť kvadratickej formy sa nazýva index zotrvačnosti. Počet kladných a počet () záporných čísel v normálnom tvare (3) kvadratickej formy sa nazýva pozitívne a negatívne indexy zotrvačnosť kvadratickej formy, resp. Zoznam sa volá podpis kvadratická forma.

Pozitívne a negatívne indexy zotrvačnosti sú číselné invarianty kvadratickej formy. Veta tzv zákon zotrvačnosti.

Veta 10.5 ( zákon zotrvačnosti ) .Kanonická forma (10.17) kvadratickej formy je jednoznačne definovaná, to znamená, že signatúra nezávisí od voľby diagonalizačného základu (nezávisí od spôsobu redukcie kvadratickej formy na kanonickú formu).

□ Tvrdenie vety znamená, že ak rovnaký kvadratický tvar pomocou dvoch nesingulárnych lineárnych transformácií

redukované na rôzne kanonické formy ():

potom nutne, to znamená, že počet kladných koeficientov sa zhoduje s počtom kladných koeficientov.

Na rozdiel od tvrdenia predpokladajme, že . Keďže transformácie (10.21) sú nedegenerované, môžeme z nich vyjadriť kanonické premenné:

Nájdite taký vektor, aby príslušné vektory mali tvar

Za týmto účelom reprezentujeme matice a v nasledujúcich blokových formách:

kde sa označuje -matica, -matica, -matica, -matica.

Výsledkom blokových reprezentácií matíc a zostavíme homogénny systém lineárnych algebraických rovníc, pričom prvé rovnice z (10.22) a posledné rovnice z (10.23):

Výsledný systém obsahuje rovnice a neznáme (vektorové zložky ). Keďže , teda v tomto systéme je počet rovníc menší ako počet neznámych a má nekonečný počet riešení, medzi ktorými možno vyčleniť nenulové riešenie .

Na výslednom vektore majú hodnoty tvaru rôzne znaky:

čo je nemožné. Preto je predpoklad, že je nepravdivý.

Z toho, čo vyplýva, podpis nezávisí od voľby diagonalizačného základu. ■

Ako ilustráciu zákona zotrvačnosti možno ukázať, že kvadratická forma v troch premenných je:

dve nesingulárne lineárne transformácie so zodpovedajúcimi maticami

(prvá matica zodpovedá Lagrangeovej metóde, druhá metóde ortogonálnych transformácií) sa redukuje na dve rôzne kanonické formy

Navyše, obe kanonické formy majú rovnaký podpis

6. Znakované a striedavé kvadratické formy

Kvadratické formy sú rozdelené do typov v závislosti od súboru hodnôt, ktoré nadobúdajú.

Definícia 10.11. Kvadratická forma sa nazýva:

kladné definitívne

negatívny definitívny, ak pre ľubovoľný nenulový vektor : ;

nepozitívne jednoznačné (negatívne polourčité), ak pre ľubovoľný nenulový vektor : ;

nezáporné jednoznačné (pozitívne polourčité), ak pre ľubovoľný nenulový vektor : ;

striedavý, ak existujú nenulové vektory , : .

Definícia 10.12. Pozitívne (negatívne) určité kvadratické formy sa nazývajú znamienko-určité. Nepozitívne (nezáporne) určité kvadratické formy sa nazývajú konštantný znak.

Typ kvadratickej formy možno ľahko určiť jej redukciou na kanonickú (alebo normálnu) formu. Nasledujúce dve vety sú pravdivé.

Veta 10.6. Nech je kvadratická forma zredukovaná na kanonickú formu a má signatúru ( , ). potom:

Je kladné definitívne ;

Je negatívny definitívny ;

Je nepozitívne definitíva ;

Je nezáporné definitívne ;

Je striedavý.). Potom: je nezáporne definované pre všetky ;

Je striedavý vlastné hodnoty zahŕňajú pozitívne aj negatívne hodnoty.

September sa ukázal ako úspešný mesiac pre všetky triedy aktív. Podľa odhadov Denegu takmer všetky investície priniesli pozitívny výsledok. Najvyšší výnos zároveň priniesli investície do zlata, ktoré profitovalo nielen z rastu nákladov na drahý kov, ale aj z oslabenia rubľa. Vysoké zisky priniesli investorom hlavné kategórie podielových fondov, vklady, ako aj väčšina ruských akcií. Nerentabilné sa stalo populárnym v r posledné roky dlhopisové fondy, ako aj akcie Sberbank, ktoré by v prípade sprísnenia amerických sankcií mohli utrpieť najviac.

Vitalij Kapitonov

O päť mesiacov neskôr bolo najziskovejšou investíciou za mesiac zlato. Podľa "Money" investoval 15. augusta do drahý kov 100 tisíc rubľov, investor mohol dostať takmer 5 tisíc rubľov za mesiac. príjem. Ide o druhý najväčší mesačný výsledok v tomto roku. Investor by mohol v apríli zarobiť viac – 9,3 tisíc rubľov.

Vysoká návratnosť investície do drahého kovu je len čiastočne spôsobená nárastom jeho ceny. Od polovice augusta cena zlata vzrástla o 2,4 % na 1 205 USD za trójsku uncu. To bolo odrazom inflačných očakávaní v USA. Podľa amerického ministerstva obchodu sa inflácia v krajine spomalila z 2,9 % v júli na 2,7 % v auguste, no zostáva nad cieľmi Fedu. Inflácia teda naďalej rastie, čo umožní Fedu zvyšovať sadzby bez prudkých zmien. Vzácny kov podporila správa, že americké a kanadské úrady pokračujú v pokusoch nájsť kompromis v novej dohode NAFTA. "Správy zmierňujú obchodné obavy, ktoré zasiahli trh so zlatom a podporili dolár," povedal Michail Sheibe, komoditný stratég zo Sberbank Investment Research. Efekt rastúcich cien zlata posilnil rast dolára v Rusku (+2,5 %). V dôsledku toho investície do drahých kovov denominované v rubľoch priniesli značné príjmy.

K ďalším investíciám do zlata by sa však malo pristupovať opatrne, domnievajú sa účastníci trhu. Kľúčové riziko v prípade investícií do drahých kovov pretrváva eskalácia obchodnej konfrontácie medzi USA a Čínou. "Faktor politického tlaku neprichádza do úvahy, to znamená, že vznik nových bariér je prakticky hotová vec. Takýto vývoj udalostí je pre zlato negatívny, keďže sa zvýši dopyt po dolári ako defenzívnom aktíve," dodal. Michail Sheibe verí.

Aký príjem priniesli investície do zlata (%)

Zdroje: Bloomberg, Reuters, Sberbank.

Medzi najziskovejšie finančné produkty akcie zostávajú investičných fondov a jednotlivé produkty správcovských spoločností dokázali poskytnúť marže prevyšujúce zlato. V októbri sa najviac darilo investíciám do sektorových akciových fondov zameraných na hutníctvo, telekomunikácie a ropné a plynárenské spoločnosti. Podľa Denega na základe údajov z Investfunds by investície do takýchto fondov do konca mesiaca priniesli súkromným investorom od 2,2 tisíc rubľov do 5,2 tisíc rubľov.

Vysoké výnosy poskytovali aj ďalšie kategórie fondov: indexové fondy, zmiešané investície, eurobondy. Fondy týchto kategórií by mohli priniesť svojim investorom od 200 rubľov. až 4 tisíc rubľov na 100 tisíc investícií.

Negatívny výsledok priniesli dlhopisové fondy, ktoré súkromní investori milujú. Fondy v tejto kategórii sú konzervatívne, takže straty súkromných investorov boli symbolické - až 1 000 rubľov. Za takýchto okolností začali investori vyberať zisky v dlhopisových fondoch. Podľa Investfunds retailoví investori v auguste vybrali z dlhopisových fondov 4 miliardy rubľov. Z prostriedkov tejto kategórie v decembri 2014 brali rýchlejšie. Potom, na pozadí devalvácie rubľa a rýchleho rastu sadzieb na domáci trh investori stiahli z fondov viac ako 4,5 miliardy rubľov.

Uvoľnenú likviditu investori čiastočne využívajú na nákup rizikovejších akciových fondov. Objem prostriedkov investovaných do fondov tejto kategórie v auguste presiahol 3,5 miliardy rubľov, čo je 500 miliónov rubľov. väčší objem atrakcií v júli. Dopyt po rizikových stratégiách rastie už šiesty mesiac po sebe a objem investícií má čoraz väčší podiel na celkovom príleve do retailových fondov. Medzi investormi je najväčší dopyt po telekomunikačných a ropných a plynárenských fondoch.

Aké výnosy priniesli investície do podielových fondov (%)

Zdroje: National Managers League, Investfunds.

Augustové outsidery – akcie – stúpli na tretie miesto zo štvrtého ratingu „Money“. Za posledný mesiac by investície do indexu MICEX priniesli retailovým investorom 3,4 tisíc rubľov. Začiatok sledovaného obdobia zároveň nepriniesol taký vysoký výsledok. V období od 15. do 18. augusta index MICEX klesol o 1,2 %. Situácia sa však po 24. auguste zlepšila. Za tri týždne index vyskočil takmer o 5 % a stúpol na úroveň 2374 bodov. To je len 2 body pod historickým maximom stanoveným v marci.

V septembri však mnohé akciové indexy rozvojových a rozvinuté krajiny ukázal pozitívny trend. Podľa odhadov agentúry Bloomberg vzrástli ruské indexy v dolárovom vyjadrení len o 4,4 %. Silnejší rast vykázali len turecké indexy, ktoré vzrástli o 5,9-6,3 %. Medzi ukazovateľmi vyspelých krajín bol lídrom taliansky FTSE MIB, ktorý si medzimesačne pripísal 3,4 %.

Najviac rástli akcie spoločností ALROSA, Gazprom, MMC Norilsk Nickel a Magnit: na týchto cenných papieroch mohol investor zarobiť 4,2-8,3 tisíc rubľov. na každých stotisíc investícií. Podľa vedúceho analytika spoločnosti Olma Antona Startseva záujem investorov o akcie ALROSA podporilo vyhlásenie ministra financií Antona Siluanova, že spoločnosť môže alokovať 75 %. čistý zisk na výplatu dividend.

Výnimkou zo všeobecného obrazu boli akcie RusHydro, Rostelecom, Aeroflot, investície do ktorých by priniesli stratu 200 rubľov. až 1,4 tisíc rubľov. Maximálne straty by boli pre investorov, ktorí investovali do cenné papiere Sberbank - 2,1 tisíc rubľov. Jej akcie zostávajú pod tlakom komentárov predstaviteľov amerického ministerstva zahraničia, ktorí nevylučujú možnosť sankcií voči banke v novembri. Takéto vyhliadky odstrašujú medzinárodných investorov a nútia ich stiahnuť sa nielen z OFZ, ale aj z cenných papierov banky.

Po kolapse v auguste a septembri sa akcie Sberbank stali atraktívnymi pre investície, tvrdia analytici. „Odrazte sa v novinách tých najväčších Ruská banka veľmi pravdepodobné a riziká ich nákupov sú plne opodstatnené. Strednodobí investori by sa mali zamerať na fixáciu ziskov v oblasti 180 rubľov. na akciu,“ hovorí Alexey Antonov, analytik spoločnosti ALOR Broker.

Aké príjmy priniesli investície do akcií (%)

Nad poľom K (\displaystyle K) a e 1 , e 2 , … , e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\bodky ,e_(n))- základ v L (\displaystyle L).

• Kvadratická forma je kladne definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky uhlové minority jej matice striktne kladné.
• Kvadratická forma je záporne definitívna vtedy a len vtedy, ak sa striedajú znamienka všetkých uhlových minorov jej matice, pričom poradie 1 minor je záporné.

Bilineárna forma, ktorá je polárna k pozitívne definitívnej kvadratickej forme, spĺňa všetky axiómy bodového súčinu.

Kanonický pohľad

skutočný prípad

V prípade, keď K = R (\displaystyle K=\mathbb (R) )(pole reálnych čísel), pre každú kvadratickú formu existuje základ, v ktorom je jej matica diagonálna a samotná forma má kanonický pohľad(normálny pohľad):

kde r (\displaystyle r) je hodnosť kvadratickej formy. V prípade nedegenerovanej kvadratickej formy p + q = n (\displaystyle p+q=n) a v prípade degenerácie - p+q< n {\displaystyle p+q.

Na redukciu kvadratickej formy na kanonickú formu sa zvyčajne používa Lagrangeova metóda alebo ortogonálne transformácie bázy a danú kvadratickú formu je možné redukovať na kanonickú formu nie jedným, ale mnohými spôsobmi.

číslo q (\displaystyle q)(negatívne výrazy) sa nazýva index zotrvačnosti daný kvadratický tvar a číslo p − q (\displaystyle p-q)(rozdiel medzi počtom kladných a záporných pojmov) je tzv podpis kvadratická forma. Všimnite si, že niekedy je podpisom kvadratickej formy pár (p, q) (\displaystyle (p,q)). čísla p , q , p − q (\displaystyle p,q,p-q) sú invarianty kvadratickej formy, t.j. nezávisia od spôsobu jeho redukcie na kánonickú formu ( Sylvesterov zákon zotrvačnosti).

zložitý prípad

V prípade, keď K = C (\displaystyle K=\mathbb (C) )(oblasť komplexných čísel), pre každú kvadratickú formu existuje základ, v ktorom má forma kanonickú formu

kde r (\displaystyle r) je hodnosť kvadratickej formy. V komplexnom prípade (na rozdiel od skutočného) má teda kvadratická forma jeden jediný invariant - poradie a všetky nedegenerované formy majú rovnakú kanonickú formu (súčet štvorcov).